直线的参数方程(2)

(4)已知直线
x 1 3t l1 : (t为参数) y 2 4t 与直线 l2 : 2 x 4 y 5 相交于点 B
5 ，又点 A(1, 2) ,则 AB __________。 2
作业：P39 1 ，3
（B本）
9 圆 x2+y2=25 交于 P1, P2 两点,则| PP1| | PP2| =_______________ ,
44 33 ( , ) 弦 P1P2 中点 M 的坐标是________________ 25 25
x a t (3)若直线L的参数方程为 y b t t为参数 ，L上的点P1对应的参数 是t1，则点P1与P a, b 之间的距离 是（ C ） A、 t1 B、 2 t1 C、 2 t1 2 D、 t1 2
若点M 是线段M1M 2的三等分点，则
t1 2t 2 t 3 M为定点M0 , 则t1 2t2 0。
3 变式：经过点M（2，1）作斜率为 4直
线L交椭圆 x y 1于A、B两点 16 4 ，求线段AB中点N 的坐标
2
2
x 1 2t (2)若直线的参数方程为 t为参数 ， y 2 3t 则直线的斜率为 （ D） 2 A、 3 2 B、 3 3 C、 2 3 D、 2
直线的参数方程(2)
求直线的参数方程 求经过点M0(x0 , y0),倾斜角为α 的直线的参数方程.
y
e
M0
M
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在直线上任意取一点 M（x , y）
M0 M ( x x0 , y y0 )

O
x
e (cos ,sin )
解：普通方程为： y y0 tan ( x x0 )
| MM 0 || t |
直线与曲线y f ( x)交于M 1 , M 2两点，对应的参数 分别为t1 , t2 . (1)曲线的弦M 1M 2的长是多少？
（2）线段M 1M 2的中点M 对应的参数t的值是多少？
(1) M 1M 2 t1 t2 t1 t2 (2)t 2
x2 y2 例2,经过点M(2,1)作直线L，交椭圆 1 16 4 于A, B两点。如果点M恰好为线段AB的中点，求直 线L的方程。
若直线的参数方程为：
x x0 at y y bt 0
2
(t为参数)
b 则直线经过点M0(x0 , y0),斜率为 k a
| MM 0 || t | a b
2
2 x 2 t 2 1. 直线 (t 为参数)上到点 M(2,3)距离为 2 且 y 3 2 t 2
y
e
M0
M
在直线上任意取一点 M（x , y）
M0 M ( x x0 , y y0 )

O
x
设单位方向向量：e (cos ,sin )
e// M 0 M , t R, 使得 M 0 M te , ( x x0 , y y0 ) t (cos ,sin ) x x0 t cos y y0 t sin
从而可以得到经过点M0(x0 , y0), 倾斜角为α的直线的参数方程.：
x x0 t cos y y t sin 0
(t为参数)
上式称为直线参数方程的标准方程
思考：t 的几何意义是什么？
x x0 t cos (t为参数) y y0 t sin
t1 t 2 因为点M为线段AB的中点，所以 0, 即 2 cos 2 sin 0, 于是直线l的斜率为 1 k tan ，因此直线l的方程为 2 1 y 1 ( x 2)即x 2 y 4 0 2
例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？ 把“中点”改为“三等分点”，直 线l的方程怎样求？
(3, 4) 在点 M 下方的点的坐标是____________
x 2 t 2.直线 (t 为参数)被双曲线 x2y2=1 截得的弦长为(B ) y 3 t
(A)
10
(B)
2 10
(C)
10 2
(D)
3 5
10 3
3.过点 P（5，3） ，且倾斜角满足 cos=
的直线与
解：设过点M (2,1)的直线l的参数方程为 x 2 t cos { (t为参数)代入椭圆方程得 y 1 t sin (3sin 1)t 4(cos 2sin )t 8 0
2 2
由t的几何意义知 MA t1 , MB t2 ,因为点 M 在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以 4(cos 2sin ) t1 t2 3sin 2 1