第七章--线性离散系统的稳定性分析

映射
稳定区域
单位圆内部 左半S平面
不稳定区域 单位圆外部 右半S平面
临界稳定区域 单位圆上 虚轴上
线性离散系统稳定的充分必要条件
离散系统极点分布与稳定性的关系 由S平面与Z平面的映射关系，及连续系统的稳定性理 论可知，离散系统极点分布与其稳定性的关系如下 极点分布 Z单位圆内 Z单位圆外 Z单位圆上 稳定情况 稳定 不稳定 临界稳定
闭环特征方程为
z 2 0.0625 K 1.45 z 0.45 0.0475 K 0
令z w 1 代入上式得 w 1
0.11K 2 1.1 0.095 K 2.9 0.015 K 0
列劳斯表或者直接由w域特征方程，可得使系统稳定的K值应 满足如下不等式：
代入 T=0.4得
闭环脉冲传递函数为
K z Gz K 0.25 z 0.19 1 z 1 2Tz 2 - z-1 z-ez- 2T z 4 1 Gz 4z 1z 0.45 K 0.25 z 0.19 z 1 K 2T 1 e - 2T z 1 e - 2T 2Te - 2T z 1z e - 2T 4
j 1 v m
( z 1)
(z p )
i 1 i
n v
=0称为0型系统；=1称为I型系统；……=n称为n型系统。
离散系统稳态误差
静态位置误差系数
G( z )
K (z z j )
j 1 v
m
( z 1)
(z p )
i 1 i
n v
静态速度误差系数
7.5 线性离散系统的稳定性分析
分析离散系统稳定性的基本思想 判断线性时间连续系统的稳定性只需要分析系统的特征根 是否都在S的左半平面； 对线性时间离散系统，则要在Z平面上研究系统的稳定性， 即离散系统特征根在Z平面上的分布情况。 关键是找到S平面与Z平面之间的映射关系。 但S平面与Z平面毕竟是不同的，其中一个关键因素就是采 样周期的选择，这一点需给予足够重视。
劳斯判据 劳斯判据可用于判断一个复变量代数方程的根是否全在复
平面的左半平面，但不能判断这些根是否全在单位圆内。为了利
用劳斯判据分析离散系统的稳定性，需对Z平面进行一次线性变 换，即将Z平面的单位圆内部映射到一个复平面的左半平面，该 变换被称之为W变换，也称为双线性变换。 W变换
采样系统如下图所示，其中采样周期T=0.4。试
T
Gh s
G0 s
Y s
1 eTs 4 其中连续部分的传递函数为 Gh (s)G0 (s) s s(0.5s 1)
已知T=0.5s，试求在单位斜坡输入下，最小拍系统数字 控制器的脉冲传递函数. 解：由图可知
0.736 z 1 (1 0.717 z 1 ) G( z ) L Gh ( s)G0 (s) (1 z 1 )(1 0.368 z 1 )
静态加速度误差系数
例 采样系统结构图如图所示，设T=0.2s，输入信号为
1 r (t ) 1 t t 2 2
r t

求系统的稳态误差。

et T e* t 1 eTs
100.5s 1 s2
y t
s
解： 系统的开环脉冲传递函数为
2 5Tz 10(0.5s 1) z 1 5T z ( z 1) G( z ) (1 z ) Z s3 z ( z 1)3 ( z 1)2 1
5）当pi和pi+1为一对共轭复数极点时，对应的瞬态分量为
Az A z Z 1 i i 1 Ai pik Ai 1 pik1 z pi z pi 1
k
pi ,i 1 pi e ji
k
Ai ,i 1 Ai e ji
Ai pik Ai 1 pik1 Ai e ji pi e jki Ai e ji pi e jki
R( z ) 1 G( z)
由z变换终值定理得稳态误差为
ess lim e( k ) lim( z 1) E ( z ) lim( z 1)
k z 1 z 1
R( z ) 1 G( z )
与连续系统类似，开环脉冲传递函数的一般形式为
G( z ) K (z z j )
态分量也不同。
• 实数极点：若实数极点分布在单位圆内，其对应的分量呈衰
减变化。正实数极点对应的单调衰减，负实数极点对应的振 荡衰减； • 共轭极点： 有一对共轭复数极点i与i，即
i i e j , i i e j
i i
Cy(k)) 2 Ai i k cos(ki i ) i i (k 当|i|＞1时，Ci(k)为发散振荡函数；当|i|＜1时，Ci(k)为衰减 振荡函数，振荡角频率为
0.11K 0 1.1 0.095 K 0 2.9 0.015 K 0
因此，使系统稳定K值范围为
0 K 11.58
• 采样器和保持器对离散系统的动态性能有如下影响： 1）采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小，但使超调量增大， 故采样造成的信息损失会降低系统的稳定程度。 2）零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间都加长，超调量和振荡次数 也增加。这是因为除了采样造成的不稳定因素外，零阶保持器的相角滞后降
y* t
5
4
3
2 1
0
T
2T
3T
4T
5T
t
单位斜坡响应 暂态过程只要两个采样周期即可结束!
将上述系统的输入信号改为单位阶跃信号 r (t ) 1(t )
则系统的输出信号的z变换为
1 Y ( z ) GB ( z ) R( z ) (2 z 1 z 2 ) 1 z 1 2 z 1 z 2 z 3 L z n L 此时动态过程也可在两个采样周期内结束，但在t=T时超 调量为100%。
y* t
2 1
0
T
2T
3T
4T
5T
t
单位阶跃响应
根据一种典型信号进行校正设计的最小拍采样系统，往
往不能很好地适应其它形式的输入信号，这使最小拍系统的 应用受到很大的局限； 其次，上述校正方法只能保证在采样时刻的稳态误差为 零，而在采样点之间系统的输出可能会出现纹波，因此把这
种系统称为有纹波系统。
Ai pi [e j ( ki i ) e j ( ki i ) ] 2 Ai pi cos(ki i )
k k
当 pi 1 时，为发散振荡 的脉冲序列；当 pi 1 时， 为等幅振荡的脉冲序列； 当 pi时，为衰减振荡 1 的脉冲序列，极点越靠近 原点，衰减越快。 振荡角频率i i / T ， i
取反变换，得 g (k ) b0δ (t ) b1δ (t T ) bnδ (t nT )
• 上式表明，一个n阶稳定系统的脉冲响应序列共有n个脉冲， 如果在典型信号输入作用下，系统脉冲响应过程将在n个 采样周期内结束(对连续系统而言，理论上动态过程在 t→∞时才结束)，由于这种系统瞬态响应时间最短，故称
数字控制器的模拟化和离散化设计方法
r (t )
e(t )
D( z )
数字控制器
Gh (s )
GE ( z ) (1 z 1 ) 2 GB ( z ) 1 GE ( z ) 2 z 1 z 2
所以最小拍系统数字控制器的脉冲传递函数
1 GE ( z ) 2.717(1 0.368 z 1 )(1 0.5 z 1 ) D( z ) G ( z )GE ( z ) (1 z 1 )(1 0.717 z 1 )
T=0.2s时 G( z )
1.2 z 0.8 ( z 1) 2
2 系统特征方程为 z 0.8 z 0.2 0
1,2 0.4 j0.2
所以采样时wenku.baidu.com的稳态误差为
1 T T2 e() 0.1 K p Kv Ka
所以系统稳定
离散系统的暂态分析
上式右边第一项为系统的稳态响应分量，第二项为暂态 响应分量。显然，随极点在平面位置的不同，它所对应的暂
越大，振荡频率越高。
• 1)当闭环脉冲传递函数的极点位于z平面上以原点为圆心的单 位圆内时，其对应的暂态分量是衰减的。
• 2)要使控制系统具有比较满意的暂态响应,其闭环极点应尽量
避免分布在Z平面单位圆内的左半部，最好分布在单位圆内的 右半部。 • 3)极点尽量靠近坐标原点，相应的暂态分量衰减速度较快。
线性离散系统的稳定判据
由前面的分析可知，只要知道系统的极点分布，即可判断 系统的稳定与否，但这里要解决的问题是，如何知道闭环系统
的极点分布。
解决这个问题最直接的方法，是直接解系统特征方程，求 出闭环系统的极点，但这种方法只适用于低阶系统；对于高阶 系统则常借助连续系统的劳斯判据，得到系统闭环极点的分布 情况。本节主要介绍这两种方法。
为最小拍系统。
最少拍采样系统的设计
• 在采样系统中通常将一个采样周期称之为一拍，若在典型输入
信号作用下，经过最少采样周期，系统的采样误差信号减小为
零，实现完全跟踪，则称之为最少拍系统。
采样周期最小的情况
输入信号
脉冲传递函数
调节 时间
例 采样控制系统如图所示，
Rs


E s
T
Dz
i i T
2)当-1<pi<0时，极点位于单位 圆内的负实轴上，且当k为偶 数时，pik为正值，当k为奇数 时，pik为负值。因此对应的瞬 态响应分量呈现为正、负交替 收敛，或称振荡收敛。
1)当0<pi<1时，极点位于z 平面单位圆内的正实轴上， 该瞬态响应分量为单调收 敛，且越靠近原点，其值 越小，收敛越快。
低了系统的稳定程度。
采样系统的稳态误差
与连续系统类似地求稳态误差有两种方法：
1)应用z变换终值定理计算稳态误差的终值；
2)应用误差脉冲传递函数计算静态误差系数，进而得到稳态误差。
y* t
r t

et
e* t
Gz
y t
闭环采样控制系统
• 误差脉冲传递函数为
E( z)
求使系统稳定的K 值范围。 解： 系统开环传递函数为
K 1 e Ts G s 2 s s 2


Gz K 0.25 z 0.19 4 z 1z 0.45
1 G z K 1 z 1 Z 2 s s 2 1 1 2 1 K 1 z 1 Z 2 4 s s2 s
最小拍系统
b0 z n b1 z n 1 bn 1 z bn 设系统的闭环脉冲传递函数为 G ( z ) n z a1 z n 1 an 1 z an
当所有的极点位于Z平面的圆点时，闭环特征式为 z n 0
于是 G( z ) b0 b1 z 1 bn 1 z ( n 1) bn z n
3)当pi>1或pi<-1时，极点为单位圆外的 实根，且pi>1为正实根，对应的瞬态分 量为单调发散；当pi<-1时，为负实根， 对应的瞬态分量为正、负交替发散。
4）当pi=1或pi=-1时，极点位于单位圆与 实轴的交点。当pi=1时，对应的瞬态分 量为等幅脉冲序列；当pi=-1时，对应的 瞬态分量为正、负交替的等幅振荡。
纹波的存在不仅影响系统的精度，而且会增加系统的机 械磨损和功耗，这是我们不希望的。 适当的增加暂态时间(拍数)，可以实现无纹波输出的采 样系统。
关于采样时刻之间的波纹引起的误差
y(t )
由于采样，系统中增加了高
频分量，造成了采样间隔的 纹波如图所示。
0
T

2T

3T

4T

5T

t
采样时刻间的纹波