常用函数的幂级数展开式

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内容小结

1. 函数的幂级数展开法

(1) 直接展开法—利用泰勒公式;

(2) 间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开

2. 常用函数的幂级数展开式

x e •1=)

,(∞+-∞∈x )1(ln x +•x =]

1,1(+-∈x x +2!21x +,

!

1

+++n x n 221x -331x + +-441x 11

)1(++-+n n x n +式的函数.

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++-++!

)12()1(1

2n x n n x sin •x =!33x -!55x + +-!77x x cos •1=!22x -

!44x + +-!66x +-+!

)2()1(2n x n

n m x )1(+•1=x m +2

!

2)1(x m m -+

+ ++--+n x n n m m m !

)1()1(当m = –1 时x

+11

,)1(132 +-++-+-=n n x x x x )

,(∞+-∞∈x )

,(∞+-∞∈x )

1,1(-∈x )1,1(-∈x

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四、物体的转动惯量

设物体占有空间区域Ω, 有连续分布的密度函数.),,

(z

y

x

ρ该物体位于(x , y , z ) 处的微元v

z y x y x d ),,()(2

2ρ+因此物体对z 轴的转动惯量:

⎰⎰⎰+=Ω

ρz

y x z y x y x I z d d d ),,()(2

2=z I d O

x

y

z

Ω对z 轴的转动惯量为

因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故连续体的转动惯量可用积分计算.

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类似可得:⎰⎰⎰=Ω

ρz y x z y x I x d d d ),,( ⎰⎰⎰=Ω

ρz y x z y x I y d d d ),,( ⎰⎰⎰=Ω

ρz

y x z y x I O d d d ),,( )(22z y +)(22z x +)(222z y x ++对x 轴的转动惯量

对y 轴的转动惯量

对原点的转动惯量

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如果物体是平面薄片,面密度为D y x y x ∈),(),,(μ⎰⎰=D

x y x y x I d d ),( μ⎰⎰=D

O y x y x I d d ),(μ

则转动惯量的表达式是二重积分.

x

D

y

O

2

y 2x )

(22y x +⎰⎰=D

y y x y x I d d ),(

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r r a d d sin 0

3π

2

⎰

⎰=θθμ

例7.求半径为a 的均匀半圆薄片对其直径解: 建立坐标系如图,⎩⎨

⎧≥≤+ 0:2

22y a y x D y x y I D

x d d 2⎰⎰=∴μ⎰⎰=D

r r θ

θμd d sin 23⋅=441a μ24

1

a M =半圆薄片的质量μ

2

π2

1a M =2

π212⋅⋅的转动惯量.

O

x

y

D

a

-a

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)sin sin cos sin (222222θϕθϕρ

Ω

r r +=⎰⎰⎰解:取球心为原点, z 轴为l 轴,,:2

2

2

2

a z y x ≤++Ω则

=z I ⎰⎰⎰+Ω

ρz y x y x d d d )(22⋅=5π52a ρM a 252=θϕϕd d d sin 2r r ⋅13

2

2⋅⋅⎰=π20d θρ球体的质量

ρ3π34a M =ϕϕd sin π03

⎰r

r a d 04⎰例8.求密度为ρ的均匀球体对于过球心的一条轴l 的设球所占域为(用球坐标)

l

O

z

x

y

转动惯量.