近世代数主要知识点 ppt课件

并集 由至少属于集合a和b之一 的一切元素组成的集合就叫做a 和b的并集
a3············，an）（ai∈Ai）
所做成的集合叫做集合 的积
近世代数主要知识点
映射 映射的定义 假如通过一个法则Ф，对于任何一个
A1×A2×······×An的元都能得到一个唯一的D的元d， 那么这个法则叫做集合A1×A2×······×An到集合D
元a‘，能使a’a=aa’=e 消去律 若 ax=ax’，那么x=x’
若 ya=y’a，那么y=y’
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群的同态
定理 假定G与G’对于它们的乘法来说同 群
态，那么G’也是一个
注意 假如G’和G同态，那么不一定是群
定理2 假定G和G’是两个群。在G到G’的一个同态映射下，G的单 位元e的象是G’的单位元，G的元a的逆元a’的象是a的象的逆元
同余关系
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群的定义
群的第一定义
一个不空集合G对于乘法的代数运 算来说做成一个群，假如
ⅰG对于这个乘法来说是闭的
ⅱ结合律成立：a（bc）=（ab）c 对于G的任意的三个元a，b，c 都对；
ⅲ对于G的任意两个元a，b来说， 方程ax=b 和ya=b都在G里有 解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
群的第二定义
ⅰ G对乘法是闭的
假如运算1和1‘来说，有一个A到A’的满射的同态映射存在， 同态满射
同构映射 一一映射的同态映射就是一个同构映射 自同构
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等价关系与等价类
集合的等价关系 假如～满足以下规律Ⅰ反射律；a～a， 不管a是A的哪个元。Ⅱ，
对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～ c
近世代数基础
补考复习练习 近世代数基础
基本概念 域
群论
近世代数主要知识点
环和
第一章 基本概念
集合 映射 代数运算 结合律 交换律 分配律 一一映射 同态 同构、自同构 等价关系与集合分类
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第二章 群论
群的定义 单位元、逆元、消去律 有限群的另一定义 群的同态 变换群 置换群 循环群 子群 子群的陪集 不变子群、商群 同态与不变子群
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分配律
第一分配律 ⊙a） 第二分配律
b⊙（a+b）=（b⊙a)+(b
（a1+a2）b=（a1⊙b）+（a2⊙b）
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同态
同态映射 一个A到Ǎ的映射l，叫做一个代数运算∮和 ∮‘来说，A到Ǎ的同态映射，假如，在∮之下不管a和b是 A的哪两个元，只要a→a´，b→b` 就有a ∮b→ a´ ∮‘b`
定理 假定G是一个由元a所生成的循环群。那么G的构造 完全可以由a的阶来决定
一个没有元素的集合叫做空集 合
子集 若集合b的每一个元
素都属于集合a，我们说，b是a 的子集
交集 集合a和集合b的所有共 同元所组成的集合就叫做a和b 的交集
集合的积 令A1 A2·········， An是n个集合，有一切从A1 A2·········，An里顺序取出的 元素组（a1 ，a2，
ⅱ 结合律成立：a（bc） =(a
b)c对于G里的任意元都对
ⅲ G里至少存在一个左单位 元e，能让ea=a 对G中的 任意a都成立
ⅳ 对于G的每个元a，在G里 至少存在一个左逆元a‘ 能 让a’a=e
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单位元、逆元、消去律
单位元 一个群的唯一的能使ea=ae=a的元e叫做群的单位元 逆元 一个群的每一个元a来说，在群里存在一个而且只存在一个
如还有的话，不变的置换，叫做一个k-循环置换 定理2 每一个n个元的置换‫ד‬都可以写成若干个互相没有共同数字的
循环置换的乘积。 每个有限群都与一个置换群同构 3定理
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循环群
定义 若一个群G的每一个元都是G的某个固定元a的乘方， 我们就把G叫做循环群，我们也可以说，G是由元a生成的， 并且用符号G=（a）来表示。a叫做G的一个生成元
在一个同构映射下，两个单位元互相对应，相互对应的元的逆元相互 对应。
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变换群
定理1 假定G是集合A的若干个变换所做成的集合，并且G包含恒等 变换ε，若是对乘法（ζ：a→aζ，λ：a→a٨ 那么a→（a‫)ד‬٨）来说 做成一个群，那么G只包含A的一一变换。
变换群 一个集合的若干个一一变换对于以上规定的乘法做成的一个 群叫做A的一个变换群 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 2定理 任何一个群都同一个变换群同构 3定理 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c ·······我们在G里任意取出一
个元x来，那么‫ג‬x：g→gx=g٨x是集合的一个变换。因为给了G的任 意元g，我们能够得到一个唯一的G的元g٨x。这样由G的每个元x， 可以得到G的一个变换‫ג‬x。我们把所有这样的来的G的变换放在一起， 做成一个集合G’={ a’，b‘，c’ ·······}那么x→x’是G到G’的满射，但 消去律x≠y=>gx≠gy告诉我们若x≠y，那么x’ ≠y’，所以x→x’是一 一映射。在进一步看，是同构映射 所以任何群和一个变换群同构
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置换群
一个有限集合的一一变换叫做置换 一个有限集合的若干个置换群做成的一个群叫做置换群。 定义 一个包含n个元的集合的全体置换做成的群叫做对称群 sn 定理 1 n次对称群sn的阶是n！ 定义 sn的一个把ai1变到ai2·····························而使得其余的元，假
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第三章 环和域
加群、环的定义 交换律、单位元、零因子、整环 除环、域 无零因子环的特征 子环、环的同态 多项式环 理想 剩余类环、同态与理想 最大理想
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集合的定义
若干个固定事物的全体叫做一 个集合 简称集
元组成一个集合的事物叫做这 个集合的元素 有时简称元
的一个映射 像 逆象， 映射的相同 效果相同就行
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代数运算
定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个
。 代数运算我们用 来表示 。 二元运算 假如 是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭
的 二元运算