弹性力学第二章平面问题的基本理论

常体力情况下的简化（2）
— 求解平衡方程
平衡方程 所求的应力函数必须满足以下方程： 应力调和方程
其中
式的解为
式的通解加上
式的特解：
常体力情况下的简化（3）
— 平衡方程的特解
特解一： 特解二： 特解三：
常体力情况下的简化（4）
— 平衡方程的通解
剪应力相等：
艾里George Airy (1801-1892)应力 函数
平面应力问题
平面应力问题：设有很薄的等厚度板，只在板边上受有 平行于板面且不沿厚度变化的面力或约束，同时体力也 平行于板面且不沿厚度变化。
z
x
h
y
平面应变问题
平面应变问题：设有很长的柱形体，它的横截面不沿长 度变化，在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化 的面力或约束，同时体力也平行于横截面且不沿长度变 化。
则有：
最后得到：
因此，由
中第一式：
由
中第二式：
常体力情况下的简化（5）
— 平衡方程的解
通解
特解
常体力情况下的简化（6）
— 艾里应力函数表示的相容方程
代入 应力调和方程
得到：
简写为：
y x
z
物理方程
这里，E为弹性模量，G为剪切模量，µ 泊松系数，且有 如下关系：
平面应力问题的物理方程
注：平面应力状态中，垂直于平面方向上的正应变 不为零。
平面应变问题的物理方程
注：平面应变状态中，垂直于平面方向上的正应力 不为零。
平 衡 微 分 方 程 (1)
o x
c
y
平 衡 微 分 方 程 (2)
F F F/A F F/A
F
F/2 F/2
F F/A
F
F
圣维南原理推广
如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢 量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处发 生显著的应力，而远处可以不计。
圣维南原理应用
h/2
h/2 l 严格边界条件 y l 运用圣维南原理的边界条件 x
用位移法与应力法求解平面问题
2.应力分量满足形变协调方程：
3.应力分量满足边界条件和或位移单值条件：
按应力求解平面应力问题(6)
— 例题
x
ρg
y=h y
常体力情况下的简化（1）
— 应力调和方程
常体力
拉普拉斯（Laplace，Pierre-Simon，1749～1827） 方程，即调和方程。 当体力为常量时，在单连体的应力边界问题中，如果两 个弹性体的边界形状以及受力分布相同，那么它们平面 内的应力分布相同。
换为
换为
按位移求解平面应力问题(1)
— 用应变表达应力（物理方程）
按位移求解平面应力问题(2)
— 用位移表达应变（几何方程）
按位移求解平面应力问题(3)
— 平衡方程
按位移求解平面应力问题(4)
— 边界条件
按位移求解平面应力问题(5)
— 小结
按位移求解平面问题需要：
1. 位移分量满足微分方程：
c
X 方向力平衡：
再证剪应力互等
c
对c点力矩平衡：
几何方程
o x P A
y
P’ B A’ B’
刚体位移
o P x
y
平面问题小结
平面问题的基本方程：
1. 三个物理方程
2. 三个几何方程 3. 两个平衡方程
平面问题中的未知函数：
1. 三个应力分量 2. 三个应变分量 3. 两个位移分量
平面问题中一点的应力状态
o x
x方向力平衡：
P
A
y方向力平衡：
B
求得
面上，全应力等于主应力， 因此：
P
A
B
y
最大正应力与最大剪应力
莫尔圆推导应力状态公式
O. Mohr, 德国人，1835-1918。 τ
2α
σ
边界条件
位移边界条件：
在位移约束 面上：
应力边界条件：
在应力约束 面上： 设 面法线与x轴正向夹角 的余玄为l，与y轴正向夹角 的余玄为m。
— 相容方程的运用
设有应变分量：
显然其不满足协调方程。
按应力求解平面应力问题(3)
— 用应力表达应变（物理方程）
用应力表达应变并代入形变协调方程：
得到：
按应力求解平面应力问题(4)
— 平衡方程
代入下式消去剪应力：
得到：
按应力求解平面应力问题(5)
— 小结
按应力求解平面问题需要： 1.应力分量满足平衡微分方程：
混合条件：
位移约束与应力约束的组合。
边界条件举例
x
y q
x y
p
圣维南原理及其应用
圣 维 南 （ Adhé mar Jean Claude Barré de Saint-Venant ， 1797 ～ 1886）原理：如果把物体的一小部分边界上的面力， 变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同 一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著改变， 但是远处所受的影响可以忽略不计。
2.边界条件：
按位移求解平面问题(5)
— 举例
x
ρg
y=h y
按位移求解平面问题(6)
— 举例
x
ρg
y=h y
按应力求解平面应力问题(1)
— 用位移表达应变（几何方程）
形变协调方程或相容方程 连续体的形变分量不是相互独立的，它们之间必须满足 相容方程，才能保证真实的位移分量存在。
按应力求解平面应力问题(2)
位移法：以位移为基本未知函数，从方程和边界条件中 消去应力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和 相应的边界条件，并由此解出位移分量，然后再求出形 变分量和应力分量。 应力法：以应力分量为基本未知函数，从方程和边界条 件中消去位移分量和形变分量，导出只含应力分量的方 程和相应的边界条件，并由此解出位移分量，然后再求 出形变分量和位移分量。 注：课堂上只推导平面应力问题的求解方法，至于平面 应变问题，只需要在推导结果上稍作改变，即将结果中：