北京市朝阳区高二下学期期末考试数学(理)试题

北京市朝阳区2016~2017学年度第二学期期末统一考试

高二年级数学理科试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选

出符合题目要求的一项）

1．设0.3log 2a =，20.3b =，0.32c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）． A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b << D ．b c a <<

2．已知i 为虚数单位，负数i(i )()z a a =-∈R 在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取

值范围是（ ）． A ．(1,)+∞ B ．(0,)+∞ C ．(,0)-∞ D ．(,1)-∞-

3．在极坐标系中，曲线2sin ρθ=的对称中心是（ ）． A ．π1,2⎛⎫

⎪⎝⎭

B ．π1,2⎛

⎫- ⎪⎝

⎭

C ．(1,0)

D ．(1,π)

4．若11dx a x -=⎰，π

0sin dx b x =⎰，则a b +的值是（ ）． A ．2- B ．0 C ．2 D ．3

5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）． A ．3

y x =

B ．1

(e e )2x x y -=-

C ．1lg 1x

y x

+=-

D ．12x

y ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

6．若函数3211

()32f x x ax x =-+在区间(0,1)内为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）．

A ．[)2,+∞

B ．(0,2)

C ．(,2)-∞

D ．(],2-∞

7．图中各数类似“杨辉三角”，每行首末两数分别为1，2，每行除首末两数外，其余各数均

等于“肩上”两数之和，则第n 行的1n +个数的和为（ ）．

… … … … … …

543

2

2

211

1

A ．3n

B ．1

32

n -⨯

C ．23()32

n n -+

D ．23n n -+

8．某校高二学生参加社会实践活动，分乘3辆不同的巴士，共有5名带队教师，要求每车

至少有一名带队教师，则不同的分配方案有（ ）． A ．90种 B ．150种 C ．180种 D ．240种

9．某次期末考试，甲、乙、丙获得了班级前三名（无并列名次）．某同学曾做了三个猜测：

“甲是第一名；乙不是第一名；丙不是第二名”．该同学只猜对了一个，则实际的结果是（ ）．

A ．甲第一名，乙第二名，丙第三名

B ．甲第二名，乙第三名，丙第一名

C ．甲第三名，乙第二名，丙第一名

D ．甲第二名，乙第一名，丙第三名

10．已知函数11()(22f x x x ⎛

⎫=

-- ⎪⎝

⎭（其中(0,)x ∈+∞），()l n g x x =和函数()()()()()()().f x f x g x h x g x f x g x ⎧=⎨<⎩

≥

若方程()h x kx =有四个不同的解，则实数k 的取值范围是

（ ）．

A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

B ．⎛ ⎝⎭

C ．1e ⎫

⎪⎪⎝⎭

D ．1e ⎛ ⎝⎭

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把正确答案填在答题卡上） 11．6

12x x ⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭的展开式中的常数项为__________．（用数字作答）

12．已知曲线C 的参数方程为cos 1,

sin 1x y αα=-⎧⎨=+⎩

（α为参数），点P 为曲线C 上的动点，O 为坐

标原点，则PO 的最小值为__________．

13．甲、乙、丙的投篮命中率分别为

12，23，4

5

．三人各投篮一次，假设三人投篮相互独立，则至少有一人命中的概率是__________．

14．若随机变量ξ的分布列为()(1,2,3)P k ak k ξ===，则实数a =__________；数学期望

E ξ=__________．

15．已知甲、乙、丙、丁四人排成一行，甲和乙相邻，甲和丙不相邻，则不同的排法有__________

种．（用数字作答）

16．若函数()f x 的导数()f x '存在导数，记()f x '的导数为()n f x ．如果()f x 对任意(,)x a b ∈，

都有()0n f x <成立，则()f x 有如下性质：

12

12()()()

n n x x x f x f x f x f n n ++

+++

+⎛⎫ ⎪⎝

⎭

≥．其中n ∈N *，1x ，2x ，，(,)n x a b ∈．若

()s i n f x x

=，则()n f x =__________；根据上述性质推断：当123πx x x ++=且1x ，2x ，

3(0,π)x ∈时，根据上述性质推断：123sin sin sin x x x ++的最大值为__________．

三、解答题（本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请

写在答题卡上） 17．（本小题12分）

已知函数2

1()ln (1)()2

f x a x x a x a =+-+∈R ．

（I ）若2x =为函数()f x 的极值点，求a 的值． （II ）讨论函数()f x 在区间(0,2)内的单调性．

18．（本小题14分）

为了了解某批产品的质量，从该批产品中随机抽取24个产品分成三组进行检测评分，得分结果如下：

已知所有得分均为整数，得分在的为一等品，的为二等品，79分及以下的为三等品．

（I ）从第一组中的8件产品任取3件，记一等品的个数为X ，求随机变量X 的分布列． （II ）若90a =，试问b 为何值时，第三组产品质量得分的方差最小？（直接写出结果） （III ）在（II ）的结果下，以这24件产品的三等品的频率估计整批产品中三等品的概率．从

该批产品（数量众多）中任取3件，记三等品的个数为Y ，求随机变量Y 的分布列和数学期望．