数学实验

高中数学实验活动实践研究

摘要

随着科学技术的迅猛发展和新课程改革的不断深入，数学实验活动正在成为高中数学教学研究的一种重要形式. 本文首先简单介绍了中学数学实验的概念，然后以教学过程中碰到的一类轨迹问题进行了数学实验的实践，得到了八个变式问题. 最后以“正弦定理”第一课时为例，以问题为导向、小组合作探究，数学实验活动为主要形式，进行了教学设计，说明了如何在数学实验活动过程中提升学生核心素养.

关键词：数学实验中学数学实验活动核心素养马鞍面

第一章前言

近几十年中，大量的数学思维方法、数学计算模型在科学研究、工程技术和生产管理各种领域中被成功地应用，数学与其它科学之间相互交叉，相互渗透，呈现统一的新趋势.高新技术从本质上说就是数学技术，数字时代就是数学时代、但是这种数学时代却与传统的经典数学呈现很大的不同，随着计算机科学与网络技术的发展，随着国内外许多数学软件的成功开发，现在科学研究与科学发现、技术改造与技术创新已要求新型人才不仅仅具有传统意义上的数学逻辑思维能力，而且要求具有更强的数学建模能力和使用计算机的能力.

我们的数学教育应该在立足基础，保持传统的基础上做一些改良，做一些创新，让孩子们多一些操作，多一些想象.高中数学实验为我们数学教学打开了一扇窗.

数学实验[1]，是指在一定的数学思想，数学理论指导下，经过某种预先的组

织设计，借助于一定的仪器和技术手段，进行数学化操作（包括对客观事物的数量化特性进行观察、测试、度量、计算、归纳、类比、猜想、判断、推广、抽样、检验、逼近、模拟等），进而获得对客观对象的认知经验，探求对客观对象的控制手段或技术的方法.

中学数学实验活动不完全等同于数学实验[1]，它是根据数学教学的需要，在

一定的数学原理的指导下，让学生借助一定的工具，仪器和技术手段，对具有一定数学意义的实物，模型，事件，以及数字，图形、式子、题目等，进行观察、测试、度量、计算、归纳、类比、猜想、判断、推广、抽样、检验、逼近、模拟等数学化操作，经历“再发现”的过程，以获取感性认识和数学信息的活动.

中学数学实验活动隶属于数学实验，但它同时兼容了“教育”的鲜明特性.中学数学实验活动过程是“再发现”的过程，是教师根据教学需要人为地、有目的地、模拟地为学生创设积极的思维背景，使学生通过实际操作获得数学体验活动，其目的是让学生在“做数学”中“学数学”、“用数学”.

由于中学数学内容属于数学各分支中最基础的内容，所以可以通过设计实验活动在一定程度上还原和描述中学数学涉及的数学现象、概念、原理、知识体系的形成和发展.也因此，中学数学实验活动首先作为一种认知方法在教学过程中发挥效用.

中学数学实验活动并不是止步于对客观对表面的感性认识，而是以更深入内化的认知基础，进入到对客观对象属性的深层次探究，是一种对科研方法的初步接触.

新的《课程标准》提出了学生核心素养的培养，最终要落在学科核心素养的培育上，数学核心素养是指具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力，主要包括数学抽象、逻辑推理、数学模型，也

就是会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界.教师应将核心素养的培养贯穿于数学教学活动中，我们的数学教学活动应当把握数学内容的本质；创设合适的教学情境，提出合理的问题；启发学生独立思考，鼓励学生与他人交往；让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学的本质；让学生积累数学思维经验，形成和发展数学核心素养.在中学进行数学实验活动,既可以改变“讲-练-考”的课堂教学模式，也能都调动学生学习的主动性、自主性、参与性.

总之，数学实验实质上是学生或老师创设数学情境，依靠一定的实验工具让学生在观察和实验中发现数学规律，进而获得相关的过程体验，情感体验，有利于培养学生的创新能力，也符合新课程标准要求.同时也可以提升教师专业水平.

本文在第二章中,对在教学过程中碰到的一类轨迹问题,借助几何画板这一工具进行了数学实验研究,得到了一系列有用的结论. 在第三章中,以“正弦定理”第一课时为例，以问题为导向，以数学实验探究为主要形式进行了教学设计.

第二章 探究一类轨迹问题的数学实验

本章主要讨论教学中遇到一道轨迹问题，经过师生共同参与的数学实验活动，发现背后隐藏着空间解析几何中的典型曲面：双曲抛物面（也叫马鞍面）.再返回到问题中来，编出了一系列的立体几何与解析几何综合的新颖习题，过程中还利用几何画板辅助画出空间曲面和曲线.

例 （如图1）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱上有几个点到异面直线a 、b （即 直线AD 、D 1C 1）的距离相等？

答案很简单，满足条件的点有四个，分别是点O 、A 1、E 、C.

有学生问：在正方体的表面上到直线a 、b 的距离相等的点还有哪些？能画出轨迹吗？

另一个学生问：在正方体的表面及其内部到直线,a b

的距离相等的动点的轨迹是什么？在空间到直线,a b 的距离相等的动点的轨迹是什么？

课后, 经过我和学生还有科组老师的不断试验,经过一段较长时间师生共同努力，反复尝试，查阅资料，用几何画板绘图等，最终形成以下结果：

2.1 空间到异面直线,a b 的距离相等的动点的轨迹是马鞍面.

2.1.1 若异面直线,a b 相互垂直，如图2，设两条异面直线间的距离是m ，1AA 、1CC 的中点分别是H 、K, 以1DD 的中点O 为原点，OH 为x 轴，OK 为y 轴建立空间直角坐标系O xyz -. 设点P(x, y, z)是轨迹上任一点，如图做辅助线，由PN=PM, 得

：

=化简得方程：222.x y mz -= ①

2.1.2 对于任意的两条异面直线,a b ，设它们之间的距

离是m ，它们所成的角是2α, 如图3，设两条异面直线的公垂线段是ST ，ST 的中点是点O ，过点O 分别作直线,a b ''，使得a '//a, b '//b, 以公垂线段的中点为原点，

A

图1

1

图2