第7章多目标及离散变量优化

l-k个目标函数也没法
min

f2 ( x)

f
* 2
x D x | f1(x)
f1*
得到最优化解。
以下类推。
2、宽容分层机序械列优法化设计 基本思想：即先对各目标函数的最优值取一定的宽容量
ε1，ε2，…，εl (>0)，使求后一个目标函数最优值时，对 前一些目标函数的约束扩大为在其最优值附近的某一范
依其数量级和在整体设计中的重要程度相应地给出一组
加权因子，w1, w2 ,..., wl ,取fi(x)和wi(i=1,2,…，l) 的线性组合， 构成一新的统一的目标函数F(x)
l
min F(x) wi fi (x)
xRn
i 1
wi——加权因子 (wi≥0，i=1,2,…，l ) 加权因子取值对计算结果的正确性影响较大。
f
* i

min
fi (x)
(i 1,2,...,l)
xD
即将各单目标函数的最优值的倒数作为权系数， 它反映了各单目标函数离开各自最优值的程度。另 外相当于各分目标函数进行了无量纲的处理，而消 除了各分目标在数量级上的差别。
③直接加权机法械优化设计
将加权因子分成两部分
wi=w1i·w2i 其中，
4．功效系数机法械优化设计 基本思想：对应每一目标函数都用功效系数
Ci Fi ( fi ) (i 1,2,...,l) 来表示该项指标的好坏
0

Ci
1Ci Ci
1 该目标达到最满意 0 该目标值最不满意
总功效系数（评价函数） C l c1.c2...cl
C值越大越好，
取
l
wi 1
i 1
将fi(x)转换为无量纲的等量级目标函数 fi (x) 的方法
设各分目标机函械数优值化的设变计动范围为：i fi (x) i
fi (x)
fi (x) i i i
(i 1,2,..., l)
② wi 1 fi* (i 1,2,...,l)
围内。
①
min
f1 ( x)

f1*
x D
②
min f2 (x) f2*

x D1
x|
f1(x)
f1* 1
③
min f3(x) f3*

x D2
x|
fi (x)
fi* i
(i 1,2)
……
④
mx inDfll(1x) xf|l*fi (x) fi* i (i 1,2,...,l -1)
min F (

f1
(
x)

x) [ f1( x2 2x,
x), f2 (x)]T f2(x) x
D x | 0 x 2
在 x[0,2] 内两单目标函数
最优解为： x(1) 1, f1(x(1) ) 1, x(2) 2, f2 (x(2) ) 2
非劣解(有效解)： 指有m个目标函数，找不到一个x，使得其中一个目
标函数值fi(x)比fi(x*) 更好，而其余(m-1)个目标函数值不 变坏，则称x*为非劣解（有效解）;
多目标优化设计时，各分目标往往互相矛盾，甚至 对立，这就需在各分目标函数之间协调，互相作些让步 ，以便取得较好的方案。
例1
机械优化设计
f2 (x) 1 (x 2.9)2
D x |1.5 x 2.5
解：如图所示，由
max xD
f1(x)

1 2
(6

x) cosx
x(1) 2, f1(x(1) ) 2
给定ε1=
0.052，
D1 x |
f1(x)
f1(x(1) ) 0.052,
C=1---方案最满意
C=0---表示此方案不能被接受。
只要有一个方案， Ci=0，此方案都不能被接受 功效系数类型：
1）Ci与fi成正比，即要求目标函数越大越好 2）Ci与fi成反比，即要求目标函数越小越好 3）fi取某适当值时，Ci就越大；否则Ci就越小。
功效系数的确机定械方优法化：设计 ①直线法
ff12((xx))==85时时，，对 对应 应ff21((xx))的的最最佳佳点点为为SQ点点。S、Q点都比R点优 均为约束边界点
由此可得f1(x)（或f2(x)）为定值时 对应的最佳f2(x)（或f1(x)）的点关 系曲线T-Q-S-P—协调曲线。
该曲线反映机了械两优个化设设计计目标全部最佳方案的调整范围, 再建立一个衡量设计方案满意程度的准则，建立一组反
得不到最优解，而只能得到非劣解（有效解）
②多目标优化问题的任意两个设计方案，往往不易
于比较其优劣。
判别方案机的械优优劣化：设计 单目标：只要用f(x)去比较即可
多目标： f j (X (1) ) f j (X (0) ) （j=1,2,…l）
绝对最优解：多目标优化设计时，几个分目标同时达到 最优的解 。绝对最优解几乎不可能找到， 因为各分目标函数有时会相互矛盾。
x D ，有 fi (x) fi (x*)
则x*成为劣解。）
③若 x* D ，且不存在 x D 使 fi (x) fi (x*)，则x*为非劣解。 x [1,2] 的所有点均为非劣解。 例如b点。
机械第优二化节设计多目标优化方法 一、主要目标法
基本思想：多个目标中选择一个目标作为主要目标，而 其它目标则只需满足一定的要求即可，即将 目标转化为约束条件
F(x) fr1(x),..., fl (x)T
则统一目标函数为
min min min F(x)
u( f (x))
f1(x)... fr (x)
xR n
xR n
xRn fr1(x)... fl (x)
即要求位于分子的各分目标函数应尽量小，而位于分 母的各分目标函数应尽量大。 一般要求各分目标函数fi(x)在D上均取正值。
机械优化设计 如图，两目标优化问题，不作宽容时，
~x
为最优解，即f1(x)的严格最优解，给定宽容值ε1， 则最优解为x(1)
例1 用宽容机分械层优序化列设法计求解 V— max F(x) xD 式中，F (x) f1(x) f2 (x)T ;
f1 ( x)

1 2

(6

x)
cosx,
→特例：整数变量—整数规划问题
最简单处理办法：按连续变量处理，得最优解后， 再圆整为最近的离散值
问题：①圆整后的点在非可行域; ②圆整为哪一个附近的离散值难于确定; ③有些情况下设计变量不允许最后取整。
约束非线性机混械合优离化散设计 变量优化问题的数学模型：
式中
min f (x)
s.t.g j (x) 0
目标函数转化为：
min fk (x)
xD(k )
D(k) x | fimin fi (x) fimax (i 1,2,...,k 1, k 1,...l, x D)
式中，f imin和f imax为第i个目标函数的上、下限。 一般 fi (x) 只有单边限制
②折线法
③指数法 机械优化设计
功效系数法的优点： 1、各分目标函数的值数量级大小对优化无影响 2、评价函数比较直观、易于调整 3、适于要求目标函数取值适中的情况
三、协调曲机线械法优化设计
基本思想：多目标优化问题中，存在目标函数间相互矛盾 的情况，一个（些）目标函数值的减小，将导致另一 个（些）目标函数值的增大。因此，各分目标函数值 之间需要进行协调，以便取得合理的方案。
(i=1,2,…,l)
w1i——本征权因子，反映各分目标的重要程度 w2i——校正权因子，调整各分目标间量级差别的影响
一般取：
w2i
1 fi (x) 2
(i 1,2,...,l)
一个分目标函数fi(x)变化越快， fi (x) 2 的值越大，
加权因子w2i愈小，反之，亦然。这样可调整不同的目 标函数值同步下降。
加权因子w机i确械定优的化方设法计:
①将各分目标转化后加权
为消除各分目标在量级上的差别，先将分目标函数fi(x) 转化为无量纲等量级目标函数 fi (x) (i 1,2,...,l) ( fi (x) 1) 再组成统一目标函数。 l
F (x) wi fi (x)
i 1
wi——按各分目标的重要程度来决定 如各分目标有相同的重要性，则取wi =1 (i=1,2,…,l) —称为均匀计权，否则取各分目标不同的加权因子，
1.5
x 2.5
解 max f2 (x) 1 (x 2.9)2 x(2) 1.9 xD1 ∴ x* x(2) 1.9, f1(x(2) ) 1.948, f2 (x(2) ) 2
机第械三优节化设离计散变量优化问题
一、概述
离散 变量
等间隔的离散变量 非均匀间隔离散变量
机械优化设计
第七章
多目标和离散变量优化方法
第一节 多目标优化问题 第二节 多目标优化方法 第三节 离散变量优化问题 第四节 离散变量优化方法
机械第优一化节设计多目标优化问题
机械设计中，同时要求几项设计指标达到最优的问题
——多目标优化设计问题
min min F(x)
[ f1 (x), f2 (x).. fl (x)]T
x R n
x R n
s.t. g j (x) 0 ( j 1,2,..., m)
hk (x) 0 (k 1,2,..., p n)
多目标优化问题的类型：
(1)整体多目标优化
(2)分层(步)多目标优化
多目标优化问题与单目标优化问题有根本性区别:
①单目标问题可以得到最优解，而多目标问题往往
2．理想点法机（械目优标化规设化计法） 基本思想：先定出各分目标函数的最优值，根据多 目标优化设计的总体要求对这些最优值进行调 整，定出各分目标的最合理值 fi(0) (i 1,2,..., l) （也可以是最优值 fi*），再构造新的统一的
目标函数：
F ( x)

l

i 1
fi (x) fi0
如图所示，两维双目标函数f1(x)、f2(x)的等值线和两个不 等式约束曲面.
f1(x)最优点机T点械，优f化2(x设)最计优点P点 可行域中任意一点R. 从R点起沿f1(x)=5等值线，向约束面移动f2(x)不断改善， 直至边界上S点。 从R点起沿f2(x)=8等值线，向约束面f1(x)移动不断改善， 直至边界上Q点。
二、统一目标法
基本思想：将多目标优化问题，通过一定方法转化为统 一目标函数或综合目标函数作为多目标优化 问题的评价函数。
机械优化设计 常用的方法有：线性加权法、理想点法（目标规划法） 、
功效系数法和极大极小法等。 1．线性加权法
基本思想：将各个分目标函数 f1(x), f2 (x),..., fl (x)
但两者无共同的最优解
① x [0,1] 内机，械x优* 化1,设f1(计x*) 1, f2 (x*) 1 是绝对最优解。
(若 x* D ，对任意 x D 都有fi (x) fi (x*)(i 1,2,..., l)
，则x*是多目标优化的绝对最优解)
② x [0,2] 内，a’，a点都是劣解（若 x* Dx，存在
映不同满意程度的曲线u(f1,f2)，使随着满意度增加，同 时使目标函数f1(x)和f2(x)都有所下降。
满意度曲线与协调曲线的切点，即为最优设计方案。
如图所示O点
满意度曲线不同，则最优设计方案也不同。
四、分层序机械列优法化和设宽计容分层序列法
基本思想：将多目标优化问题的各目标函数按重要程
度排列，然后，依次对各个目标函数求最优解，而后一
fi0
பைடு நூலகம்

2

式中，除 fi0 是为使目标函数无量纲化。
如引入加权系数wi，则目标函数为：
F ( x)
l
wi
i 1

fi (x)
f
0 i
f
0 i
2
3．分目标乘机除械法优化设计
多目标混合优化问题： min F
V——
max
F


xD
其中， F(x) f1(x), f2 (x),...,fr (x)T ,
目标函数应在其前面目标函数最优解的集合域内寻优。
1、分层序列法
设分目标函数重要程度次序为：f1(x)、f2(x)，…
则首先对f1(x)寻优：
问题：如其中第k个
min
f1(x)
f1*
x D
在 { f1*}的集合内对f2(x)寻优：
目标函数的最优解为 唯一时，再往下求解 就失去意义，而后面