运筹学教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(目标规划)【圣才出品】
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注意：目标规划问题求解时，把绝对约束作为最高优先级考虑。在求解时会出现某些约 束得不到满足，故将目标规划问题的最优解称为满意解。
4．目标规划的单纯形法
目标规划的数学模型结构与线性规划的数学模型结构形式上没有本质的区别，所以可用
即对应优先因子行中的第 1 行开始。
（2）检查该行中是否存在负数，且对应的前 k-1 行的系数是 0。若存在负数，则取其
中最小者对应的变量为换入变量，转（3）。若无负数，则转（5）。
（3）按最小比值规则确定换出变量，当存在两个和两个以上相同的最小比值时，选取
具有较高优先级别的变量为换出变量。
（4）按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回（2）。
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第 5 章 目标规划
5.1 复习笔记
1．目标规划中的一些概念
（1）正负偏差变量 d , d 正偏差变量 d 表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量 d 表示决策值未达到目标值 的部分。因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，所以恒有 d d 0 。
①要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时 min z f (d d ) ； ②要求不超过目标值，即正偏差变量要尽可能地小，这时 min z f (d ) ； ③要求超过目标值，即负偏差变量要尽可能地小，这时 min z f (d ) 。
2．目标规划一般数学模型
L
K
min z
单纯形法进行求解。但要考虑目标规划数学模型的一些特点，作以下规定：
（1）因目标规划问题的目标函数都是求最小化，所以以检验数大于等于 0 为最优准则。
（2）因非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子，即
c
j－z
－
j
akj
Pk
,
j＝1, 2, n; k＝1, 2,, K
，因
pk
pk1, k
1, 2,…, K
；从每个检验数
的整体来看：检验数的正、负，首先决定于 P1 的系数 a1 j 的正、负。若 a1 j 0 ，这时此检验
数的正、负就决定于 P2 的系数 a2 j 的正、负，下面可依此类推。
解目标规划问题的单纯形法的计算步骤：
（1）建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子个数分别列成 K 行，置 k=1，
按目标的主次或轻重缓急的不同，用优先因子 Pj 来描述，要求第一位达到的目标赋予 优先因子 P1 ，次位的目标赋予优先因子 P2 ，…，并规定 Pk Pk1, k 1, 2,…, K 。 P2 级目 标是在实现 P1 级目标的基础上考虑的；依此类推。若要区别具有相同优先因子的两个目标 的差别，这时可分别赋予它们不同的权系数 j 。
（4）正确。当要求 min z d d 且 d d 0 时，可以断定 d 0 ， d 越大越
好，即表示超过目标值越大越好。
5.2 分别用图解法和单纯形法找出以下目标规划问题的满意解。
（1） min
z p1
d1 d1
p2
2d
2
d3
x1
10
x2
3x1 5x2
d1
d
2
d1 d2
50 20
8x1
6x2
d3
d3
100
x1,
x2 , di , di
0, i
1, 2,3
图解法：
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（5）当 k=K 时，计算结束。表中的解为满意解。否则置 k=k+1，返回到（2）。
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5.2 课后习题详解
5.1 若用以下表达式作为目标规划的目标函数，试述其逻辑是否正确？
（1） max z d d （2） max z d d （3） min z d d （4） min z d d 解：（1）不正确。当要求 max z d d 且 d d 0 时，问题变为求 d 或 d 最
大，即超过目标值越大越好，或未达到目标值越大越好，这两项是相反方向的，所以
max z d d 无实际意义。 （2）正确。当要求 max z d d 且 d d 0 时，可以断定 d 0 ， d 越大越
好，即表示未达到目标值越大越好。
（ 3 ） 正 确 。 要 求 当 要 求 min z d d 且 d d 0 时 ， 可 以 得 出 最 优 值 为 d d 0 ，即恰好达到目标值。
Pl
(lk
d
k
lk
d
k
)
l 1 k 1
n
ckj x j
d
k
d
k
gk ,
k 1,
,K
Leabharlann Baidu
j1
n
aij x j (, )bi ,
i 1,
,m
j1
x
j
0,
j 1,
,n
dk
,
d
k
0,
k 1, 2,
,K
其中，
lk
,
lk
为权系数。
3．目标规划的图解法 对只具有两个决策变量的目标规划的数学模型，可以用图解法来分析求解。 图解法求解目标规划的基本步骤： （1）令各目标约束的偏差变量为 0，在坐标系中画出所有的约束直线； （2）在直线旁标上偏差变量，作图表示偏差变量增加对约束直线的影响； （3）确定满足第一优先级目标集的最优解空间（不考虑其他优先级）； （4）依次类推到下一优先级，直到所有优先级均求解完毕。
（4）目标规划的目标函数 目标规划的目标函数（准则函数）是按各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先
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因子及权系数而构造的。当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。目 标规划的目标函数的基本形式有三种：
（2）绝对约束和目标约束 绝对约束（硬约束）：是指必须严格满足的等式约束和不等式约束，不能满足这些约束 条件的解为非可行解。 目标约束（软约束）：是目标规划特有的，可把约束右端项看作要追求的目标值。在达 到此目标值时允许发生正或负偏差，因此在这些约束中加入正、负偏差变量。 （3）优先因子（优先等级）与权系数
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注意：目标规划问题求解时，把绝对约束作为最高优先级考虑。在求解时会出现某些约 束得不到满足，故将目标规划问题的最优解称为满意解。
4．目标规划的单纯形法
目标规划的数学模型结构与线性规划的数学模型结构形式上没有本质的区别，所以可用
即对应优先因子行中的第 1 行开始。
（2）检查该行中是否存在负数，且对应的前 k-1 行的系数是 0。若存在负数，则取其
中最小者对应的变量为换入变量，转（3）。若无负数，则转（5）。
（3）按最小比值规则确定换出变量，当存在两个和两个以上相同的最小比值时，选取
具有较高优先级别的变量为换出变量。
（4）按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回（2）。
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第 5 章 目标规划
5.1 复习笔记
1．目标规划中的一些概念
（1）正负偏差变量 d , d 正偏差变量 d 表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量 d 表示决策值未达到目标值 的部分。因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，所以恒有 d d 0 。
①要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时 min z f (d d ) ； ②要求不超过目标值，即正偏差变量要尽可能地小，这时 min z f (d ) ； ③要求超过目标值，即负偏差变量要尽可能地小，这时 min z f (d ) 。
2．目标规划一般数学模型
L
K
min z
单纯形法进行求解。但要考虑目标规划数学模型的一些特点，作以下规定：
（1）因目标规划问题的目标函数都是求最小化，所以以检验数大于等于 0 为最优准则。
（2）因非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子，即
c
j－z
－
j
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Pk
,
j＝1, 2, n; k＝1, 2,, K
，因
pk
pk1, k
1, 2,…, K
；从每个检验数
的整体来看：检验数的正、负，首先决定于 P1 的系数 a1 j 的正、负。若 a1 j 0 ，这时此检验
数的正、负就决定于 P2 的系数 a2 j 的正、负，下面可依此类推。
解目标规划问题的单纯形法的计算步骤：
（1）建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子个数分别列成 K 行，置 k=1，
按目标的主次或轻重缓急的不同，用优先因子 Pj 来描述，要求第一位达到的目标赋予 优先因子 P1 ，次位的目标赋予优先因子 P2 ，…，并规定 Pk Pk1, k 1, 2,…, K 。 P2 级目 标是在实现 P1 级目标的基础上考虑的；依此类推。若要区别具有相同优先因子的两个目标 的差别，这时可分别赋予它们不同的权系数 j 。
（4）正确。当要求 min z d d 且 d d 0 时，可以断定 d 0 ， d 越大越
好，即表示超过目标值越大越好。
5.2 分别用图解法和单纯形法找出以下目标规划问题的满意解。
（1） min
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d1 d1
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x1
10
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d3
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100
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0, i
1, 2,3
图解法：
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（5）当 k=K 时，计算结束。表中的解为满意解。否则置 k=k+1，返回到（2）。
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5.2 课后习题详解
5.1 若用以下表达式作为目标规划的目标函数，试述其逻辑是否正确？
（1） max z d d （2） max z d d （3） min z d d （4） min z d d 解：（1）不正确。当要求 max z d d 且 d d 0 时，问题变为求 d 或 d 最
大，即超过目标值越大越好，或未达到目标值越大越好，这两项是相反方向的，所以
max z d d 无实际意义。 （2）正确。当要求 max z d d 且 d d 0 时，可以断定 d 0 ， d 越大越
好，即表示未达到目标值越大越好。
（ 3 ） 正 确 。 要 求 当 要 求 min z d d 且 d d 0 时 ， 可 以 得 出 最 优 值 为 d d 0 ，即恰好达到目标值。
Pl
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其中，
lk
,
lk
为权系数。
3．目标规划的图解法 对只具有两个决策变量的目标规划的数学模型，可以用图解法来分析求解。 图解法求解目标规划的基本步骤： （1）令各目标约束的偏差变量为 0，在坐标系中画出所有的约束直线； （2）在直线旁标上偏差变量，作图表示偏差变量增加对约束直线的影响； （3）确定满足第一优先级目标集的最优解空间（不考虑其他优先级）； （4）依次类推到下一优先级，直到所有优先级均求解完毕。
（4）目标规划的目标函数 目标规划的目标函数（准则函数）是按各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先
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因子及权系数而构造的。当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。目 标规划的目标函数的基本形式有三种：
（2）绝对约束和目标约束 绝对约束（硬约束）：是指必须严格满足的等式约束和不等式约束，不能满足这些约束 条件的解为非可行解。 目标约束（软约束）：是目标规划特有的，可把约束右端项看作要追求的目标值。在达 到此目标值时允许发生正或负偏差，因此在这些约束中加入正、负偏差变量。 （3）优先因子（优先等级）与权系数