工程数学应用基础

工程数学应用基础
第一章 第二章 第三章 第四章 微积分应用 级数应用 微分方程应用 几种常用的计算方法
先修课程： 高等数学 考核方式：考勤、大作业、论文
第一章 微积分应用
微积分是研究函数的微分、积分以及 有关概念和应用的数学分支，它是建立在 实数、函数、极限的基础上的。微积分的 基本概念和内容包括微分学和积分学，微 分学的主要内容包括极限理论、导数、微 分等，积分学的主要内容包括不定积分、 定积分、重积分、线面积分等。
dT . dl lg
当 l
l 时，
T dT l. lg
（1）
l 据题设，摆的周期是1秒，即 1 2 , g g (cm). 现摆长的 由此可知摆的原长是 2 2
改变量 l 0.01(cm), 于是由（1）式得摆 的周期的相应改变量是
T dT g
例1 某家有一机械挂钟，钟摆的周期为1秒。 在冬季，摆长缩短了0.01厘米，这只钟每天
大约快多少？
例1 某家有一机械挂钟，钟摆的周期为1秒。在冬季， 摆长缩短了0.01厘米，这只钟每天大约快多少？
l 解 单摆的周期公式 T 2 , 其中 l 是摆长 g
（单位： cm ），g 是重力加速度（ 980cm/s2 ）， 于是可得

g
(0.01)
2
2
2 2 (0.01) 0.0002(s) g
这就是说，由于摆长缩短了 0.01 厘米，钟摆的 周期便相应缩短了约 0.0002 秒，即每秒约快 0.0002 秒，从而每天约快 0.0002 24 60 60 17.28 秒。
例2 计算 ln( 3 1.03 4 0.98 1) 的近似值。
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 )
全微分的定义 ：
如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 处全增量 可表示成
z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
A Δ x B Δ y 称为函数 f ( x, y ) f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，
在点 (x, y) 的全微分, 记函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
设函数 z f ( x, y) 在点 ( x, y ) 处可微，则函数的
一元函数微分在近似计算中的应用公式
y f ( x0 )x o( x)
当 x 很小时, 得近似等式:
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
令 x x0 x
当 U 500, V 1.44, P 20 时，
C 0.06, U C 125 , V 12 C 1.5 P
C C C C dC dU dV dP U V P 125 0.06 5 0.0144 1.5 0.2 0.75 12
V V dV = R H 2 RH R R 2 H R H
现在 R 2, R 0.05, H 10, H 0.2 所以
V dV 2 2 10 0.05 2 (0.2)
2
2 0.8 1.2 (cm )
C
0.75 2.5%. C C 30
dC
所以 C 的最大绝对误差约为 0.75,
最大相对误差约为 2.5%.
习 题
1. 计算
(1.02)3 (1.97)3
的近似值。
2. 测得一块三角形土地的两边边长分别为 63 0.1 m 和 78 0.1 m, 这两边的夹角为 60 1 . 试求三角形
x 1 y 1
1 3
1 4
3
所以
3 4
x 1 y 1
1 1 ln( 1.03 0.98 1) 0.03 (0.02) 0.005. 3 4
例3 当圆柱形的半径 R
2cm 增至 2.05cm,
而高 H 由10cm 减至 9.8cm 时，求体积的近似变化。
解 圆柱形体积 V R2 H ,
面积的近似值，并求其绝对误差和相对误差。
全增量与全微分之差是一个比 高阶的无穷小，因此
当 x 与 y 全增量可以近似地用全微分代替，即
z dz f x ( x, y)x f y ( x, y)y
又因为 z f ( x x, y y) f ( x, y), 所以有
f ( x x, y y) f (x, y ) f x (x , y )x f y (x , y )y
§1.1 微分在近似计算中的应用
微分学的两个最主要的概念就是导数 与微分。导数反映函数相对于自变量的瞬 时变化率，微分给出了自变量有微小变化 时，函数的近似变化。导数和微分概念内 涵极其丰富，广泛应用于工程、科技、经 济、医学、计算机科学等许多领域。这里 我们首先介绍应用全微分来近似计算全增 量，这是由于他们之间仅差一个高阶无穷 小，而全微分的计算要简单得多。
微积分是与应用联系着发展起来的，最 初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有 引力定律导出开普勒行星运动三定律。此后， 微积分学极大地推动了数学的发展，同时也 极大地推动了天文学、力学、物理学、化学、 生物学、工程学、经济学等自然科学、社会 科学及应用科学各个分支中的发展。并在这 些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算 机的出现更有助于这些应用的不断发展。
解
U ,V , P
的相对误差最大不超过 1%, 即
dV 1%, V dP 1% P
dU 1%, U
所以， dU 5, dV 0.0144, dP 0.2. 由全微分公式
C C C dC dU dV dP U V P
及C
U V , P
得
C V C U C U V , , 2 . U P V 2 V P P P
3 z f ( x , y ) ln( x 4 y 1), 解 令
取 x0 1, x 0.03, y0 1, y 0.02,
ln( 3 1.03 4 0.98 1) f ( x0 x, y0 y)
于是
f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y
现在
f ( x0 , y0 ) f (1,1) ln1 0
f x 1 2 f 3 x , 4 x x y 1 3 1 1 3
3
x 1 y 1
f x
f y
3
1 2 f 3 x , x x 4 y 1 3 1
1 3 f 4 x , 4 y x y 1 4 1
3
例4 尿素的清除率计算中的误差估计 肾的一个重要的功能是清除血液中的尿素。临床 上在尿量小时，为减少尿量变动对所测尿素清除率值 的影响，通常采用尿素标准清除率计算法，即
U V C , 其中 U 表示尿中的尿素浓度，V 表示每 P
分钟排出的尿量， P 表示血液中的尿素浓度。 正常人尿素标准清除率约为54。某病人的实验室 测量值为 U 500, V 1.44, P 20, 则 C 30. 若每一 测量值的相对误差不超过 1%, 试估算 C 的最大绝对 误差和相对误差。