2.3 直线的参数方程

§2.3 直线的参数方程 姓名

【学习目标】

1.记住直线的参数方程的形式并能简单应用；

2.理解直线参数方程中参数t 的几何意义。 【重点难点】

重点：直线的参数方程的形式。

难点：直线参数方程中参数t 的几何意义。 【复习回顾】

将下列参数方程化成普通方程。

1.（1）{t y t t x =+=)(,12为参数 （2）{2

2

1

)

(,3-=-=t y t t x 为参数 （3）{2

131)(,3

2

-==a y a x 为参数α 思考：一条直线的参数方程唯一吗？ 【自主探究】

一、直线的参数方程：

1.标准式 设直线过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α，则直线的参数方程为：___________

2.一般式 过点(x 0，y 0)，斜率为_____的直线的参数方程为:

二、参数方程中t 的几何意义 思考：

1.一般式中的a,b 满足什么关系，一般式就变成了标准式？

2. 若P 1、P 2是直线上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则

(1)P 1、P 2两点的坐标分别是：

(__________,________),(___________,___________)；

(2)｜P 1P 2｜=________________________(用含t 1,t 2的关系式表达，写出推导过程)

(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则t=________.(用t 1,t 2，写出推导过程)

（4）｜ t ｜的几何意义：_______________________________；(解决例1后思考)

若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是2

2b a +｜t ｜.

【典型例题】

例1：求直线 (t 为参数)上与点P (－2,4)距离等于2的点Q 的坐标。

例2：过点A (2,3)的直线的参数方程 (t 为参数)，若此直线与直线

x －y ＋3＝0相交于B ，则|AB |＝_________

例3：(09·天津)设直线l 1的参数方程为

(t 为参数)，直线l 2的方程为

y ＝3x ＋4，则l 1与l 2间的距离为________．

例4：已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6

π

α=

.

①写出直线l 的参数方程;

②设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.

变式：直线的参数方程为 （t 为参数）。在极坐标系中，圆C 的方程为

。（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设圆C 与直线交于点A 、B ，若点P 的坐标为，求|PA|+|PB|。

及时练兵

1. 直线的参数方程为⎩⎨⎧

x ＝t sin50°

－1y ＝－t cos50°(t 为参数)，则直线的倾斜角为

( )

A ．40°

B ．50°

C ．140°

D ．130°

2. 直线⎩⎨⎧

x ＝2＋3t

y ＝－1＋4t (t 为参数)上对应t ＝0、t ＝1的两点间的距离为

( ) A ．1 B ．2 2 C ．5 D ．25

3. 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线π

4

θ=与曲线2

1,

(1)

x t y t =+⎧⎨

=-⎩（t 为参数）相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点

的直角坐标为 .

4．(09·广东)若直线l 1：⎩⎨⎧ x ＝1－2t y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎨⎧

x ＝s

y ＝1－2s (s 为参数)垂

直，则k ＝______.

5．过点A (2,3)的直线的参数方程

(t 为参数)，若此直线与x －y ＋3＝

0相交于B ，则|AB |＝_________

6. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为1:(x t

C t y t

=⎧⎪⎨=⎪⎩是参数） 和22cos :(2sin x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩是参数），它们的交点坐标为_______.

7. 已知直线的参数方程是1sin ,62cos 6x t y t ππ⎧

=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩

（t 为参数），则它的倾斜角大小是 ．

8.已知直线).3

cos(2.3

2),2,1(π

θρπ+=-圆方程的直线倾斜角为是过点P l

（1）求直线l 的参数方程；

（2）设直线l 与圆相交于M 、N 两点，求PM·PN 的值.

⎩⎨

⎧==θ

θsin cos y x 9． 已知P 为半圆C ： （为参数，）上的点，点A 的坐标为（1,0），O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为

。

（I ）以O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； （II ）求直线AM 的参数方程。

10．在直角坐标系xOy 中，圆221:+=4C x y ，圆()2

22:-2+=4C x y .

（1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐

标方程，并求出圆12,C C 的交点坐标（用极坐标表示） （2）求圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程

11. (选做题)在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==α

α

sin 22cos 2y x ，(α为参

数)M 是曲线1C 上的动点，点P 满足OM OP 2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；

（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3

π

θ=与曲线1C ，

2C 交于不同于原点的点A,B 求AB