高三一轮复习导数的应用一单调性与极值教学设计

高三文科数学一轮复习

《导数的应用(一) 函数的单调性》教学设计

（一）、教材分析

导数是高中数学新增内容，它在解决数学有关问题中起到工具的作用，导数的应用是高考的必考内容。作为高三总复习课首先明确考纲的要求：了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.利用导数判断单调性起着基础性作用，能够培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力；激发学生独立思考和创新的意识，开发学生的自我潜能。

（二）、高考要求：

了解函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）

（三）、学习重点：

能利用导数求函数的单调区间

（四）、学习难点：

已知函数的单调性求参数的取值范围

（五）、课型：复习课

（六）、教法：讲练结合

（七）、课时安排：1课时

教学设计

一、知识梳理

1．函数的单调性与导数

2．函数的极值与导数

(1)函数的极小值

若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值____，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．

(2)函数的极大值

若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值____，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧________，右侧________，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，______和______统称为极值．[设计意图]复习函数单调性的求法；函数极值的定义。通过复习让学生熟悉单调性和极值的定义，巩固旧知。

二、问题探究

1．如何利用导数求单调区间和极值？

2.若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f ′(x)>0吗？f ′(x)>0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？

【设计意图】通过这两个问题由“定义”到“通法”，由“感性”到“理性”，总结利用导数求单调区间和极值的通法，启发学生发现问题，并培养学生发现问题的意识。

三、基础自测

1．(2015辽宁高考)函数y＝1

2x

2－ln x的单调递减区间为()．

A．(－1,1] B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)

2．(2016年全国

卷)函数f (x )＝3x 3－ax 2＋x －5在区间[1,2]上单调递增，则a 的取值范围是( )A.()－∞，5 B ．(－∞，5] C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－∞，37

4 D ．(－∞，3]

【设计意图】通过两个简单的例题，也是两道高考题，学生对该节高考所要考察的重要内容有了一定的认识，增强学生的学习自信和学习热情。

四、典例分析：

[例] a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e －x ，(x ∈R ，e 为自然对数的底数)

(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调递减区间； (2)若函数f (x )在(－1,1)内单调递减，求a 的取值范围；

(3)函数f (x )是否为R 上的单调函数，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由．

（设计意图：意图1：函数单调区间的求法；意图2：已知函数的单调区间，求参数的取值范围）

解析：(1)当a ＝－2时，f (x )＝(－x 2－2x )e －x ， ∴f ′(x )＝(x 2－2)e －x . 令f ′(x )＜0，得x 2－2＜0. ∴－2＜x ＜ 2.

∴函数的单调递减区间是(－2，2)． (注：写成[－2，2]也对) (2)∵f (x )＝(－x 2＋ax )e －x ，

∴f ′(x )＝(－2x ＋a )e －x ＋(－x 2＋ax )(－e －x )＝[x 2－(a ＋2)x ＋a ]e －x . 要使f (x )在(－1,1)上单调递减，则f ′(x )≤0对x ∈(－1,1)都成立， ∴x 2－(a ＋2)x ＋a ≤0对x ∈(－1,1)都成立． 令g (x )＝x 2

－(a ＋2)x ＋a ，则⎩

⎨⎧

g (－1)≤0，

g (1)≤0.

∴⎩⎨⎧

1＋(a ＋2)＋a ≤0，1－(a ＋2)＋a ≤0.

∴a ≤－32. (3)①若函数f (x )在R 上单调递减，则f ′(x )≤0对x ∈R 都成立． 即[x 2－(a ＋2)x ＋a ]e －x ≤0对x ∈R 都成立． ∵e －x ＞0，∴x 2－(a ＋2)x ＋a ≤0对x ∈R 都成立． 令g (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋a ，

∵图像开口向上，∴不可能对x ∈R 都成立． 思维启迪

1．导数法求函数单调区间的一般流程：

求定义域→

求导数f ′(x )

→

求f ′(x )＝0在定义域内的根

→

用求得的根划分定义区间

→

确定f ′(x )在各个开区间内的符号→得相应开区间

上的单调性

2．已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )，转化为不等式恒成立问题求解．

变式训练1：

已知函数).(111)(R a x a ax nx x f ∈--+-= 当1

2a ≤时，讨论()f x 的单调性．

解： 21

1)('x

a a x x f -+-=221x a x ax -+--= ),0(+∞∈x ，

令 ,1)(2a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x

（1）当0,()1,(0,)a h x x x ==-+∈+∞时

所以，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><时此时，函数()f x 单调递减；

当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，此时()0,f x '>函数f(x)单调递

（2）当0a '≠时,由f (x)=0即210ax x a -+-=，解得121

1,1x x a

==-

①当1

2

a =

时，12,()0x x h x =≥恒成立，此时 ()0f x '≤，函数()f x 在（0，+∞）上单调递减；