第二章 函数2-4指数与指数函数

解法2：当a>0，a≠1时，y＝ax是定义域上 的单调函数，因此其最值在x∈[0,1]的两个 端点得到，于是必有1＋a＝3，∴a＝2. 答案：B 点评：指数函数的最值问题一般都是用单调 性解决．
(理)函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最 a 小值大 ，则a的值是________． 2 解析：当a>1时，y＝ax在[1,2]上递增，

( B．2ab>2b D．log2(ab)<－2
)
[答案] D [解析] 易知y＝2x在R上单调递增， y＝log2x在R＋上单调递增， 故2ab<2a,2ab<2b，
1 log2(ab)<log222＝－2，故选D.
4x＋1 2．(2010· 重庆理，5)函数f(x)＝ x 的图象 ( 2 A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
0<y<1
x<0 y>1


误区警示 1．忽视底数a>1与0<a<1时性质的区别及函 数的值域致误． 2．比较幂值大小时，要注意区分底数相同 还是指数相等．是用指数函数的单调性，还 是用幂函数的单调性或指数函数的图象解 决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、 1等的运用．指数函数的图象在第一象限内 底大图高(逆时针方向底数依次变大)．
[例1]
化简： 4 1 3＝________； a－1
(1)(1－a) 3
(2) xy2· xy－1· xy＝________； (3)0.25
－0.5
1 1 ＋27－ －6250.25＝________. 3
答案：(1)－ a－1 (2)xy

4
(3)0
点评：有理指数幂的运算，一般是小数化成 分数，根式化成分数指数幂进行.




2．在指数里含有未知数的方程叫做指数方 程． (1)形如af(x)＝ag(x)(a>0，a≠1)的方程，化为 f(x)＝g(x)求解； (2)形如af(x)＝bg(x)(a>0，b>0，a≠1，b≠1)的 方程，两边取对数； (3)形如a2x＋b·ax＋c＝0的方程，用换元法 化为二次方程求解．
1 3 2 A．f3<f2<f3 2 3 1 B．f3<f2<f3 2 1 3 C．f3<f3<f2 3 2 1 D．f2<f3<f3




＝2(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)－5d＝－6. ∴log2[f(a1)·f(a2)·…·f(a10)] ＝log2[2a1·2a2·…·2a10]＝log22a1＋a2＋… ＋a10＝－6. 答案：－6
一、选择题 1 1．若0<a<b< ，则 2 A．2ab>2a C．log2(ab)>－1
a 3 故a －a＝ ，∴a＝ ； 2 2
2
当0<a<1时，y＝ax在[1,2]上单调递减， a 1 故a－a ＝ ，∴a＝ ， 2 2
2
1 3 ∴a＝ 或 . 2 2
1 3 答案： 或 2 2
(文)设y1＝4 ，y2＝8 A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2

0.9
0.48
1－ ，y3＝2 1.5，则(
)

解析：y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，∵y＝ 2x在R上是单调递增函数，∴y1>y3>y2.∴选 D. 答案：D

(理)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关 于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1， 则有 ( )

)
[答案]
D
－x
1 1 x [解析] ∵f(－x)＝2 ＋ －x＝2 ＋ x＝f(x) 2 2 ∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．

[答案]
A

[例2] (文)函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最 小值的和为3，则a的值为 ) 1 ( 1
A. 2 B．2 C．4 D. 4


解析：解法1：对a分类讨论． 若a>1，x＝0时，y有最小值1；x＝1时，y 有最大值a，由题设1＋a＝3，则a＝2. 若0<a<1，x＝0时，y有最大值1；x＝1时， y有最小值a，由题设a＋1＝3，则a＝2，与 0<a<1矛盾，故选B.




一、数形结合的思想 有关幂值大小的比较，指数型函数的问题， 借助于图象来求解常能起到事半功倍的效 果． [例] 若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且 a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围 是________． 解析：画出y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且 a≠1)图象，当a>1时，不可能有两个公共点， 1 ∴0<a< . 2 当0<a<1时，如下图． 1 由图象可知0<2a<1， 答案：0，
答案：A
1 已知函数y＝2|x＋2|.
(1)作出图象； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出，当x取什么值时函数取到最值？ 1x＋2 1 x≥－2 2 |x＋2| 解析：(1)∵y＝2 ＝ 2x＋2 x<－2



(4)分数指数幂的运算性质 ar·as＝ar＋s，(ar)s＝ar·s， (a·b)r＝ar·br.(a>0，b>0，r，s∈Q)
2．指数函数的图象和性质 指数函数 定义 y＝ax(a>0，a≠1)
图象
指数函数 (1)定义域：R (2)值域：(0，＋∞) (3)过(0,1)点，即x＝0时，y＝1. (4)当a>1时，在R上是增函数； 性质 当0<a<1时，在R上是减函数． y>1 x>0 0<y<1 a>1 0<a<1
n x＝ a，n为奇数， ⇔ n x＝± aa>0，n为偶数. ( a)n＝ a ； a2＝| a |； n
n
a
n
a ＝ | a
，n为奇数， |，n为偶数.
(3)分数指数幂 m n m m 1 1 a ＝ a ；a－ ＝ ＝ .(a>0，m，n∈N， n n m n a am n 且n>1)
ex＋e－x (理)(09· 山东文)函数y＝ x －x的图象大致为( e －e
)
解析：函数有意义，需ex－e－x≠0，即x∈{x|x≠0}， ex＋e－x e2x＋1 2 排除答案C、D；又y＝ x －x＝ 2x ＝1＋ 2x ，当x>0 e －e e －1 e －1 时为减函数，排除B，故选A.

2

二、解题技巧 1．比较一组幂式、对数式形式的数的大小 时，一般先区分正、负(与0比)；正数再与1 比较，找出大于1的和小于1的；底数相同的 幂式，用指数函数的单调性；底数相同的对 数式用对数函数的单调性；指数相同的幂式 用幂函数的单调性或指数函数的图象；真数 相同的对数式用对数函数的图象；底数不同、 指数也不同的幂式或底数不同、真数也不同 的对数式可引入中间量转化或化同底，另外 要注意指对互化的灵活运用．
解析：由题设知，x≤1时单调递减，x≥1时单调递 增而x＝1为对称轴，
3 1 1 1 ∴f2＝f1＋2＝f1－2＝f2， 1 3 2 ∴f3>f2>f3，故选B.
∴可作出其图象如图．


(2)由图象可见，单调增区间为(－∞，－2]， 单调减区间为(－2，＋∞) (3)x＝－2时，函数有最大值，没有最小 值．
1 ＋ 1 |x 2| 点评：函数y＝ 2 的图象可视作函数y＝ 2 |x|的
图象向左平移2个单位得到的，又y＝ 1x x≥0 2 ，∴其图象如图． 2x x<0


重点难点 重点：①指数幂的运算法则． ②指数函数的概念、图象与性质． 难点：①根式与分数指数幂的运算． ②a>1与0<a<1时，指数函数图象、性质的 区别． ③指数函数图象与性质的应用和简单指对方 程、不等式的求解．
Hale Waihona Puke 知识归纳 1．整数指数幂的运算性质 m·an＝ m＋n ，(am)n＝ m·n ， a a (1)a (a·b)n＝ an·bn .(m、n∈Z) (2)根式xn＝a，(n∈N，n>1)
1 2
|x|
＝

[例4] 已知函数f(x)＝2x，等差数列{an}的公 差为2，若f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，则 log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]＝________.
解析：∵f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，f(x)＝ 2x， ∴a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝2， ∵{an}为公差d＝2的等差数列， ∴a1＋a2＋…＋a10

答案：B

[例3] (文)函数f(x)＝ax－b的图象如下图，其 中a、b为常数，则下列结论正确的是 ( )



A．a＞1，b＞0 B．a＞1，b＜0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 解析：由图象知0＜a＜1，又a0－b＝a－b＜1 ∴－b＞0 ∴b＜0，故选D. 答案：D