电动力学第3章：静磁场 (2)

A1t
)l
又 LA dl SB dS 0
A2t A1t
根 据 规 范 条 件 A A2n A1n
A2 A1： 矢 势A是 连 续 的
8
3.1 矢势及其微分方程
电动力学
4.静磁场的能量-用矢势表示
线性均匀介质：W 1
B HdV
用矢势表 示：B ( A H ) (
12
3.1 矢势及其微分方程
电动力学
【例题】半径为a的导线圆环载电流I，求矢势和磁感应强度
A
0 4
V
JxdV
r
A
0 4
L
Idl （线电流） r
dlx a sin d；dl y a cos d
1
第三章：静磁场
电动力学
基本的问题是：在给定电流分布（或给定外场）和介质分布的 情况下，如何求解空间中的磁场分布。
主要内容：1 矢势及其微分方程 2 磁标势 3 磁多极矩 4 阿哈罗诺夫—玻姆效应 5 超导体的电磁性质
重点：1、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁场的能量 2、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程与静电势方程的比较 3、了解A-B效应和超导体的电磁性质
2
V
H ( A) H
A) H A (
H
)
B
H
(
A
H
)
A
(
H
)
1
1
W 2 V ( A H )dV 2 V A ( H )dV
对于全空间，取无穷边界
1 2
V
A
H
dV
1 2
S
A
H
dS
0
1
1
W 2 V A ( H )dV 2 VA JdV
9
3.1 矢势及其微分方程
电动力学
电流与外磁场的相互作用能
设 矢 势A是 电 流 分 布J激 发 的 ； 矢 势Ae是 电 流 分 布Je激 发 的,
则 区 域 中 总 的 磁 场 能 量W
1 2
V ( A Ae ) (J Je )dV
W
1 2
V
A
J
dV
1
2
V
Ae Je
dV 1 2
V
J Ae Je A dV
一致，且只依赖于R和。
取圆环在xy平面，取任一电流元(R, ,) 显然R a， 2
l l
x y
a cos dlx a sin dl y
a sin d a cos d
取观察面为xz平面，则场点处直角坐标表示为x(Rsin，0, Rcos )
r
x
x
R2
a2
2x
x
R2 a2 2Rsina cos 0 0 R2 a2 2Ra sin cos
电动力学
2.矢势微分方程
0
求 B 4出矢V势AAr后 4rJ，3( x磁)d场VVBJ即x可r4d求V出 V J
4
V
( x)
r3
1 r
r dV
J(
x)
1 r
J(
x)dV
线电流
B
4
情V J况 ( x下 rJ3)( xr)ddVV
Idl
4 L
Idl
r3
r
7
3.1 矢势及其微分方程
电动力学
【例题】无穷长直导线电流I，求磁场矢势和磁感应强度
设导线
A
0
4
沿zJ轴x，dPV点
V r
到导线垂
0 Idl
4 l r
直
距
离R，
电
流
元
至P点
距
离r
I
Az
0 I 4
dz R2 z2
取R R0点 为 参 考 点 ， 矢势为零
dz zr
Az
0 I 2
ln
R R0
A
0 I 2
ln
R R0
ez
o R
P
B
0 I 2
ln
R R0
ez
0 I 2
ln
R R0
ez
0 I 2R
eR
ez
0 I 2R
e
11
3.1 矢势及其微分方程
电动力学
【例题】半径为a的导线圆环载电流I，求矢势和磁感应强度
【解】矢势A
0 4
V
JxdV
r
0 4
L
Idl r
(线电流)
分析：选用球坐标，取任一点P(R, , )， 由对称性可知A只有分量，即与l 方向
3
3.1 矢势及其微分方程
电动力学
1.矢势
B A： 表 明 通过 矢 势A可 以 确 定 磁 场B
但 磁 场B并 不 能 唯 一 确 定 矢 势A
矢 量 分 析 可 知 ， 任一 标量 函 数的 梯 度 的 旋 度 恒 为 零 ( A ) A
为使确定的磁场对 应确定的矢势，需对矢势加上辅助条件。
规范条件： A 0
证 明 ： 设 A u 0； 同 时 设 还 有 一 解A A
A ( A ) u 2
取为泊松方程2 u的一个解 A 0
4
3.1 矢势及其微分方程
电动力学
2.矢势微分方程
考虑线性均匀介质：B H A H
取旋度 ( A) H J
电动力学
3.矢势边值关系
两介
质
分
界
面
上
磁
场
边值
关
系
eenn
(B2 (H
B1) 2 H1)
0
f
对eenn于 ((非 12铁A磁2A性2
均匀 介 质 A1 ) 0
1
1 A1
)
在 分 界 面 取 一 狭 长 回 路， 计 算 矢 势 的 回 路 积 分
A dl L
( A 2t
( A) ( A) 2 A 2 A
矢 势A的 微分 方 程
2 (
A J
A 0)
矢 势A的 直
静 电 场2
角 分 量Ai满
足
2 Ai
xdVJ
i
V 4r
矢
势A的 特J解 x dV
A 4 V r
特解的正确性：即证明满足 A 0
5
3.1 矢势及其微分方程
电动力学
证明
A
0，其中A
4
V
JxdV
r
0
A
4
V
1 r
J ( x)
1 r
J(
x)dV
4
4
1
J(
x)dV
V
r
1
J(
x)dV
Vr
运 用 公 式 ： (f ) f f
A
4
V
[1 r
J ( x)]dV
4
V
1 [ r
J ( x)]dV
0
6
3.1 矢势及其微分方程
相互作用能Wi
1 2
V (J Ae Je A)dV
V
J Ae dV
V
J
Ae
dV
V
Je
V
J
4 V
4 V
JdV r
JedV
r
dV
dV
V Je
A
dV
A
4 Ae 4
VVJJexrxdrVdV
10
3.1 矢势及其微分方程
2
3.1 矢势及其微分方程
电动力学
1.矢势
wk.baidu.com恒定电
流
磁
场
的 基 本 方程
H J B0
B
A
矢势A的意义 考虑任一个闭合回路L为边界的曲面S
S B dS S A dS LA dl
1.通过任一曲面的磁通量只与该曲面的边 界L有关
2.矢势A沿任一闭合回路的环量代表通过 该回路为边界的任一曲面的磁通量