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科学网   数学的真、善、美、慧

人类生活的最高追求是什么？无疑是追求真、善、美及其三者的统一。而这一追求过程中也一定伴随着人类的智慧。智慧是真、善、美的统一，是真、智、乐的会通，是知、情、意的和谐——智慧把诸多“三位一体”尽集于一身。数学作为一种文化，其波澜壮阔的发展史已然表明，数学具有真、善、美的特征。数学作为一种模式化的科学，“理想化的数学模式理应具备真、善、美的特点”，[①]实现数学真、善、美的统一也必然需要智慧的贯穿。一、数学之真西方科学史上，历史学家和众多思想家都认同“理性的探索最终将把我们引向真理”这一信念，这种追求真理的信念被一代代人传承和坚守。正如皮尔士所言，“科学追求的是永久不变的真理，而非真理的类似物；这种追求并不应被看成一个人一生的工作，而是一代接一代的无终止的努力。”与当今的实用主义者相对照，皮尔士更像是一个柏拉图主义者，他坚信“要到达灵魂的最深处只能经由表层。如此一来，那些永久不变的形式，正是通过数学、哲学与其他一些科学帮助我们逐步掌握的东西，将会通过慢慢地渗透逐渐到达一个人的内心，并逐渐影响到我们的生活；而且它们之所以能这样做，不是因为它们中仅仅包含了至关重要的真理，而是因为它们（本身）就是理想的永久不变的真理。”[②]然而，科学真理

观一直是科学史上争论不休的话题，科学哲学的研究已经表明，科学中所谓的绝对真理不总是有意义的，正如吴大猷先生说的，“科学的目的是寻求真理。这个问题不存在争议，争议在于物理学中真理概念的含义。就拿苹果落地这个简单的、基本的现象来说吧。我不知道在牛顿之前这种现象是如何解释的，很可能其解释和真理在不同文化中是不同的。人们普遍同意在牛顿之后的两个世纪之中，物理学家中确定无疑地认为，真理是地球重力吸引造成了物体的落地。但是，随着爱因斯坦引力理论的提出（其预言与牛顿理论略有偏离，而实验所得的结果支持了爱因斯坦引力理论）似乎显示出真理已经改变了……由此足以说明，在物理学中和科学中，绝对真理之说并不总是有意义的。”[③]当前，一些量子物理学家对真空中光速的降速研究与探索，似乎也在逐渐挑战爱因斯坦相对论一直以来的真理性地位。科学史上，科学的合理性一般就是指合乎最终使我们达到真理的方法，但从托马斯·库恩开始，科学哲学家们主张弱化绝对真理，强调相对真理，但是反对没有真理。正如普特南所言，“如我们所知，真理不是一个简单的概念，那种以为真理是某个（独立于心灵和话语的）‘真正’‘存在’物的被动摹本的观念，即使仍旧深深地占据着普通人的头脑，但经过康德、维特根斯坦和其他哲学家们的批判，已经土崩瓦解了。”[④]拉卡托斯曾批评库恩的理论为暴民心理学，他认为“科学的增长，

在休谟看来是归纳的和非理性的，在卡尔纳普看来是归纳的和理性的，在波普尔看来则是非归纳的和理性的，如果再扩展一下，在库恩看来，是非归纳的和非理性的。按照库恩的观点，不可能有什么逻辑，而只有发现的心理学——因而按库恩的说法，科学革命是非理性的，是暴民心理学。”[⑤]

拉卡托斯发展了科学哲学中的“经验”真理观，同时他也提出了“拟经验主义”的数学真理观。数学的真理性地位从古希腊开始一直保持至非欧几何的诞生，数学本身也一直被誉为科学真理的典范。柏拉图认为“数的性质似乎能导向对真理的理解。……学习几何能把灵魂引向真理，能使哲学家的心灵转向上方。”[⑥]而在亚里士多德《形而上学》中“所谓真和假，不是在事物中，而是在理智中”。到了中世纪，托马斯·阿奎那在《神学大全》中指出，上帝的真理是第一的、最高的和最完美的真理。数学是上帝构建宇宙体系最完美的工具。数学真理观一直发展到康德那里，成为一种先天综合判断，他认为“数学给我们一个光辉的榜样，它告诉我们，独立于经验，在先天知识方面能往前走多么远。”[⑦]但是，非欧几何的诞生将数学从真理的神坛上拉了下来，人类认识到“我们不能先天地决定欧式几何的公理——或者任何其他几何的公理——是真理”。[⑧]随着哥德尔不完备定理彻底粉碎希尔伯特关于数学形式化的追求，数学作为一种“经验真理”的观念逐渐被确立。现代抽象数学的真理性，就其直接

表现形式而言，是一种“模式真理”（Pattern Truth），也就是一种由“关系结构的形式模型”表现出来的真理，[⑨]有的学者认为数学真理具有“逻辑合理性、模式真理性和现实真理性”三个层次结构。数学的真理性涉及数学实在性问题，庞加莱曾指出，“人类的理智在自然界中所发现的和谐存在于这种理智之外吗？不能！毫无疑问，一个完全独立于想象它、看见它或感觉到它的心智之外的实在是不可能的。作为外在的世界即使存在着，我们永远也达不到。我们称之为客观实在的东西，归根结底对大多数思维者是共同的，而且对所有思维者也应该是共同的；我们将看到，这种共同的部分只能是数学定律所表示的和谐而已。正是这种和谐，才是唯一的客观实在，才是我们所能得到的唯一真理。”[⑩]如庞加莱所说，数学的研究对象有可能超越个体而获得更为普遍的意义，也即成为一种“文化实在”。正如著名数学家波莱尔（A.Borel）所指出的：“凡属文明或文化上的所有事物，我们往往假定了它们的存在，因为它们是我们和别人共有的东西，我们可以就它们互相交流思想。有些东西，只要我们相信在别人的头脑里和在我们的头脑里都是以同样的形式存在的，我们可以一起来考虑和讨论，那么它就成为客观事物（而不是‘主观’事物）了。”[11]数学研究的那些抽象的对象是不存在的，所有符号、法则等抽象的东西不过是“数学家共同体”共同思维着的一种文化实在，一个新的数学知识

在真理层次上的逻辑合理性、模式真理性和现实真理性，需要得到数学家共同体的一致认同才能成为一定限度内的“经验或拟经验的真理”。二、数学之善善是人类社会中所称颂、尊敬、赞成、欲求、乐于接受的一种内在价值或固有价值，也是一种理念、信念或行为，是对个人和群体的物质生活和精神生活有趣的或有益的东西，是有助于个体生命全面发展和人类社会趋向完美的东西；善是意志的理想，是令人神往的，是值得人终生追求的；善是本然的、自在的，它因为其自身的缘故本身就是目的，而不是手段；善分为形而上之善与形而下之善：前者是先验的或超验的，但是可以通过直觉和理性把握；后者是由前者派生的或统摄的，可以通过经验加以证明。[12]那么，人为什么必须向善？中国古代的先哲孟子说这是“人生而有之的天性——人性本善”，根本无需论证。古希腊先哲从苏格拉底开始他就相信，在事实世界的后面，在事物之中，存在着一个我们可以发现的秩序。这使得他在哲学中引入了一种考察宇宙万物的方法，即对事物的一种目的论的概念——他认为每个事物都有一个功能或目标，都朝向善。[13]苏格拉底的名言是“最大的善是知识，而最大的恶是无知。”他开启的是一条伦理学的路子，跟中国传统哲学倒是很相像。但他之后西方哲学走的不再是伦理学的路子，而是理性主义的本体论路子，这便是自柏拉图以降的欧洲大陆理性主义传统。柏拉图在《理想国》中提出哲