导数与函数的极值最值

【名师说“法”】
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤] (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学 模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小， 最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答．
[解] (1)由于 f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 则 f′(1)＝3＋2a＋b＝2a，解得 b＝－3； f′(2)＝12＋4a＋b＝－b，解得 a＝－32. 所以 f(x)＝x3－32x2－3x＋1，f′(x)＝3x2－3x－3， 于是有 f(1)＝－52，f′(1)＝－3， 故曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y－－52＝－3(x －1)，即 6x＋2y－1＝0.
综上，当 k＝0 时，f(x)min＝1－e e，f(x)max＝e－1； 当 k≠0 且 k＜1e时，f(x)min＝1e＋k－1， f(x)max＝e－k－1.
【名师说“法”】
求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤] (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为 最大值，最小的一个为最小值．
跟踪训练 设函数 f(x)＝aln x－bx2(x＞0)，若函数 f(x)在 x＝1 处与直线 y＝－12相切， (1)求实数 a，b 的值； (2)求函数 f(x)在1e，e上的最大值．
[解] (1)f′(x)＝ax－2b，
∵函数 f(x)在 x＝1 处与直线 y＝－12相切，
f′1＝a－2b＝0，
(2)由(1)知 g(x)＝(3x2－3x－3)e－x， 则 g′(x)＝(－3x2＋9x)e－x， 令 g′(x)＝0 得 x＝0 或 x＝3，于是函数 g(x)在(－∞，0) 上单调递减，在(0,3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减． 所以函数 g(x)在 x＝0 处取得极小值 g(0)＝－3，在 x＝3 处 取得极大值 g(3)＝15e－3.
[解析] 由题图可知，当 x＜－2 时，f′(x)＞0；当－2＜x ＜1 时，f′(x)＜0；当 1＜x＜2 时，f′(x)＜0；当 x＞2 时，f′(x) ＞0.由此可以得到函数 f(x)在 x＝－2 处取得极大值，在 x＝2 处 取得极小值．
[答案] D
角度二 已知函数求极值 2．设 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1 的导数 f′(x)满足 f′(1)＝2a， f′(2)＝－b，其中常数 a，b∈R. (1)求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)设 g(x)＝f′(x)e－x，求函数 g(x)的极值．
角度三 已知极值求参数 3．设 f(x)＝ln(1＋x)－x－ax2，若 f(x)在 x＝1 处取得极值， 则 a 的值为________．
[解析] 由题意知，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，
且 f′(x)＝1＋1 x－2ax－1＝－2ax21－＋2xa＋1x，
由题意得：f′(1)＝0，则－2a－2a－1＝0，得 a＝－14，
[要点梳理] 1．函数的极值与导数
质疑探究：f′(x0)＝0 是可导函数 f(x)在 x＝x0 处取极值的 什么条件？
提示：必要不充分条件，因为当 f′(x0)＝0 且 x0 左右两端 的导数符号变化时，才能说 f(x)在 x＝x0 处取得极值．反过来， 如果可导函数 f(x)在 x＝x0 处取极值，则一定有 f′(x0)＝0.
3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
[小题查验]
1．函数 f(x)＝(x2－1)2＋2 的极值点是( )
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝1 或－1 或 0
D．x＝0
[解析] ∵f(x)＝x4－2x2＋3， ∵由 f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0 得 x＝0 或 x＝1 或 x＝－1. 又当 x＜－1 时，f′(x)＜0，当－1＜x＜0 时，f′(x)＞0， 当 0＜x＜1 时，f′(x)＜0，当 x＞1 时，f′(x)＞0， ∴x＝0,1，－1 都是 f(x)的极值点． [答案] C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a＝1，
∴f1＝－b＝－12，
解得b＝12.
(2)由(1)得 f(x)＝ln x－12x2， 则 f′(x)＝1x－x＝1－x x2， ∵当1e≤x≤e 时，令 f′(x)＞0 得1e≤x＜1； 令 f′(x)＜0，得 1＜x≤e，∴f(x)在1e，1上单调递增，在[1， e]上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝－12.
又根据题意 200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以 h＝51r(300－4r2)， 从而 V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)． 因为 r＞0，又由 h＞0 可得 r＜5 3， 故函数 V(r)的定义域为(0,5 3)．
(2)因为 V(r)＝π5(300r－4r3)， 所以 V′(r)＝π5(300－12r2)． 令 V′(r)＝0，解得 r1＝5，r2＝－5(因为 r2＝－5 不在定义 域内，舍去)． 当 r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故 V(r)在(0,5)上为增函数； 当 r∈(5,5 3)时，V′(r)＜0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数． 由此可知，V(r)在 r＝5 处取得最大值，此时 h＝8. 即当 r＝5，h＝8 时，该蓄水池的体积最大．
考点一 运用导数解决函数的极值问题(高频型考点——
全面发掘)
[考情聚焦]
函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填
空题，也有解答题，难度适中，为中高档题
归纳起来常见的命题角度有：
(1)知图判断函数极值；
(2)已知函数求极值；
(3)已知极值求参数
角度一 知图判断函数极值 1．设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数 为 f′(x)，且函数 y＝(1－x)f′(x)的图象如 图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
2．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值 与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则___f(_a_)_为函数的最小 值，__f_(b_)__为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减， 则___f(_a_)__为函数的最大值， __f_(b_)__为函数的最小值．
)
A.137
B．－137
4
2
C.e4
D.e2
[解析] f′(x)＝x2＋2x－3，f′(x)＝0，x∈[0,2]， 得 x＝1.比较 f(0)＝－4，f(1)＝－137，f(2)＝－130.可知最小 值为－137. [答案] B
4．给出下列命题： ①f′(x)＞0 是 f(x)为增函数的充要条件． ②函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的． ③函数的极大值不一定比极小值大． ④对可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是 x0 点为极值点的充要条件． ⑤函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定 是极小值． 其中真命题的是________．(写出所有真命题的序号)
(2)若 k≠0，f′(x)＝kxx－2 1＝kxx－2 1k. ①若 k＜0，则在1e，e上恒有kxx－2 1k＜0， ∴f(x)在1e，e上单调递减， ∴f(x)min＝f(e)＝1－e e＋kln e＝1e＋k－1， f(x)max＝f1e＝e－k－1.
②若 k＞0，由 k＜1e，得1k＞e，则 x－1k＜0， ∴kxx－2 1k＜0，∴f(x)在1e，e上单调递减． ∴f(x)min＝f(e)＝1－e e＋kln e＝1e＋k－1， f(x)max＝f1e＝e－k－1.
(3)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的__极__值__；
②将函数y＝f(x)的各__极__值___与端点处的___f(_a_)、__f_(_b_)___比
较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函 数f(x)在[a，b]上的最值．
极大值可能比极小值大，也可能比极小值小．④错误．对要导
函数 f(x)，f′(x0)＝0 只是 x0 点为极值点的必要条件，如 y＝x3 在 x＝0 时 f′(0)＝0，而函数在 R 上为增函数，所以 0 不是极
值点．⑤正确．当函数在区间端点处取得最值时，这时的最值
不是极值．
[答案] ③⑤
5．面积为 S 的矩形中，其周长最小时的边长是________． [解析] 设矩形的一边边长为 x，则另一边边长为Sx， 其周长为 l＝2x＋2xS，x＞0，l′＝2－2xS2 . 令 l′＝0，解得 x＝ S.易知，当 x＝ S时，其周长最小． [答案] S
第二章 函数、导数及其应用
第11节 导数的应用
第二课时 导数与函数的极值、最值
◆考纲·了然于胸◆
1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会 用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)
2．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数 不超过三次)．
3．会利用导数解决某些简单的实际问题．
考点三 利用到书研究生活中的最优化问题(重点型考点 ——师生共研)
【例 2】 (2013·重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱 形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的 建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米， 该蓄水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率)．
又当 a＝－14时，f′(x)＝12x12＋－x12x＝12x1x＋－x1，
当 0＜x＜1 时，f′(x)＜0；当 x＞1 时，f′(x)＞0，
所以 f(1)是函数 [答案] －14
f(x)的极小值，所以
a＝－14.
[通关锦囊] 利用导数研究函数极值的一般流程
考点二 运用导数解决函数的最值问题(重点型考点—— 师生共研)
[解析] ①错误．f′(x)＞0 能推出 f(x)为增函数，反之不一
定．如函数 f(x)＝x3 在(－∞，＋∞)上单调递增，但 f′(x)≥0.
所以 f′(x)＞0 是 f(x)为增函数的充分条件，但不是必要条件．②
错误．一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一
个．③正确．一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，
跟踪训练 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝x－a 3 ＋10(x－6)2，其中 3＜x＜6，a 为常数．已知销售价格为 5 元/ 千克时，每日可售出该商品 11 千克． (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值， 使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
2．函数 f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是( )
A．0
1 B.e
4
2
C.e4
D.e2
[解析] f′(x)＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令 f′(x)＝0，得 x
＝1.又 f(0)＝0，f(4)＝e44，f(1)＝e－1＝1e，∴f(1)为最大值． [答案] B
3．函数 f(x)＝x33＋x2－3x－4 在[0,2]上的最小值是(
【例 1】 (2016·洛阳统考)已知函数 f(x)＝1－x x＋kln x，k ＜1e，求函数 f(x)在1e，e上的最大值和最小值．
[解] 因为 f(x)＝1－x x＋kln x， f′(x)＝－x－x21－x＋kx＝kxx－2 1. (1)若 k＝0，则 f′(x)＝－x12在1e，e上恒有 f′(x)＜0， ∴f(x)在1e，e上单调递减． ∴f(x)min＝f(e)＝1－e e，f(x)max＝f1e＝e－1.
(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水 池的体积最大．
[ 解 ] (1) 因 为 蓄 水 池 侧 面 的 总 成 本 为 100·2πrh ＝ 200πrh(元)，底面的总成本为 160πr2 元，所以蓄水池的总成本 为(200πrh＋160πr2)元．