4 地面观测值归算至椭球面
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47
5．依据大地线外的其他线为基础。 连接椭球面两点的媒介除大地线之外，当然
还有其他一些有意义的线，比如弦线、法截线 等。利用弦线解决大地主题实质是三绝大地切 量问题，由电磁波测距得到法截线弧长。所以 对三边测量的大地主题而言，运用法截弧进行 解法有其优点。当然，这些解算结果还应加上 归化至大地线的改正。
39
二、电磁波测距的归算
将上式按反正弦函数展开级数，舍去五次项，得
40
4.3 大地测量主题解算概述
4.3.1 大地主题解算的一般说明
大地元素:大地经度L、大地纬度B、两点间的大地 线长度S及其正反大地方位角A12、A21。
大地主题解算：如果知道某些大地元素推求另一些 大地元素，这样的计算问题就叫大地主题解算，大地主 题解算有正解和反解。
法截面和法截线：
过椭球面上任意一点可 作一条垂直于椭球面的法线， 包含这条法线的平面叫作法 截面；法截面与椭球面的交 线叫法截线。
3
4.1.1 椭球面上的几种法截线的曲率半径
一、子午圈曲率半径
子午椭圆的一部分上取一微 分弧长DK＝dS，相应地有坐标 增量dx，点n是微分弧dS的曲率 中心，于是线段Dn及Kn便是子 午圈曲率半径Ｍ。
不在同一子午圈或同一
平行圈上的两点的正反法
裁线是不重合的，它们之
间的夹角△；大地线是两
点间惟一最短线，而且位
于相对法截线之间，并靠
近正法截线。
22
二、大地线的定义和性质
在一等三角测量中，
数值可达干分之一二秒，可 见在一等或相当于一等三角 测量精度的工程三角测量中 是不容忽略的。
大地线与法截线长度之差 只有百万分之一毫米，所以 在实际计算中，这种长度差 异总是可忽略不计的。
① 以椭球面的法线为基准； ② 将地面观测元素化为椭球面上大地线的相
应元素；
28
4.2.1 将地面观测的水平方向归算至椭球面
将地面观测的水平方向归算至椭球面， 进行三差改正：
垂线偏差改正 标高差改正 截面差改正
29
一、垂线偏差改正
在椭球面上则要求以该点 的法线为依据。在每一三
u
角点上，把以垂线为依据 的地面观测的水平方向值 归算到以法线为依据的方 向值而应加的改正定义为
44
4.3.1 大地主题解算的一般说明
1．以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在 地球椭球面上进行积分运算。
dB cos A dS M
大地线微分方程
dL sin A dS N cos B
dA cos B sin B dS N
45
2．以白塞尔大地投影为基础
白塞尔大地主题解算的步骤： 1) 按椭球面上的已知值计算球面相应值，即实现
主题解算的步骤。 3、说明白塞尔大地主题解算方法的基本思想。 4、白塞尔大地测量主题解算的三个投影条件
是什么？
54
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——倪文丽 苏柳 杨姗 吴晓谦
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23
三、大地线的微分方程和克莱劳方程
设P为大地线上任意一点，其经度 为Ｌ，纬度为Ｂ，大地线方位角为 Ａ。当大地线增加dＳ到P1点时，则 上述各量相应变化dL，dB及dA。
所谓大地线微分方程，即表示dL、 dB和dA与dS的关系。
dS在子午圈上的分量 p2p1 MdB dS在平行圈上的分量 pp2rdL NcoBsdL
20
一、相对法截弧
某点的纬度愈高，其法线与短轴的交点愈低，当 A、B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反 法截线则合二为一。在通常情况下，正反法截线是 不重合的。AB方向在不同的象限时，正反法截线关 系如图：
21
二、大地线的定义和性质
大地线:大地线是一条空间曲面曲线，是椭球面上两点间的最 短线。大地线上每点的密切面(无限接近的三个点构成的平面) 都包含该点的曲面法线，大地线上各点的主法线与该点的曲 面法线重合。
32
二、标高差改正 h
标高差改正的计算公式
33
三、截面差改正 s
在椭球面上，纬度不同的 两点由于其法线不共面， 所以在对向观测时相对法 截弧不重合，应当用两点 间的大地线代替相对法裁 弧。这样将法裁弧方向化 为大地线方向应加的改正 叫截面差改正。
34
三、截面差改正 s
35
4.2.2 将地面观测的长度归算至椭球面 一、基线尺量距的归算
由任意平面曲线的曲率半径的 定义公式，易知
4
一、子午圈曲率半径
5
四、任意法截线的曲率半径
RANco2A sM M N s i2n A
按泰勒级数展开：
R A N ( 1 2 c2 A o 4 c s 4 A o )s
11
四、任意法截线的曲率半径
引入平均曲率半径Ｒ 代入上式得
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第四章 地面观测值归算至椭球面
4.1 地球椭球的基本性质 4.2 将地面观测值归算至椭球面 4.3 大地测量主题解算概述
本章重点：地球椭球几何性质、地面观测值归算 本章难点：地面观测值归算至椭球面、大地主题解算
2
4.1 地球椭球的基本性质
4.1.1 椭球面上的几种法截线的曲率半径
43
4.3.1 大地主题解算的一般说明
大地主题解算根据不同理论基础的分五类： 1．以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直
接在地球椭球面上进行积分运算。 2．以白塞尔大地投影为基础。 3．利用地图投影理论解算大地问题。 4．对大地线微分方程进行数值积分的解法。 5．依据大地线外的其他线为基础。
41
4.3.1 大地主题解算的一般说明
大地主题正解：
已知Pl点的大地坐标 (L1，B1)，P1至P2的大地 线长S及其大地方位角A12， 计算P2点的大地坐标(L2， B2)和大地线S在P2点的反 方位角A21，这类问题叫做 大地主题正解。
42
4.3.1 大地主题解算的一般说明
大地主题反解：
如果已知P1和P2点的大地坐标 (L1，B1)和(L2，B2)，计算P1至 P2的大地线长S及其正、反方位 角A12和A21这类问题叫做大地主 题反解。
52
本章小结
1.地球椭球的几何性质。几个重要概念：法截线、 子午圈曲率半径、卯酉圈曲率半径、大地线、相 对法截弧。
2.地面观测值归算到椭球面的原理及过程：方向 归算、长度归算。
3.大地测量主题解算方法。
53
思考题： 1、分别解释大地测量主题解算正解及反解? 2、说明以大地线微分方程为基础的大地测量
椭球面向球面的过渡； 2) 在球面上解算大地问题； 3) 按球面上得到的数值计算椭球面上的相应数
值，即实现从圆球向椭球的过渡
46
3．利用地图投影理论解算大地问题。 如在地图投影中，采用椭球面对球面的正形投影和等距
离投影以及椭球面对平面的正形投影(如高斯投影)，它们 都可以用于解算大地主题，这类解法受距离的限制，只在 某此特定情况下才比较有利。 4．对大地线微分方程进行数值积分的解法。 这种解法直接进行数值积分计算以解决大地主题的解算。 常用的数值积分算法有高斯法，龙格－库塔法．牛顿法以 及契巴雪夫法等。这种算法易于编写程序，适用任意长度 距离。其缺点是随着距离的增长，计算工作量大，且精度 降低，而在近极地区，这种方法无能为力。
1. 垂线偏差对长度归算的影响
36
一、基线尺量距的归算
2．高程对长度归算的影响
如果将上式展开级数，取至二次项，有
37
一、基线尺量距的归算
地面基线长度归算到椭球面上长度的公式
SS 0(1H R m ) 1u 1 2 u 2 (H 2H 1)
38
二、电磁波测距的归算
电磁波测距仪测得的长度是连接地面两点问的直线斜 距，也应将它归算到参考椭球面上
24
三、大地线的微分方程和克莱劳方程
三角形PP2P1是一微分直角三角形
MdB dS cos A
cos A
dB
dS
M
N cos BdL ds sin A
dL sin A dS N cos B
25
三、大地线的微分方程和克莱劳方程
大地线微分方程
dB cos A dS M
dL sin A dS N cos B
大地主题反算是已知两端点的经、纬度L1，B1及 L2，B2，反求两点间的大地线长度S及正、反大地 方位角A12和A21。
这时，由于经差△L、纬差△ B及平均纬度Bm均为 已知，故可依正算公式很容易地导出反算公式。
51
4.3.5 白塞尔大地主题解算方法
将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影 到辅助球面上，继而在球面上进行大地主题解算， 最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。由 此可见，这种方法的关键问题是找出椭球面上的 大地元素与球面上相应元素之间的关系式。同时 也要解决在球面上进行大地主题解算的方法。
垂线偏差改正—— u
30
一、垂线偏差改正 u
以AO方向作为参考方向。 以垂线AZ1为准，照准M 点得OR1；以法线AZ为 准，则得OR。由此可见， 垂线偏差对水平方向的 影响是(R一R1)，这个量 就是垂线偏差。
31
二、标高差改正 h
标高差改正: 又称由照准点
高度而引起的改正。不在同一 子午面或同一平行圈上的两点 的法线是不共面的。这样，当 进行水平方向观测时，如果照 准点高出椭球面某一高度，则 照准面就不能通过照准点的法 线同椭球面的交点，由此引起 的方向偏差的改正叫做标高差 改正。
2. 直接解法
16
三、平行圈弧长公式
旋转椭球体的平行圈是一个圆，其短半轴ｒ就是圆上任意 一点的子午面直角坐标ｘ
如果平行圈上有两点，它们的经度差 平行圈弧长公式：
17
三、平行圈弧长公式
平行圈弧长随纬度变化的微分公式可近似地写为
由于
式中
18
4.1.3 大地线
一、相对法截弧
设在椭球上任取两点A和B，纬度分 别为B1和B2，且二者不等，过A、B两 点分别做法线与短轴和赤道面相交。
dA sin A tan BdS N
26
三、大地线的微分方程和克莱劳方程
由
和
得
由于 两边积分，易得
克莱劳定理
克莱劳定理表明：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半 径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。
27
4.2 将地面观测值归算至椭球面
将地面观测元素（包括方向和距离等 )归算至 椭球面。在归算中有两条基本要求：
注：子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径的变 化规律
12
五、平均曲率半径
在一定范围内，把椭球面当做球面来处理， 推出这个球面的曲率半径－平均曲率半径：
R MN
或
RW b2V c2V NW a2 (1e2)
13
六、M、N、R之间的关系
一般情况下 N>R>M 在极点上都等于极曲率半径ｃ
N 90 R 90 M 90 c
曲率半径
公 式
N
c V1
a 1 e2 W1
R
c V2
a 1 e2 W2
M
c V3
a 1 e2 W3
14
4.1.2 椭球面上的弧长计算
一、子午线弧长计算公式
取子午线上微分弧PP’=dx P点的子午圈半径为Ｍ
dxMdB
赤道到任意纬度Ｂ的平行圈 之间的弧长
B
X 0 MdB
15
二、由子午弧长求大地纬度 1. 迭代解法
如图 Ona Q1nasinB1 Onb Q2nbsinB2
又 Qn Ne2 则
Ona N1e2 si nB1 Onb N2e2 si nB2
19
一、相对法截弧
正、反法截线：
A点照准B，照准面同椭 球面的交线AaB，叫做A点 的正法截线，或者B点的反 法截线；同样，B点照准A， 照准面同椭球面的交线BbA， 叫做B点的正法截线，或者 A点的反法截线。
48
4.3.2 勒让德级数式
在过已知点P1(L1，B1)且在该点处大地方位角为A12的大 地线S上任意一点P2的大地坐标(L2，B2)及其方位角A21必 是大地线长度S的函数
S＝0时，这些函数值等于P1点的相应数值
因此，可在已知点P1点(S＝0)上，按马 克劳林公式将Pl和P2点的纬度差、经度差 及方位角之差展开为大地线长度S的幂级数。
49
4.3.3 高斯平均引数正算
首先把勒让德级数在P1点展开改在大地线长度中点M 展开，以便级数公式项数减少，收敛快，精度高；
其次，考虑到求定中点M的复杂性，将M点用大地线两 端点平均纬度及平均方位角相对应的m点来代替，并借助 迭代计算，便可顺利地实现大地主题正解。
50
4.3.4 高斯平均引数反算
5．依据大地线外的其他线为基础。 连接椭球面两点的媒介除大地线之外，当然
还有其他一些有意义的线，比如弦线、法截线 等。利用弦线解决大地主题实质是三绝大地切 量问题，由电磁波测距得到法截线弧长。所以 对三边测量的大地主题而言，运用法截弧进行 解法有其优点。当然，这些解算结果还应加上 归化至大地线的改正。
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二、电磁波测距的归算
将上式按反正弦函数展开级数，舍去五次项，得
40
4.3 大地测量主题解算概述
4.3.1 大地主题解算的一般说明
大地元素:大地经度L、大地纬度B、两点间的大地 线长度S及其正反大地方位角A12、A21。
大地主题解算：如果知道某些大地元素推求另一些 大地元素，这样的计算问题就叫大地主题解算，大地主 题解算有正解和反解。
法截面和法截线：
过椭球面上任意一点可 作一条垂直于椭球面的法线， 包含这条法线的平面叫作法 截面；法截面与椭球面的交 线叫法截线。
3
4.1.1 椭球面上的几种法截线的曲率半径
一、子午圈曲率半径
子午椭圆的一部分上取一微 分弧长DK＝dS，相应地有坐标 增量dx，点n是微分弧dS的曲率 中心，于是线段Dn及Kn便是子 午圈曲率半径Ｍ。
不在同一子午圈或同一
平行圈上的两点的正反法
裁线是不重合的，它们之
间的夹角△；大地线是两
点间惟一最短线，而且位
于相对法截线之间，并靠
近正法截线。
22
二、大地线的定义和性质
在一等三角测量中，
数值可达干分之一二秒，可 见在一等或相当于一等三角 测量精度的工程三角测量中 是不容忽略的。
大地线与法截线长度之差 只有百万分之一毫米，所以 在实际计算中，这种长度差 异总是可忽略不计的。
① 以椭球面的法线为基准； ② 将地面观测元素化为椭球面上大地线的相
应元素；
28
4.2.1 将地面观测的水平方向归算至椭球面
将地面观测的水平方向归算至椭球面， 进行三差改正：
垂线偏差改正 标高差改正 截面差改正
29
一、垂线偏差改正
在椭球面上则要求以该点 的法线为依据。在每一三
u
角点上，把以垂线为依据 的地面观测的水平方向值 归算到以法线为依据的方 向值而应加的改正定义为
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4.3.1 大地主题解算的一般说明
1．以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在 地球椭球面上进行积分运算。
dB cos A dS M
大地线微分方程
dL sin A dS N cos B
dA cos B sin B dS N
45
2．以白塞尔大地投影为基础
白塞尔大地主题解算的步骤： 1) 按椭球面上的已知值计算球面相应值，即实现
主题解算的步骤。 3、说明白塞尔大地主题解算方法的基本思想。 4、白塞尔大地测量主题解算的三个投影条件
是什么？
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三、大地线的微分方程和克莱劳方程
设P为大地线上任意一点，其经度 为Ｌ，纬度为Ｂ，大地线方位角为 Ａ。当大地线增加dＳ到P1点时，则 上述各量相应变化dL，dB及dA。
所谓大地线微分方程，即表示dL、 dB和dA与dS的关系。
dS在子午圈上的分量 p2p1 MdB dS在平行圈上的分量 pp2rdL NcoBsdL
20
一、相对法截弧
某点的纬度愈高，其法线与短轴的交点愈低，当 A、B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反 法截线则合二为一。在通常情况下，正反法截线是 不重合的。AB方向在不同的象限时，正反法截线关 系如图：
21
二、大地线的定义和性质
大地线:大地线是一条空间曲面曲线，是椭球面上两点间的最 短线。大地线上每点的密切面(无限接近的三个点构成的平面) 都包含该点的曲面法线，大地线上各点的主法线与该点的曲 面法线重合。
32
二、标高差改正 h
标高差改正的计算公式
33
三、截面差改正 s
在椭球面上，纬度不同的 两点由于其法线不共面， 所以在对向观测时相对法 截弧不重合，应当用两点 间的大地线代替相对法裁 弧。这样将法裁弧方向化 为大地线方向应加的改正 叫截面差改正。
34
三、截面差改正 s
35
4.2.2 将地面观测的长度归算至椭球面 一、基线尺量距的归算
由任意平面曲线的曲率半径的 定义公式，易知
4
一、子午圈曲率半径
5
四、任意法截线的曲率半径
RANco2A sM M N s i2n A
按泰勒级数展开：
R A N ( 1 2 c2 A o 4 c s 4 A o )s
11
四、任意法截线的曲率半径
引入平均曲率半径Ｒ 代入上式得
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第四章 地面观测值归算至椭球面
4.1 地球椭球的基本性质 4.2 将地面观测值归算至椭球面 4.3 大地测量主题解算概述
本章重点：地球椭球几何性质、地面观测值归算 本章难点：地面观测值归算至椭球面、大地主题解算
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4.1 地球椭球的基本性质
4.1.1 椭球面上的几种法截线的曲率半径
43
4.3.1 大地主题解算的一般说明
大地主题解算根据不同理论基础的分五类： 1．以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直
接在地球椭球面上进行积分运算。 2．以白塞尔大地投影为基础。 3．利用地图投影理论解算大地问题。 4．对大地线微分方程进行数值积分的解法。 5．依据大地线外的其他线为基础。
41
4.3.1 大地主题解算的一般说明
大地主题正解：
已知Pl点的大地坐标 (L1，B1)，P1至P2的大地 线长S及其大地方位角A12， 计算P2点的大地坐标(L2， B2)和大地线S在P2点的反 方位角A21，这类问题叫做 大地主题正解。
42
4.3.1 大地主题解算的一般说明
大地主题反解：
如果已知P1和P2点的大地坐标 (L1，B1)和(L2，B2)，计算P1至 P2的大地线长S及其正、反方位 角A12和A21这类问题叫做大地主 题反解。
52
本章小结
1.地球椭球的几何性质。几个重要概念：法截线、 子午圈曲率半径、卯酉圈曲率半径、大地线、相 对法截弧。
2.地面观测值归算到椭球面的原理及过程：方向 归算、长度归算。
3.大地测量主题解算方法。
53
思考题： 1、分别解释大地测量主题解算正解及反解? 2、说明以大地线微分方程为基础的大地测量
椭球面向球面的过渡； 2) 在球面上解算大地问题； 3) 按球面上得到的数值计算椭球面上的相应数
值，即实现从圆球向椭球的过渡
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3．利用地图投影理论解算大地问题。 如在地图投影中，采用椭球面对球面的正形投影和等距
离投影以及椭球面对平面的正形投影(如高斯投影)，它们 都可以用于解算大地主题，这类解法受距离的限制，只在 某此特定情况下才比较有利。 4．对大地线微分方程进行数值积分的解法。 这种解法直接进行数值积分计算以解决大地主题的解算。 常用的数值积分算法有高斯法，龙格－库塔法．牛顿法以 及契巴雪夫法等。这种算法易于编写程序，适用任意长度 距离。其缺点是随着距离的增长，计算工作量大，且精度 降低，而在近极地区，这种方法无能为力。
1. 垂线偏差对长度归算的影响
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一、基线尺量距的归算
2．高程对长度归算的影响
如果将上式展开级数，取至二次项，有
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一、基线尺量距的归算
地面基线长度归算到椭球面上长度的公式
SS 0(1H R m ) 1u 1 2 u 2 (H 2H 1)
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二、电磁波测距的归算
电磁波测距仪测得的长度是连接地面两点问的直线斜 距，也应将它归算到参考椭球面上
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三、大地线的微分方程和克莱劳方程
三角形PP2P1是一微分直角三角形
MdB dS cos A
cos A
dB
dS
M
N cos BdL ds sin A
dL sin A dS N cos B
25
三、大地线的微分方程和克莱劳方程
大地线微分方程
dB cos A dS M
dL sin A dS N cos B
大地主题反算是已知两端点的经、纬度L1，B1及 L2，B2，反求两点间的大地线长度S及正、反大地 方位角A12和A21。
这时，由于经差△L、纬差△ B及平均纬度Bm均为 已知，故可依正算公式很容易地导出反算公式。
51
4.3.5 白塞尔大地主题解算方法
将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影 到辅助球面上，继而在球面上进行大地主题解算， 最后再将球面上的计算结果换算到椭球面上。由 此可见，这种方法的关键问题是找出椭球面上的 大地元素与球面上相应元素之间的关系式。同时 也要解决在球面上进行大地主题解算的方法。
垂线偏差改正—— u
30
一、垂线偏差改正 u
以AO方向作为参考方向。 以垂线AZ1为准，照准M 点得OR1；以法线AZ为 准，则得OR。由此可见， 垂线偏差对水平方向的 影响是(R一R1)，这个量 就是垂线偏差。
31
二、标高差改正 h
标高差改正: 又称由照准点
高度而引起的改正。不在同一 子午面或同一平行圈上的两点 的法线是不共面的。这样，当 进行水平方向观测时，如果照 准点高出椭球面某一高度，则 照准面就不能通过照准点的法 线同椭球面的交点，由此引起 的方向偏差的改正叫做标高差 改正。
2. 直接解法
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三、平行圈弧长公式
旋转椭球体的平行圈是一个圆，其短半轴ｒ就是圆上任意 一点的子午面直角坐标ｘ
如果平行圈上有两点，它们的经度差 平行圈弧长公式：
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三、平行圈弧长公式
平行圈弧长随纬度变化的微分公式可近似地写为
由于
式中
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4.1.3 大地线
一、相对法截弧
设在椭球上任取两点A和B，纬度分 别为B1和B2，且二者不等，过A、B两 点分别做法线与短轴和赤道面相交。
dA sin A tan BdS N
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三、大地线的微分方程和克莱劳方程
由
和
得
由于 两边积分，易得
克莱劳定理
克莱劳定理表明：在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半 径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。
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4.2 将地面观测值归算至椭球面
将地面观测元素（包括方向和距离等 )归算至 椭球面。在归算中有两条基本要求：
注：子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径的变 化规律
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五、平均曲率半径
在一定范围内，把椭球面当做球面来处理， 推出这个球面的曲率半径－平均曲率半径：
R MN
或
RW b2V c2V NW a2 (1e2)
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六、M、N、R之间的关系
一般情况下 N>R>M 在极点上都等于极曲率半径ｃ
N 90 R 90 M 90 c
曲率半径
公 式
N
c V1
a 1 e2 W1
R
c V2
a 1 e2 W2
M
c V3
a 1 e2 W3
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4.1.2 椭球面上的弧长计算
一、子午线弧长计算公式
取子午线上微分弧PP’=dx P点的子午圈半径为Ｍ
dxMdB
赤道到任意纬度Ｂ的平行圈 之间的弧长
B
X 0 MdB
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二、由子午弧长求大地纬度 1. 迭代解法
如图 Ona Q1nasinB1 Onb Q2nbsinB2
又 Qn Ne2 则
Ona N1e2 si nB1 Onb N2e2 si nB2
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一、相对法截弧
正、反法截线：
A点照准B，照准面同椭 球面的交线AaB，叫做A点 的正法截线，或者B点的反 法截线；同样，B点照准A， 照准面同椭球面的交线BbA， 叫做B点的正法截线，或者 A点的反法截线。
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4.3.2 勒让德级数式
在过已知点P1(L1，B1)且在该点处大地方位角为A12的大 地线S上任意一点P2的大地坐标(L2，B2)及其方位角A21必 是大地线长度S的函数
S＝0时，这些函数值等于P1点的相应数值
因此，可在已知点P1点(S＝0)上，按马 克劳林公式将Pl和P2点的纬度差、经度差 及方位角之差展开为大地线长度S的幂级数。
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4.3.3 高斯平均引数正算
首先把勒让德级数在P1点展开改在大地线长度中点M 展开，以便级数公式项数减少，收敛快，精度高；
其次，考虑到求定中点M的复杂性，将M点用大地线两 端点平均纬度及平均方位角相对应的m点来代替，并借助 迭代计算，便可顺利地实现大地主题正解。
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4.3.4 高斯平均引数反算