三角函数的最值-安徽省潜山县黄铺中学高三数学复习课件(共18张PPT)
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值三 角 函 数 的 最
黄铺中学 凌红霞
求三角函数的最值
一、目标要求
1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图 象等, 求三角函数的最大值和最小值.
2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值 和最小值.
3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题 来解决.
二、重点解析
最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一, 需要综 合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函 数基本关系式、三角变换等, 也是函数内容的交汇点.
-3a, a<-1,
综上所述, M= a2-a+1, -1≤a≤1,
a,
a>1.
4．含有sinx与cosx的和与积型的函数式。
其特点是含有或经过化简整理后出现sinx+cosx与sinxcosx的 式子，处理方式是应用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx进行转化，变 成二次函数的问题。
5
15 16
的最大值是_____，最
（3）函数y
1 4
sin
x
的最大值是
，最小值是
。
二：方法归纳：
1．y=asinx+bcosx型的函数
特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指 导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。应用课 本中现成的公式即可：y=sin(x+φ).
例1已知函数f(x)=2cosxsin(x+ 3
对
2
称 轴 ，
若a 2
1时,即a
2, 则当 cos
x
1时,
ymax
a
5a 8
3 2
1
定 区 间
a 20 2(舍去), 13
分
若0
a 2
1,即0
a
2, 则当 cos
x
a 时, 2
ymax
a2 4
5 8
a
1 2
1
类 讨
a 3 或a 4 0(舍去). 2
论
）
若
a 2
0,即a
0, 则当 cos
当 t=
2
,
即
x=
4
时,
y 取最小值 20-8
2.
课堂小结： 求三角函数的最值的常见类型：
1、y a sin x b 型： 利用三角函数的有界性求解
2、y a sin x b cos x c
x
0时,
ymax
5 8
a
1 2
1
a
12 5
(舍去)
——
综合上述知，存在
a
3 2
符合题设
变式题：求函数 y=cos2x-2asinx-a(a 为定值)的最大值 M.
解: y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2-a+1.
令 sinx=t, 则 y=-(t+a)2+a2-a+1(-1≤t≤1).
下面我们就三角函数中常见的最值问题 Nhomakorabea也是同学们易出错 的题型的解题方法做个简单的归纳。
一：复习回顾：
1.回顾三角函数的值域的求法
2.通过具体的实例回顾
（1）.函数y = sin x cos x 的最大值是_____，最小值是 _____；
（2）函数y = (cos x 小值是_____；
4 )2＋
变式练习：已知函数 f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x. (1)求 f(x)
的最小正周期; (2)若 x[0,2 ], 求 f(x) 的最大值、最小值.
解: (1)∵f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x
=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x
=cos2x-sin2x
=
2
cos(2x+
4
).
(2)∴∵f(xx)[的0,最2小], 正∴周2x期+ 为4[.4,
5
4
].
∴当
2x+
4=
4
,
即 x=0 时,
f(x) 取得最大值 1;
∴当 2x+
4
=,
即 x=
3
8
时,
f(x) 取得最小值 -
2.
3．y=asin2x+bcosx+c型的函数
特点是含有sinx, cosx，并且其中一个是二次，处理方式是应用 sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法， 转化成二次函数来求解。
若 -a<-1, 即 a>1, 则当 t=-1 时, y 有最大值 M=-(-1+a)2+a2-a+1=a;
若 -1≤-a≤1, 即 -1≤a≤1, 则当 t=-a 时, y 有最大值
M=-(-a+a)2+a2-a+1=a2-a+1;
若 -a>1, 即 a<-1, 则当 t=1 时, y 有最大值
M=-(1+a)2+a2-a+1=-3a.
大值和最小值.
解: y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+19.
令 t=sinx+cosx, 则 t=
2 sin(x+
4
),
y=t2-1-8t+19=(t-4)2+2.
∵0≤x≤,
∴
4
≤x+
4
≤
54.
∴-
22≤sin(x+
4
)≤1.
∴-1≤t≤
2.
∴当 t=-1, 即 x= 时, y 取最大值 27.
)－3 sin2x+sinxcosx
(1)求函数f(x)的最小正周期，
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值；
(3)若当x∈
12
,
7 12
时，求f(x)的值域
2．y=asin2x+bsinxcosx+c cos2x型的函数。
特点是含有sinx, cosx的二次式，处理方式是降幂，再化为型1 的形式来解。
例4．求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。
解：令sinx+cosx=t,(- 2≤t≤ )，2 则1+2sinxcosx=t2，
所以 2sinxcosx=t2-1,
所以y=t2-1+t=(t+
1 2
)2-
5
4.
根据二次函数的图象，解出y的最大值是1+ 2
变式练习：设 0≤x≤, 求函数 y=sin2x-8(sinx+cosx)+19 的最
例3
是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a·cosx+
5 8
a－
3在闭区
2
间［0，2］上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存
在，试说明理由.
.解 : y 1 cos2 x a cos x 5 a 3 (cos x a )2 a2 5 a 1 .
82
2 48 2
(
动
当0 x 时, 0 cos x 1.
例2．求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小 值时的x的集合。
解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x =1+sin2x+1+cos2x
当=si2n+(2x2+sin4(2)x=+-14时) ，y取最小值2- 2 此时x的集合{x|x=kπ- 83π,k∈Z}.
黄铺中学 凌红霞
求三角函数的最值
一、目标要求
1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图 象等, 求三角函数的最大值和最小值.
2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值 和最小值.
3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题 来解决.
二、重点解析
最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一, 需要综 合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函 数基本关系式、三角变换等, 也是函数内容的交汇点.
-3a, a<-1,
综上所述, M= a2-a+1, -1≤a≤1,
a,
a>1.
4．含有sinx与cosx的和与积型的函数式。
其特点是含有或经过化简整理后出现sinx+cosx与sinxcosx的 式子，处理方式是应用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx进行转化，变 成二次函数的问题。
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15 16
的最大值是_____，最
（3）函数y
1 4
sin
x
的最大值是
，最小值是
。
二：方法归纳：
1．y=asinx+bcosx型的函数
特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指 导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。应用课 本中现成的公式即可：y=sin(x+φ).
例1已知函数f(x)=2cosxsin(x+ 3
对
2
称 轴 ，
若a 2
1时,即a
2, 则当 cos
x
1时,
ymax
a
5a 8
3 2
1
定 区 间
a 20 2(舍去), 13
分
若0
a 2
1,即0
a
2, 则当 cos
x
a 时, 2
ymax
a2 4
5 8
a
1 2
1
类 讨
a 3 或a 4 0(舍去). 2
论
）
若
a 2
0,即a
0, 则当 cos
当 t=
2
,
即
x=
4
时,
y 取最小值 20-8
2.
课堂小结： 求三角函数的最值的常见类型：
1、y a sin x b 型： 利用三角函数的有界性求解
2、y a sin x b cos x c
x
0时,
ymax
5 8
a
1 2
1
a
12 5
(舍去)
——
综合上述知，存在
a
3 2
符合题设
变式题：求函数 y=cos2x-2asinx-a(a 为定值)的最大值 M.
解: y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2-a+1.
令 sinx=t, 则 y=-(t+a)2+a2-a+1(-1≤t≤1).
下面我们就三角函数中常见的最值问题 Nhomakorabea也是同学们易出错 的题型的解题方法做个简单的归纳。
一：复习回顾：
1.回顾三角函数的值域的求法
2.通过具体的实例回顾
（1）.函数y = sin x cos x 的最大值是_____，最小值是 _____；
（2）函数y = (cos x 小值是_____；
4 )2＋
变式练习：已知函数 f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x. (1)求 f(x)
的最小正周期; (2)若 x[0,2 ], 求 f(x) 的最大值、最小值.
解: (1)∵f(x)=cos4x-2cosxsinx-sin4x
=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x
=cos2x-sin2x
=
2
cos(2x+
4
).
(2)∴∵f(xx)[的0,最2小], 正∴周2x期+ 为4[.4,
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4
].
∴当
2x+
4=
4
,
即 x=0 时,
f(x) 取得最大值 1;
∴当 2x+
4
=,
即 x=
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时,
f(x) 取得最小值 -
2.
3．y=asin2x+bcosx+c型的函数
特点是含有sinx, cosx，并且其中一个是二次，处理方式是应用 sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法， 转化成二次函数来求解。
若 -a<-1, 即 a>1, 则当 t=-1 时, y 有最大值 M=-(-1+a)2+a2-a+1=a;
若 -1≤-a≤1, 即 -1≤a≤1, 则当 t=-a 时, y 有最大值
M=-(-a+a)2+a2-a+1=a2-a+1;
若 -a>1, 即 a<-1, 则当 t=1 时, y 有最大值
M=-(1+a)2+a2-a+1=-3a.
大值和最小值.
解: y=2sinxcosx-8(sinx+cosx)+19.
令 t=sinx+cosx, 则 t=
2 sin(x+
4
),
y=t2-1-8t+19=(t-4)2+2.
∵0≤x≤,
∴
4
≤x+
4
≤
54.
∴-
22≤sin(x+
4
)≤1.
∴-1≤t≤
2.
∴当 t=-1, 即 x= 时, y 取最大值 27.
)－3 sin2x+sinxcosx
(1)求函数f(x)的最小正周期，
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值；
(3)若当x∈
12
,
7 12
时，求f(x)的值域
2．y=asin2x+bsinxcosx+c cos2x型的函数。
特点是含有sinx, cosx的二次式，处理方式是降幂，再化为型1 的形式来解。
例4．求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。
解：令sinx+cosx=t,(- 2≤t≤ )，2 则1+2sinxcosx=t2，
所以 2sinxcosx=t2-1,
所以y=t2-1+t=(t+
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)2-
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4.
根据二次函数的图象，解出y的最大值是1+ 2
变式练习：设 0≤x≤, 求函数 y=sin2x-8(sinx+cosx)+19 的最
例3
是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a·cosx+
5 8
a－
3在闭区
2
间［0，2］上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存
在，试说明理由.
.解 : y 1 cos2 x a cos x 5 a 3 (cos x a )2 a2 5 a 1 .
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(
动
当0 x 时, 0 cos x 1.
例2．求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小 值时的x的集合。
解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x =1+sin2x+1+cos2x
当=si2n+(2x2+sin4(2)x=+-14时) ，y取最小值2- 2 此时x的集合{x|x=kπ- 83π,k∈Z}.