高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.3 函数的基本性质 1.3.2 第二课时 函数奇偶性的应用(

【备用例1】 已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-
g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=
.
解析:因为f(x)-g(x)=x3+x2+1, 所以f(-1)-g(-1)=-1+1+1=1, 又因为f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数, 所以f(1)=f(-1),g(1)=-g(-1), 所以f(-1)-g(-1)=f(1)+g(1), 所以f(1)+g(1)=1.
第二课时 函数奇偶性的应用(习题课)
课标要求:1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式.2.能利用函数的奇偶性与 单调性分析,解决较简单的问题.
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1.(奇偶性判断)若函数f(x)= (A)偶函数
1,
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1,
x
0
, 0
则f(x)为( ,
B)
(B)奇函数
(C)既是奇函数又是偶函数
所以有
1 1 t
t 1 1, 2t 1, 1 2t,
0
1 2
t
t t 1. 3
2,
1 2
,
………………………………………10
分
解得 0<t< 1 .………………………………………………………………11 分 3
故不等式 f(t-1)+f(2t)<0 的解集为{t|0<t< 1 }.………………………12 分 3
得- 3 <x≤- 1 .
4
2
所以不等式的解集为{x|- 3 <x≤- 1 }.
4
2
题型四 抽象函数的奇偶性
【例4】 已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若x,y∈[-1, 1],x+y≠0有(x+y)·[f(x)+f(y)]>0. (1)判断f(x)的单调性,并加以证明;
即时训练3-1:已知y=f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且在[0,+∞)上为增 函数, (1)求证:函数在(-∞,0]上也是增函数;
(1)证明:设x1,x2是(-∞,0]上任意两个不相等的实数,且x1<x2, 则-x1,-x2∈[0,+∞),且-x1>-x2,Δx=x2-x1>0,Δy=f(x2)-f(x1). 因为f(x)是奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,-x1>-x2, 所以f(-x1)>f(-x2). 又因为f(x)为奇函数,所以f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2). 所以-f(x1)>-f(x2),即f(x1)<f(x2), 即Δy=f(x2)-f(x1)>0. 所以函数f(x)在(-∞,0]上也是增函数.
即时训练2-1:f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且x≥0时,f(x)=x3+x2,则当
x<0时,f(x)=
.
解析:当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)3+(-x)2=-x3+x2. 因为f(-x)=f(x),所以f(x)=-x3+x2. 答案:-x3+x2
【备用例 2】 已知函数 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,它们的定义域为{x|x∈R 且
又因为
f(
1 2
)=
2 5
,则
1a
2
1 2
2
1
=
2 5
⇒ a=1,……………4
分
所以 f(x)= x .……………………………………5 分 x2 1
(2)解不等式f(t-1)+f(2t)<0.
规范解答:(2)因为定义在(-1,1)上的奇函数 f(x)是增函数, 由 f(t-1)+f(2t)<0 得 f(t-1)<-f(2t)=f(-2t).……………………………………………7 分
故
f(x)的解析式为
f(x)=
x3 x
x3
1, x x 1,
0, x 0.
方法技巧 利用函数奇偶性求解析式时的注意事项: (1)求哪个区间上的解析式,就在哪个区间上取x. (2)然后要利用已知区间的解析式写出f(-x). (3)利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x). (4)要注意R上的奇函数定有f(0)=0. 若是求整个定义域内的解析式,各区间内解析式不一样时其结果一般为分段函数 的形式,此点易忽略.
解:(1)函数f(x)在[-1,1]上单调递增,证明如下: 由题意,设x1,x2∈[-1,1],且x1<x2,则x1-x2<0, 因为x,y∈[-1,1],x+y≠0 有(x+y)·[f(x)+f(y)]>0. 令x=x1,y=-x2,所以f(x1)+f(-x2)<0. 因为函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,所以f(x1)-f(x2)<0, 所以函数f(x)在[-1,1]上单调递增.
x≠±3,且 f(x)+g(x)= 2x ,求 f(x),g(x)的解析式. x3
解:因为 f(x)+g(x)= 2x , ① x3
所以 f(-x)+g(-x)= 2x = 2x . x 3 x 3
因为 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
所以-f(x)+g(x)= 2x , ② x3
由①②得 f(x)= 6x ,g(x)= 2x2 .
x2 9
x2 9
题型三 函数的奇偶性与单调性的综合
【例 3】已知定义在(-1,1)上的奇函数 f(x)= ax b 是增函数,且 f( 1 )= 2 .
x2 1
25
(1)求函数f(x)的解析式;
规范解答:(1)因为 f(x)= ax b 是定义在(-1,1)上的奇函数, x2 1
则 f(0)=0,得 b=0.……………………………………2 分
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变式探究1:若本例将定义域(-1,1)改为R,其他条件不变,则不等式f(t-1)+ f(2t)<0的解集是什么?
解:由 f(x)是奇函数知 f(t-1)<-f(2t)=f(-2t). 又 f(x)是 R 上的增函数, 所以 t-1<-2t. 解之得 t< 1 ,
3
即不等式 f(t-1)+f(2t)<0 的解集为{t|t< 1 }. 3
(D)既不是奇函数又不是偶函数
2.(奇偶性与单调性)已知偶函数在(-∞,0)上单调递增,则(
A)
(A)f(1)>f(2) (B)f(1)<f(2)
(C)f(1)=f(2) (D)以上都有可能
3.(由奇偶性求值)已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+ ,则1 f(-1)等
于( A )
x2 2x 3, x 0, 故 f(x)= 0, x 0,
x2 2x 3, x 0.
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)=x3+x+1,求f(x)的解析式.
解:(2)设 x>0,则-x<0,
由题意知 f(-x)=(-x)3+(-x)+1 =-x3-x+1. 又因为 f(x)为偶函数, 所以 f(-x)=f(x), 所以 f(x)=-x3-x+1(x>0),
a∈[-1,1]恒成立,
所以
m2 m2
2m 2m
0, 0,
解得 m≥2 或 m≤-2 或 m=0.
即时训练4-1:已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满 足f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求f(0),f(1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论.
【例1】 (2017·江西自主招生)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)等于( )
(A)3
(B)1
(C)-1
(D)-3
解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数, 所以f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1, 所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1, 又因为f(x)为定义在R上的奇函数, 所以f(-1)=-f(1)=-(2+2×1-1)=-3. 故选D.
误区警示 本题中当x≥0时,函数解析式含参数b,因此需利用奇函数在原点 处有定义,则f(0)=0的性质,求出b的值,然后根据奇函数性质求f(-1)的值.
即时训练 1-1:设 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x(1+ 3 x ),则
f(-1)=
.
解析:因为 f(x)为奇函数, 所以 f(-1)=-f(1). 又因为 x∈[0,+∞)时,f(1)=1×(1+ 3 1 )=2. 所以 f(-1)=-2. 答案:-2
x
(A)-2
(B)0
(C)1
(D)2
4.(最值)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5,则f(x)在[-
7,-3]上是(
B)
(A)增函数,最小值为-5
(B)增函数,最大值是-5
(C)减函数,最小值为-5 (D)减函数,最大值是-5
课堂探究——典例剖析·举一反三
题型一 利用奇偶性求函数值
(2)解不等式f（x+ ）<1 f(1-2x); (3)若f(x)≤m2-2am+1对2 所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立.求实数m的取值范围.
解:(2)由(1)知,-1≤x+ 1 <1-2x≤1, 2
解得 0≤x< 1 . 6
(3)由于函数 f(x)在[-1,1]上单调递增,
所以函数 f(x)在[-1,1]上的最大值为 f(1)=1, 所以 f(x)≤m2-2am+1 对所有 x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,可转化为 0≤m2-2am 对所有
解:(1)令a=b=0,则f(0×0)=0·f(0)+0·f(0)=0, 所以f(0)=0.令a=b=1, 则f(1×1)=f(1)+f(1),得f(1)=0. (2)f(x)是奇函数,证明如下: 令a=b=-1,则f(1)=-f(-1)-f(-1)=0,所以f(-1)=0. 令a=-1,b=x, 则f(-x)=f[(-1)·x]=-f(x)+xf(-1)=-f(x).故f(x)为奇函数.
变式探究2:本例中函数的值域是什么?
解:由于 f(x)= x 在(-1,1)上是增函数, 1 x2
且 f(-1)=- 1 ,f(1)= 1 ,
2
2
所以函数值域为(- 1 , 1 ). 22
方法技巧 利用单调性和奇偶性解不等式的方法
(1)充分利用已知的条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或 f(x1)<f(x2)的形式,再利用单调性脱掉“f ”求解. (2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致,偶函数的单调性相反,列出不等式或不 等式组,求解即可,同时要注意函数自身定义域对参数的影响.
答案:1
题型二 利用奇偶性求函数f(x)的解析式
【例2】 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x-3,求f(x) 的解析式.
解:(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=(-x)2-2(-x)-3=x2+2x-3. 又因为 f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x), 所以-f(x)=x2+2x-3,所以 f(x)=-x2-2x+3(x<0). 当 x=0 时,f(0)=0,
(2)如果 f( 1 )=1,解不等式-1<f(2x+1)≤0. 2
(2)解:因为 f(x)是 R 上的奇函数,
所以 f(0)=0,f(- 1 )=-f( 1 )=-1.
2
2
由-1<f(2x+1)≤0,得 f(- 1 )<f(2x+1)≤f(0). 2
又因为 f(x)在(-∞,0]上是增函数,所以- 1 <2x+1≤0, 2