大学基金投资的数学建模

大学基金投资的数学建模

摘要：

在如今高速发展的社会下，数学应用对于企业的生产、投资和规划有着不可缺少的作用。本文是关于学校基金最优化的建模——在一段时期内，如何合理地投资基金使得每年的收益最多，从而达到每年的奖金最多。

在建模的问题分析中，关于基金的最优使用方案可以转化为求n年如何把基金投入不同期限的投资项目，所得利息最大的分配问题。在满足每年能发下相同奖学金的前提下，应尽可能的投入期限长的投资最大化收益，同时在多种不同的投资组合中分析计算出1到10年的最佳组合。

对于本文的问题，可以做成简单的数学模型。对于基金M使用n年的情况，

可以把M分成n分，其中把第i(i=1,2,3,…,10)份基金

M投资期限为i年，那么

i

只有当

M按最佳投资策略投资i年后的本金与收益金的和作为该年的奖金，且把i

基金Mn按照最佳的方案投资n年后的本金与收益的和等于当年的奖金与原基金M之和时，每年的发放奖金数达到最大。

问题1：如果仅考虑把全部的基金都投入科研。可以选择出n=10内的基金投资组合的最佳分配，利用上述原理得到一个多元方程组，问题也转为解多元方程的问题，用Lingo软件求解。

问题2：如果仅考虑将全部经费投入到科研也可投入教学，类似问题1，只是多了三种投资期限，同理也可选择出N年内的最佳组合，列出方程组，用Lingo 软件解出最优解。

问题3：如果将全部的基金的一部分投入科研，另一部分投入教学，并要求第14年末的奖学金比其他年度多30%，同样也是选择最佳的投资组合，列出方程，用Lingo软件解出。

关键字：

基金数学模型科研教学

一、问题重述

某大学获得了一笔数额为M元的经费，打算将其投入到学校教学或科研中。经行家分析，投入到科研上，这笔经费给学校带来的年平均收益情况见下表1（譬如某人或学科组申请到此基金的一部分作为科研经费，申请时间3个月，3个月期满必须归还校基金会）。

表1：科研基金年平均收益率（%）

种类3个月6个月一年二年三年五年

收益率（%） 1.368 1.512 1.584 1.800 2.016 2.232

假设投入到教学中，用于建设精品课程，分1年、3年、5年建设课程（建设期满投入全部收回），行家估算，这笔基金给学校带来的平均收益见表2。

表2：教学基金年平均收益率（%）

种类一年三年五年

收益率（%） 1.98 2.52 2.79

学校计划在n年内每年用部分收益奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原经费数额。学校希望获得最佳的经费使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助学校在如下情况下设计经费使用方案；并对M=100万元，n=10年给出具体结果：

1．只投入到科研上不投入到教学中；

2．可投入到科研上也可投入教学中；

3．学校在经费到位后的14年（假如是2019年）要举行建校100周年校庆，希望这一年的奖金比其它年度多30%

二、模型假设

（1）每年所发放奖金额保持相同；

（2）两种收益假设在这几年内保持不变；

（3）将所得收益及时取出，扣除部分用于年发放奖金外立即投入科研和教学；（4）行家对于投资带来的利益的估算是可靠的、科学的和稳定的；

（5）投入的资金在使用期满后能确保收回；

（6）投资方式的选择不收收益率以外的其他因素影响；

（7）不考虑投资的风险问题

三、符号说明

M 学校获得的基金总额

Y在只投资科研的情况下每年发放的奖金数额

1

Y在投资科研和教学的情况下每年发放的奖金数额

2

Y只投资教学且第十四年的奖金比其他年份提高30%时，其他年份的奖金

3

Y投资科研和教学且第十四年的奖金比其他年份提高30%时，其他年份的奖金4

M投资期限为i年的第i份资金的投资额

i

四、问题分析

问题1分析：

对于固定的基金M元，只投入到科研上不投入到教学中。在投入科研有6种选择方式所以的组合，选择获得的利润最大。由题目给出的年利率可知，科研基金投资的时间越长，每年的年收益越大，因此我们尽可能的长期投资。如果全部用来投资5年期的科研项目获得利润最高，但是由于每年要发放一定的奖金，不能这样做，要保证每年末都有固定的奖金额S。因此要拿出必要的钱投资用于每年的奖金发放，把M分成n份，其中第i（n

m，那么只有当

1）份基金

≤

i≤

i

第i（1

m按最优投资方式存i年后的本利和等于当年的奖金发i）份基金

≤

≤n

1-

i

放数，并且第n份基金按最佳投资方式投资n年后的本利和等于原有基金M与当年的奖金发放数之和时，每年发放的奖金才能达到最多。

问题二的分析：

本问题中投资方式增多了，观察可发现投资精品课程建设的收益率在1年，3年，5年时都比投资科研项目要高。因此在这些期限投资精品课程收益较高，4年和5年的情况下也考虑投资精品的组合方式。这就仅仅需要比较的是如果是两年期的，是投资1个2年期的科研项目收益多，还是连续2年投资1 年期的教学项目收益多，从中分析找出最佳分配。

问题三的分析：

对于该问题需要注意下第14年的奖金数额比其他年度多30%，其他可以跟前两个问题类似，对比前面两种模型就能求得相应的最优值。

五、模型的建立于求解

问题一：只投入到科研上不投入到教学中

把基金M元分成n份，其中把第i（1≤i≤10）份基金Mi投资期限为i年，那么只有当Mi按最佳投资策略投资i年后的本金与收益金的和作为该年的奖金数，并且把基金Mn按最佳投资策略投资n年后的本金与收益金的和等于当年的奖金数与原基金M之和时，每年发放的奖金数将达到最大值。

然后考虑投资策略的最佳方案：由于三个月及六个月的利润太低，故不给