鲁教版初中数学八年级下册知识点汇总

第6章特殊的平行四边形一、知识框架
二．知识概念
知识点1 菱形的定义（重点） ★一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 平行四边形
菱形
注意：定义既是菱形的判定方法又是性质 知识点2 菱形的性质（重点） ★定理：菱形的四条边都相等. ★定理：菱形的对角线互相垂直
★菱形是轴对称图形,两条对角线所在直线都是它的对称轴 ★菱形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心
★注意:(1)菱形是特殊的平行四边形,所以它具有平行四边形的一切特征 (2)菱形的四条边都相等,所以菱形的周长等于边长的4倍
(3)菱形的对角线互相垂直,所以两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形,与菱形有关的几何问题一般都是从其中的一个直角三角形入手解决的
(4)菱形是轴对称图形,因此每一条对角线都平分一组对角,这是进行角的有关计算或证明的基础 (5)菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半 知识点3 菱形的判定（重点）
★定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,对角线互相垂直平分的四边形才是菱形 ★定理：四条边都相等的四边形是菱形. 知识点4 菱形的面积（重点）
★菱形的面积计算除利用平行四边形面积公式外也可用对角线长来计算，若a,b 分别表示两条对角线长,则菱形的面积S=
2
1ab 事实上,在对角线互相垂直的四边形中,一条对角线将四边形分成有公共底边的两个三角形,这两个三角形的高的和恰好是四边形的另一条对角线,由三角形的面积公式可得,对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线长度乘积的一半
一组邻边相等
★菱形的面积计算有如下方法:(1)一边长与两对边之间的距离(即菱形的高)的积;(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍);(3)两条对角线长度乘积的一半
知识点5 矩形的概念
★有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
有一个角是直角
平行四边形矩形
知识点6 矩形的性质（重点）
★定理：矩形的四个角都是直角
注意：此定理常作为证明两个三角形全等的隐含条件
★定理：矩形的对角线相等
★定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
知识点7 矩形的判定（难点）
★定理:对角线相等的平行四边形是矩形
★定理:有三个角是直角的四边形是矩形
★推论:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
★注意:(1)判定矩形时,首先要分清是在平行四边形基础上判定还是在四边形基础上判定,然后根据已知条件选择方法(2)用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件:一是有一个角是直角,二是平行四边形.也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形,必须加上平行四边形这个条件,它才是矩形
(3)用“对角线相等的平行四边形是矩形”证明一个四边形是矩形,也必须满足两个条件:一是对角线相等，二是平行四边形。

知识点8 矩形的轴对称性（难点）
★矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,对称轴分别是过每一组对边中点的直线,因此它的两条对称轴互相垂直。

★矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形.它的对称中心是两条对角线的交点；它有2条对称轴,对称轴之间的位置关系是互相垂直。

知识点9 正方形的概念
★有一组邻边相等的矩形叫做正方形
★注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。

即有一组邻边相等的矩形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形。

知识点10
正方形的性质（重点）
★定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等 ★定理:正方形的对角线相等且互相垂直平分
★正方形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心
★正方形是轴对称图形,两条对角线所在的直线,以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴
注意：(1)正方形既是菱形,又是矩形,而菱形、矩形又是平行四边形,因此正方形具有平行四边形、菱形、矩形的性质. (2) 正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形 知识点11
正方形的判定(重难点)
★定理:对角线相等的菱形是正方形 ★定理:对角线垂直的矩形是正方形 ★定理:有一个角是直角的菱形是正方形
★判定正方形的一般顺序:先证明它是平行四边形——再证明它是菱形(或矩形）——最后证明它是正方形 ★注意:判定一个四边形是正方形主要根据定义,先判定它是矩形再判定它是菱形,或先判定它是菱形再判定它是矩形,即①先证它是矩形,再证有一组邻边相等或对角线互相垂直;②先证它是菱形,再证它有一个角是直角或对角线相等。

知识点12
菱形、矩形、正方形与平行四边形之间的区别与联系(难点)
★菱形、矩形、正方形都是平行四边形,且是特殊的平行四边形,特殊之处在于:矩形是有一个角为直角的平行四边形;★菱形是有一组邻边相等的平行四边形;而正方形又是兼具两者特性的更特殊的平行四边形，它既是矩形又是菱形，它们关系如下：
对角线 相等 的平行四边形是矩形；对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形 对角线 相等且垂直 的平行四边形是正方形；对角线 垂直 的矩形是正方形
对角线 相等 的菱形是正方形
对角线 相等且互相平分 的四边形是矩形；对角线 互相垂直且平分 的四边形是菱形
矩形
正方形
平行四边形
菱形
第7章二次根式一、知识框架
二．知识概念
知识点13
二次根式的概念（重点）
★一般地，形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式，其中a 叫做被开方数
★注意:(1)二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零,这是因为a 表示a 的算术平方根,只有正数和零才有算术平方根,负数没有算术平方根,因此a 中的a 必须是非负数
(2) 判断一个式子是否为二次根式,要看它是否具备两个特征:一是根指数为2,二是被开方数为非负数 (3) a 中的a 可以表示一个数,也可以表示单项式、多项式、分式等代数式 (4) )判断一个式子是不是二次根式,不能将其“化简”。

如:4=2,但4是二次根式 知识点14
二次根式的性质a a 2
=（a ≥0）
★根据平方根的定义知,当a ≥0时，a 是a 的平方根
a a 2
=）（ ⎩⎨⎧<-≥==)
0()
0(a a a 2
a a a 即一个任意数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。

2a ）（与2
a 的性质的区别与联系：
知识点15
积的算术平方根的性质（难点）
★积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积：b a •=ab （a ≥0 ,b ≥0）
知识点16
商的算术平方根的性质（重点）
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根：
b
a
=
b a （a ≥0 ,b>0） 知识点17 最简二次根式（重点）
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

化简二次根式的一般方法：
知识点18
同类二次根式（重点）
几个二次根式化简成最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式
注意:(1)判断几个二次根式是否为同类二次根式,关键是把各二次根式准确地化成最简二次根式，再观察它们的被开方数是否相同。

(2)在没有化成最简二次根式以前,无法判断两个二次根式是否为同类二次根式,因此,化成最简二次根式是判断同类二次根式的前提条件。

知识点19
合并同类二次根式（难点）
★合并同类二次根式与合并同类项类似，把根号外的因式相加减，根指数与被开方数不变。

合并同类项：把同类项合并成一项就叫做合并同类项 知识点20
二次根式的加减法(重点)
★法则：先把各个二次根式分别化成最简二次根式，然后再将同类二次根式合并，有括号先去括号 知识点21
二次根式的乘法法则（重点）
ab =•b a （a ≥0 ,b ≥0）
知识点22
除法法则（重点）
b a
=b
a （a ≥0 ,b>0） 知识点23
二次根式的混合运算（难点）
★与实数的运算顺序一样，先乘方后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。

在运算过程中，每个根式可以看做一个“单项式”，多个不是同类二次根式的二次根式可以看做“多项式”
第8章一元二次方程
一、知识框架
二．知识概念
知识点24 一元二次方程的定义
★只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成ax² + bx + c = 0（a，b，c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程
我们把ax ² + bx + c = 0（a ，b ，c 为常数，a ≠ 0）称为一元二次方程的一般形式，其中 ax²，bx ，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a ，b 分别称为二次项系数和一次项系数
注意：（1）定义解释：①只含有一个未知数②是整式方程③未知数最高次数是2 三个条件缺一不可。

（2）判断一个方程是不是一元二次方程，以化简后为准
（3）当方程中出现字母系数时，区分哪个是未知数。

例如：关于x 的方程……则表示x 是未知数，其它字母均是常数。

知识点25
一元二次方程解得估算（难点）
依据：代数式的值的求法。

当某一x 的取值使得这个方程中ax ² + bx + c = 0的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程的解。

注意：（1）估算一元二次方程的解，只是估算“解”的取值范围，比如在哪两个数之间。

（2）当接近的两个数一个使得ax ² + bx + c > 0，一个使得ax ² + bx + c < 0，则解就在这两个数之间。

知识点26
开平方法解一元二次方程（重点）
（2）★平行线
如果一元二次方程的一边是一个含有未知数的一次式的完全平方式，而另一边是一个非负数，就可以用开平方法求解。

因此解一元二次方程的基本思路是将方程转化成(x+m)²=n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n ≥0时，方程两边同时开平方，把方程转化为一元一次方程，便可求出它的根。

注意：(1)开平方法的理论依据是平方根的意义(2)适合用开平方法解的一元二次方程主要有三种类型:①x ²=m(m ≥0);②(x+m)²=n(n ≥0);③a （x+m ）²=b(ab ≥0且a ≠0) 知识点27
配方法解一元二次方程（难点）
★通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。

配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程求解。

知识点28
一元二次方程的求根公式（难点）
★一般地，对于一元二次方程ax ²+bx+c=0(a ≠0),当b ²-4ac ≥0时,它的根是：a
242ac
b b x -±-=,这个式子称为
一元二次方程的求根公式
注意：:(1)被开方数b ²-4ac 必须是非负数，否则ac 4b 2-没有意义;(2)由求根公式可知,一元二次方程的根是由a,b,c 决定的，只要确定了a,b,c 的值就可以代入公式求一元二次方程的根
知识点29
一元二次方程ax ²+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式
一元二次方程ax ²+bx+c=0(a ≠0)的根的情况可由b ²-4ac 来判定，把b ²-4ac 叫做一元二次方程ax ²+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式,通常用希腊字母“△”来表示。

★当b ²-4ac ≥0时,方程有实数根
(1)当b ²-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根,即a
242ac
b b x -±-=
(2)当b ²-4ac=0时,方程有两个相等的实数根,即a
b x x 221-== ★当b ²-4ac<0时,a
c 4b 2-无意义,所以方程没有实数根
注意：:(1)计算根的判别式的值时，首先要将方程化成一般形式，然后求值。

(2)根的判别式与方程根的关系反过来也成立。

即当方程有两个不相等的实数根时，b ²-4ac>0;当方程有两个相等的实数根时，b ²-4ac=0;当方程无实数根时，b ²-4ac< 0 知识点30
公式法解一元二次方程（重点）
★公式法是用求根公式解一元二次方程的方法,它是解一元二次方程的一般方法，也就是说可以解任何一元二次方程 ★用公式法解一元二次方程的一般步骤是
(1) 把方程化为一般形式,确定a,b,c 的值(2)求出b ²-4ac 的值(3)若b ²-4ac ≥0,则把a,b,c 的值代入一元二次方程的求根公式中，求出1x ，2x 知识点31
因式分解法解一元二次方程（重点）
★当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解这种解一元二次方程的方法称为因式分解法
注意(1)用因式分解法把一个一元二次方程“降次”是一种重要的思想方法 (2)因式分解法的理论依据是:若ab=0,则a=0或b=0
(3)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:①将方程的右边化为0;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积; ③令每个因式分别为0,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解 ★主要有四种解法，如图：
般不使用配方法，但若二次项系数为1，一次项系数为偶数是，选择配方法解方程也比较方便。

知识点32
一元二次方程根与系数的关系
★探索一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程ax ²+bx+c=0(a ≠0)有两个实数根，设这两个实数根分别为1x ，2x ，由求根公式得
a 242ac
b b x -±-=，则1x +2x =a b -，1x 2x =a
c
这一结论可表述为:一元二次方程两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两根的积等于常数项与二次项系数的比，此结论称为一元二次方程根与系数的关系 注意:只有在方程有根即△=b ²-4aC ≥0的前提下才有此结论。

★有关根与系数的两个重要推论
(1)以1x ，2x 为实数根的一元二次方程(二次项系数为1)的表达式是0)(21212
=++-x x x x x x (2)如果方程x ²+mx+n=0的两个实数根是1x ，2x ,那么1x +2x =-m ，1x 2x =n 拓展:与两根有关的几个代数式的变形:
(1)212
21212
2212
12
22
12)(2)2(x x x x x x x x x x x x -+=-++=+ (2)
2
12
12111x x x x x x +=+ (3)212
212
21214-)()-(|-|x x x x x x x x +== 知识点33
列一元二次方程解应用题（重难点）
列一元二次方程解应用题的步骤可以归纳为：审、找、设、列、解、验、答 其具体过程是
(1)审题:阅读题目,明确已知量与未知量;
(2)找等量关系:寻找已知量和未知量之间的联系，用运算符号和等号连接
(3)设未知数:一是直接设所求的量为x,二是间接设与所求的量紧密相关且起着关键性作用的量为为x,注意设未知数要带单位;
(4)列方程:用含有x的代数式把等量关系中的各个量表示出来,列出方程;
(5)解方程:选择合适的方法解方程
(6)检验:检验两个解是否都符合题意,舍去不符合题意的解
(7)写答
注意：:(1)在一道应用题中,往往含有几个未知量,应恰当地选择其中的一个用字母x表示,然后根据各量之间的数量关系,将其他几个未知量用含x的代数式表示出来.(2)一定要对方程的解加以检验,看它是否符合实际意义
★增长(降低)率问题
解决有关平均增长(或降低)率的问题通常是利用公式建立方程增长率问题:设基数为a,平均增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x),两次增长后的值为a(1+x)²，以此类推,n次增长后的值为a(1+x)n
降低率问题:设基数为a,平均降低率为x,则一次降低后的值为a(1-x)，两次降低后的值为a(1-x)²，以此类推,n次降低后的值为a(1-x)n
★利润问题
销售中的利润问题的关系式:
(1)利润=售价一进价;
(3)售价=进价×（1+利润率）
(4)总利润=每件利润×销售量=总收入-总支出
★图形问题
数学中常见的图形有三角形、平行四边形、矩形菱形、正方形、梯形、正六边形、圆等,它们的面积和周长都是常见的计算问题。

解图形问题的关键是将不规刚图形制分割或组合成规则图形，找出各部分图形或周长之间的关系，再运用规则图形的面积或周长公式列出方程进行求解。

第9章图形的相似一、知识框架
二．知识概念
知识点34
形状相同的图形
★所谓形状相同的图形，实际上就是形状相同，大小、位置不一定相同的图形。

一般而言，形状相同的图形就是相似图形，但是全等图形也是形状相同的图形，属于相似图形的一种特殊情况。

★实际上，形状相同的图形的对应线段的条数相同，对应线段长的比值相等，因此可以看作是把其中一个图形放大或缩小一定的倍数得到另一个图形。

★对于形状相同而大小不同的两个平面图形，我们可以用相应线段长度的比来描述他们的大小关系。

注意：（1）所谓形状相同，和位置、摆放角度、方向无关。

（2）大小不一定相同是指图形的周长、面积等可以不同。

（3）旋转对称的两个图形、成轴对称的两个图形一定是形状相同的图形。

知识点35
两条线段的比
★如果选用同一个长度单位量的量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m,n ，那么这两条线段的比就是他们长度的比，即AB:CD=m ：n ，或写成
n
m CD AB =。

其中,AB,CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把n m
表示成比值k,那么
k CD
AB
=,或AB=k ·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比。

★注意：（1）求两条线段的比时，与所选线段的长度单位无关，但是长度单位要统一 （2）两条线段的比是一个没有单位的正实数
（3）两条线段的比有顺序，除了AB=CD 之外，AB:CD ≠CD:AB,
CD AB 与AB
CD 互为倒数。

知识点36 成比例线段（重点）
★四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d
c
b =a ，那么这四条线段a ，b ，
c ，
d 叫做成比例线段，简称比例线段. ★注意：（1）如果
c
b b
a =，那么
b 叫做a 和
c 的比例中项 （2）在比例式a:b=c:
d 中，d 叫做a,b,c 的第四比例项
（3）成比例线段都是有顺序的，即a,b,c,d 是成比例线段，则a:b=c:d,而不能写成a:b=d:c （4）判断给定的四条线段是不是比例线段
排：统一单位，把这四条线段按照从小到大（或从大到小）的顺序排列； 算：分别求出前两条线段长度之比与后两条线段长度之比
判：如果比值相等，则这四条线段是成比例线段；若比值不相等，则这四条线段不是成比例线段。

知识点37
比例的性质1-基本性质（难点）
★比例的基本性质：如果
d c b =a ,那么ad=bc ；
如果ad=bc （a,b,c,d 都不等于0），那么d c b =a （或者d b =c a ，a
c
=b d ，a
b
=c d ） ★注意：（1）当a,b ，c 为实数时，由b ²=ac ，得ac ±=b ；当a ，b,c 为线段时，由b ²=ac ，得ac =b
（1）
d
c
b =a 是等比式，ad=cb 是等积式，二者可以互相转化，且等比式有多种变形 知识点38 比例的性质2-合比性质（难点）
★如果
d c b =a ,那么d d c b +=+b a ，d
d
c b -b -a =
知识点39
比例的性质3-等比性质（难点）
★.),0(b
a n d
b m
c a n
d b n m d c b a
=++++++≠++===
那么等比性质：如果 注意：在比例的等比性质成立时，要强调b+d+……+n ≠0，因为此处的b,d,……，n 允许有负数存在（） 知识点40
平行线分线段成比例的基本事实
（3）对应线段的比相等是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上它们对应的线段的比 （4）形象化语言记忆：
下
全下全，上全上全，上下上下，全下全下全上全上下上下上======,,
（5）在列比例式求某条线段的长时，尽可能将要求的线段写成比例的第一项，这样可以少出错。

知识点41
平行线分线段成比例的基本事实的推论（重点）
★平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。

知识点42
相似多边形的定义及相似比（难点）
★各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

★注意：（1）两个条件缺一不可。

只有各角对应相等的两个相似多边形不一定相似；各边对应成比例的两个多边形也不一定相似。

（2）相似用“∽”表示，读作“相似于”。

（这里要注意：在用相似符号记两个多边形时，把表示对应角顶点的字母写在对应位置上，可以一目了然的知道他们的对应边和对应角,与全等形的记法类似）
（3）相似比是有顺序的。

如正方形ABCD∽EFGH，相似比为k,则正方形EFGH ∽ABCD 的相似比为1k
（4）当相似比为1时，两个相似图形就全等，也就是说全等是相似的特殊情况 知识点43
相似多边形的性质及判定（重点）
★相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例
★相似多边形的判定：一般应用定义判定；各角对应相等，各边对应成比例 知识点44
相似三角形的有关概念
★相似三角形：三角分别相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形
★注意：（1）对应性：通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。

（同全等三角形）
（2）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的。

例如△ABC ∽△A'B'C'，它们的相似比为k ，则
''''''B B AB BC A C k C AC A =
== ;若写成△A'B'C'∽△ABC ，它们的相似比为k '，'''''''A B BC B B C A C C k A A ==
=，因此1
'
k k = （3）传递性：△ABC ∽△A'B'C'，△A'B'C'∽△A''B''C''，则△ABC ∽△A''B''C'' 相似三角形与全等三角形的关系，如下图：
相似比 相似比为1的相似三角形，是特殊情况
可以是1，也可以是其他比值
知识点45
相似三角形的判定方法1（重点）
★两角分别相等的两个三角形相似。

即：已知△ABC 和△A'B'C'，若','A A B B ∠=∠∠=∠ ，则△ABC ∽△A'B'C' ★三角形相似与全等类似，有几种常见的构图方式，熟悉这些相似的基本图像，可收到事半功倍的学习效果： （1） 平行线型(如下两种图形)：若DE//BC ，则△ADE ∽△ABC
（2） 相交线型(如下两种图形)：若∠AED=∠B ，则△AED ∽△ABC
（3） “子母”型(如下两种图形)：若∠ACD=∠B ，则△ACD ∽△ABC
注意：在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角”等隐含条件 知识点46
相似三角形的判定方法2（难点）
★两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

即：已知△ABC 和△A'B'C'，若'''''
,B C AB AC
A A A A =∠=∠ ， 则△ABC ∽△A'B'C'
★注意：（1）相似三角形没有类似全等三角形判定方法的缩写形式。

（2）两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似。

如下图：
知识点47
相似三角形的判定方法3
★三边成比例的两个三角形相似。

即：已知△ABC 和△A'B'C'，若
''''''
B B
C AB BC AC
A A C ==
，则△ABC ∽△A'B'C' ★注意：在相似三角形中，最短边与最短边是对应边，最长边与最长边是对应边，应先确定边的大小，以便找准对应关系。

知识点48
黄金分割的有关概念（重点）
★一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （如图），如果C
C AB A BC
A =
，那么称线段AB 被点C 黄金分割。

点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。

A C
B ★注意：（1）意义：A
C ²=AB · BC （较长的平方=短×总长） （2）黄金比
51
0.618A B A B C C C A -==≈ 记忆：黄金比=
较长线段的长原线段的长
=
较短线段的长较长线段的长
=
√5−1
2
计算黄金比：假设AB=1 AC=x ，根据定义列算式x2=1×（1-x ） 然后求得（假设AB=a ，一样最后约a ） （3）线段AB 有两个黄金分割点，其中一点D 靠近点A ，
51
0.6182
BD AD A B B D -==≈；另一点C 靠近点B ，有51
0.6182
A B A B C C C A -==≈，并且AD=BC,AC=BD 知识点49
尺规作黄金分割点（了解）
1.经过点B 作BD ⊥AB,使1
2
BD AB =
2.连接AD,在AD 上截取DE=DB.
3.在AB 上截取AC=AE.
为什么点C 是线段AB 的黄金分割点？方法提示：设AB=2，求AC 、BC ，并分别计算 知识点50
利用杨光下的影子测量旗杆的高度（重点）
★测量一些不能直接测量的物体的高度的方法： 1.利用阳光下的影子来测量旗杆的高度
【操作方法】：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的影长和此时旗杆的影长．
【点拨】：太阳的光线是平行光线
∵太阳的光线是平行的，∴AE ∥CB ，∴∠AEB ＝∠CBD ，
∵人与旗杆是垂直于地面的，∴∠ABE ＝∠CDB ，∴△ABE ∽△CBD ∴BD BE CD AB =
即CD=BE AB BD
• 【结论】：同一时刻，参照物体影子的长度参照物体的高度
被测物体影子的长度被测物体的实际高度=
（注意，必须说明是同一时刻）
【优点】测量数据较少，误差也会较小，且测量过程比较简单； 【缺点】如果是阴天或晚上，在地面上形不成影子，该方法就不能使用了 知识点51
利用标杆测量旗杆的高度
【操作方法】：（1）测量出标杆CD 的长度，选一名学生为观测者，测出观测者眼部以下高度EF 。

（2）在他和旗杆之间的地面上直立标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时，分别测出他的脚与旗杆底部BD ，以及与标杆底部的距离BF 。

（3）根据CN
EM
AN AM =
，求出CN 的长，再加上AB 的长，即可求出旗杆的高度．
如图，过点A 作AN ⊥DC 于N ，交EF 于M ．
【点拨】：∵人、标杆和旗杆都垂直于地面，∴∠ABF ＝∠EFD ＝∠CDH ＝90°∴人、标杆和旗杆是互相平行的． ∵EF ∥CN ，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠3，△AME ∽△ANC ，∴
CN
EM
AN AM =
∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM 都已测量出，
∴能求出CN ，∵∠ABF ＝∠CDF ＝∠AND ＝90°，∴四边形ABND 为矩形．∴DN ＝AB ，∴能求出旗杆CD 的长度． 【优点】阴天或晚上也可以用该方法测量；
【缺点】测量数据较多，且用肉眼观察，这样误差会增大，且测量过程和计算比较繁琐 知识点52
利用镜子的反射测量旗杆的高度
【操作方法】：（1）选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上面做一个标记。