分数阶控制系统

定义 。
2) 控制系统的传递函数描述 对方程式 (6) 两 边同时取拉氏变换 , 并设初始条件 bk = 0 ( k = 1 , 2 , …, n) , 可以得到其传递函数 G( s) :
G( s)
=
an s pn
+
a s n - 1 pn - 1
1 + …+
a1 sp1
+
a0 sp0
,
pn > pn - 1 > …> p1 > p0 ≥0
0
2) 分数导数 Riemann2Liouville 定义如下 :
∫ aDtpf ( t)
=
Γ(
1 n-
p) (dΠd t) n
t
( t - τ) n- p- 1 f (τ) dτ,
a
n - 1 ≤p < n
(2)
Caputo 定义 对常数的求导 :
0
α
Dt C
=Γ(C1t
-
-
α
α)
5 分数阶控制器[ 9～11]
目前分数阶控制器主要有 4 种 , 一为由 B. J . Lurie 提出的 TID[12] 控制器 , 它由积分环节 、微分环 节和一个分数阶环节并联组成 , 其结构简单 , 参数 较少 , 调 节 方 便 , 但 很 难 达 到 理 想 效 果 。二 为
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2) 分数系统扩展频域分析[5 ,6] 分数系统扩展 频域法区别于上面所说的一般频域法 , 它以分数系 统传递 函 数 分 解 出 的 基 本 环 节 为 研 究 对 象 , 在 ( - ∞, + ∞) 范围内研究其频率特性 , 进而可以在 频域内分析系统稳定性 。相比较原有整数系统频域 分析 , 由于分数系统正负频率特性不再对称 , 必须 对频率范围作全面扩充 , 因此称之为扩展频域分 析 。其优点在于不仅适用于任意阶次的分数系统 , 还适用于作为特例的整数系统 , 无疑是整数系统频 域分析更具一般化的方法 。
收稿日期 : 2007211213 ; 收修定稿日期 : 2007212227 作者简介 : 吴 娟 (19842) , 女 , 江西永新人 , 研究生 , 主要研究方向为自动控制理论等 。
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· 54 · 控 制 工 程 第 15 卷
D1Πm x ( t) = Ax ( t)
(11)
x (0) = [ x1 (0) , x2 (0) , …, xn (0) ] T
(12)
式中 , x ( t) ∈Rn , A ∈Rn ×n 。
x ( t) = ( x1 ( t) , x2 ( t) , …, xn ( t) ) T
(13)
+
b D ( l - 1)Πr r- 1
+
…+
b0 D0 ] u ( t)
式中 , l ≤r , r < n 。
D1Πm x ( t) = Ax ( t) + B u ( t) (15)
y ( t) = Cx ( t)
式中 , t ≥0 ; பைடு நூலகம் = [ 0 ,0 , …,0 ,1 ]T ; C = [ b0 , …, br ,
(7)
3) 状态空间描述[4] 考虑 ( n , m) 次的分数微分
方程 :
[ DnΠm + a1 D ( n - 1)Πm + …+ an D0 ] x ( t) ≡0
(8)
x (0) = [ x (0) , x′(0) , …, x ( t) (0) ]T
(9)
式中 , m , n 分别为正整数和非负整数 , 且 m 表示
系来描述了 , 而是含有状态变量 xi ( t) 的分数阶微
分的微分方程组 :
X′( t) = f ( xi ( t) , u ( t) ) t ≥0
(16)
y ( t) = g ( xi ( t) , u ( t) )
4 分数阶控制系统的复频域分析
1) 分数系统一般频域分析 该方法建立在变 量代换基础上 , 适用于分数阶同元次系统 。该方法 出现得较早 , 且受应用范围的限制 , 所以称为一般 频域分析法 。其思想是将分数系统按照一定规律将 原复平面进行空间映射 , 实际上是主黎曼面的映 射 , 将分数阶系统转变为对等整数系统的同时 , 形 成对应该整数系统的复平面 , 在此平台上分析频率 特性及稳定性 , 从而得出原分数系统的相应特性 。
所有分数导数项分母的最小公倍数 , t - 1 < nΠm ≤
t , t ∈N; DkΠm (0 < k < m) 为Caputo 分数导数定义 。
定义状态变量 :
x1 ( t) = x ( t)
x2 ( t) = D1Πm x1 ( t) = D1Πm x ( t) ⁝
(10)
xn ( t) = D1Πm xn - 1 ( t) = D ( n - 1)Πm x ( t) 则系统的状态方程为
扩展频率分析包括三部分内容 , 第一是分数阶 代数方程的解性质 , 它从复域主黎曼面形变的角度 给出方程具有惟一有效解的充分必要条件 , 这既能 解释构成传递函数基本分数环节的形成依据 , 也提 供了分数系统零极点的定义形式 , 它的主黎曼面有 效解与分数微分方程特征根相统一 , 是联系分数系 统扩展频率分析与时域分析的纽带 。第二是分数系 统扩展频率特性 , 由扩展 Bode 图与 Nyquist 曲线表 示出 , 因为其过程可逆 , 故也可由此对分数阶系统 进行经典频域辨识 。第三是稳定性分析 , 扩展对数 频率判据与 Nyquist 判据分析范围到整个正负频率 域内 , 扩展后的判据将试用于不受阶次复杂性影响 的一般分数系统[7 ,8] 。
(5)
[ 0 DPt n - k - 1 y ( t) ] t = 0 = bk , ( k = 0 ,1 , …, n - 1) (6)
式中 , ai ( i = 0 ,1 , …, n) 为常数 ; Dp ≡0 Dtp 可以是
任何一种分数导数定义 , 此处取 Riemann2Liouville
(3)
对函数的导数 :
∫ aCDtpf ( t)
=
Γ(
1 n-
p)
t a
(
f ( n) (τ) t - τ) p + 1 -
n dτ,
n- 1< p< n
(4)
3 分数阶控制系统的描述
1) 分数阶微分方程[3] 与整数阶方程一样 , 若分数 阶 微 分 方 程 中 含 有 的 导 数 项 的 最 高 阶 次 为 p , 则该分数微分方程称为 p 次分数阶微分方程 。 分数阶线性定常微分方程的一般形式如下 :
0 , …,0 ] 。
当然以上状态空间建模方法仅适用于同元次系
统 , 这里所说的同元次 , 指系统的分数阶微分方程
的阶次均为某一有理数 (整数或者分数) 的倍数 。
对于非同元次即多个分数阶参数的系统 , 一般
仍采用经典建模方法 , 即利用状态变量的一阶导数
来建模 , 但此时状态方程不能再用向量和矩阵的关
1 引 言
现实世界中的动态系统多为分数阶的 , 用分数 阶数学模型描述的动态系统要比整数阶数学模型所 描述的更加精确 。长久以来 , 由于缺少恰当的数学 方法 , 分数微积分的研究停留在理论阶段 , 在实际 工程方面的应用比较少 , 尤其大部分系统都采用整 数阶方程逼近的方法 , 用整数阶方程代替分数阶方 程进行控制[1] , 但是这样的结果导致描述精确度相 对较低 , 不能准确反应系统的性能 。因此 , 对分数 阶系统进行深入研究有着重大意义 。
2008年5月 第15卷增刊
控制工程 Control Engineering of China
May 2 0 0 8 Vol . 1 5 , S0
文章编号 :167127848 (2008) S020052203
分数阶控制系统
吴 娟
(重庆邮电大学 自动化学院 , 重庆 400065)
摘 要 : 随着基于分数阶次的数学理论日益完善 , 分数阶控制系统也越来越广泛地被研 究和讨论 。为了完善分数阶控制系统的理论体系 , 给出了分数阶系统的总体综述 。介绍了分 数微积分的定义 , 给出了分数阶线性定常系统的传递函数和状态空间描述 , 简要介绍了分数 阶控制系统的复频域分析和分数阶控制器及控制器的设计方法 , 并分析了几种设计方法的优 缺点 。分数系统的研究必然能找到合适的切入点广泛地进入现代控制领域 , 为真正实现工业 控制自动化提供强有力的理论依据 。 关 键 词 : 分数阶 ; 分数微积分 ; 控制系统描述 ; 分数阶控制器 中图分类号 : TP 27 文献标识码 : A
增刊 吴 娟 : 分数阶控制系统 · 5 3 ·
anDpn y ( t) + a D n - 1 pn - 1 y ( t) + …+ a1 Dp1 y ( t) +
a0 Dp0 y ( t) = f ( t)
pn > pn - 1 > …> p1 > p0 > 0
Fractional Order Control System
WU J uan
(College of Automation , Chongqing University of Post and Telecommunication , Chongqing 400065 , China)
Abstract : With the increasing consummation of the mathematics theory based on fractional2order , the fractional control system is investigated and discussed more and more widely. To consummate theory system of fractional control system , summarization to the fractional system are giv2 en. The definition of fractional derivatives and integrals are introduced , and the transfer function and state2space representation of fractional linear time2invariant system are given. The compound frequency analysis of fractional control system and fractional controller including its de2 sign methods are introduced , and the merits and defects of several design methods are analyzed. Key words : fractional order ; fraction calculus ; control system description ; fractional order controller
0
1 0… 0
0
01
⁝
A= ⁝
0
(14)
0
…
01
- an - an - 1
… - a1
推广式 (9) , 使其包含输入 u ( t ) ∈Rr , 输出
y ( t) ∈Rp , 即式 (9) 扩展为
[ DnΠm + a1 D ( n - 1)Πm + …+ an D0 ] x ( t) =
[ brDlΠr
2 分数微积分
分数阶微积分是将微积分从整数阶向分数阶或
非整数阶推广 。
连续分数阶微积分算子的定义如下[2] 。
1) 分数积分 Riemann2Liouville 定义如下 :
∫ D -
pf ( t)
=
1 Γ( p)
t
(t
-
τ) p- 1 f (τ) dτ, p
>
0
(1)
0
∫∞
式中 ,Γ(·) = exp ( - t) tλ- 1 d t ,为 Gamma 函数 。