矩阵论课件Matrix5-1矩阵分析
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矩阵论课件ppt
代数法
通过求解特征多项式来找到特征值， 然后求解相应的线性方程组找到特征 向量。
数值法
在数值计算中，可以使用数值方法来 计算特征值和特征向量，如Arnoldi 方法、Lanczos方法等。
CHAPTER 06
应用实例
在机器学习中的应用
线性分类器
特征提取
矩阵论中的线性代数原理在支持向量 机、逻辑回归等线性分类器中有重要 应用，用于构建分类模型。
02 03
详细描述
矩阵的加法与减法是基本的矩阵运算之一，其规则是将两个矩阵的对应 位置上的元素进行加法或减法运算。在进行加法或减法运算时，必须保 证两个矩阵的维度相同，否则无法进行运算。
总结词
矩阵的乘法是矩阵运算中的重要运算之一，其结果是一个新的矩阵。
矩阵的运算 矩阵的加法与减法
• 详细描述：矩阵的乘法需要满足一定的规则，即第一个矩阵的 列数必须等于第二个矩阵的行数。乘法的结果是一个新的矩阵 ，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数 。矩阵乘法的具体计算方法是对应元素相乘并求和，即第一个 矩阵的第i行第j列元素与第二个矩阵的第j行第k列元素的乘积之 和，作为新矩阵的第i行第k列元素的值。
矩阵的行变换
将矩阵的某一行乘以一个非零常数、与另一行交换、 或加上另一行的倍数。
矩阵的逆
一个矩阵的逆是其与原矩阵相乘为单位矩阵的唯一矩 阵。
线性方程组的解空间与基
01
解空间的定义
线性方程组的所有解构成的集合称 为解空间。
基的定义
线性无关的解向量的有限集，可以 生成整个解空间。
03
02
解空间的性质
解空间是一个向量空间，具有加法 和数乘封闭性。
矩阵的QR分解
《矩阵分析》课件
方阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵。
01
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的方阵称 为对角矩阵。
03
对称矩阵
设$A = (a_{ij})$为$n$阶方阵，若对任意$i, j$都有$a_{ij} = a_{ ji}$，则称$A$为对称矩
阵。
05
02
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 $O$。
04
非零行的首非零元所在列在上一行的 首非零元所在列的右边。
同一行的所有非零元均在首非零元的 右边。
线性无关组与基础解系
线性无关组：一组向量线性无关当且仅当它们不能 由其中的部分向量线性表示出来。换句话说，只有 当这组向量中任何一个向量都不能由其余向量线性 表示时，这组向量才是线性无关的。
基础解系中的解向量线性无关。
当B=I时，广义特征值问题退化为普通的特征值问题。此外，广义特征值问题可以通 过相似变换转化为普通的特征值问题进行求解。
06
CATALOGUE
矩阵函数与微分学在矩阵分析中应用
矩阵函数定义及性质
矩阵函数的性质 矩阵函数的转置、逆和行列式等运算也遵循相应的矩
阵运算规则。
矩阵函数的定义：设$A(t)=(a_{ij}(t))$是一个 $ntimes n$矩阵，其元素$a_{ij}(t)$是变量$t$ 的函数，则称$A(t)$为矩阵函数。
Gauss消元法原理
LU分解求解线性方程组
通过行变换将矩阵化为上三角矩阵， 从而解线性方程组。
将Ax=b转化为LUx=b，通过前向替 换和后向替换求解。
LU分解定义
将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个 上三角矩阵U的乘积。
QR分解原理及实现
QR分解定义
矩阵分析课件
1 13
3 3 3
1
2
0
1
3 3
3
1 3
2 3
1
1 3
向量 A第一组基下的坐标为
x1
7 3
,
x2
4 3
,
x3
1, 3
x4
2 3
利用坐标变换公式可以求得 A 在第二组基下的坐标为
y1 y2 y3 y4
123
3
1
3
1 3
1 3 2 3
0 0 0
1 1
13 3 1 3
x1 1
例 4 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的
定义下也构成线性空间：
a b : ab, a, b R
k a : ak , a, k R
例 5 R 表示实数域 R 上的全体无限序列组成的
的集合。即
R
[a1,
a2, a3,]
ai F, i 1,2,3,
在 R 中定义加法与数乘：
[a1, a2, a3,] [b1, b2, b3,] [a1 b1, a2 b2, a3 b3, ] k[a1, a2, a3,] [ka1, ka2, ka3,] 则 R 为实数域 R上的一个线性空间。
i a1i1 a2i2 anin
a1i
1,2,
,
n
a2i
,
i 1, 2,
,n
ani
将上式矩阵化可以得到下面的关系式：
a11 a12
a1n
1, 2,
,
n
1
,2
,n
a21
a22
a2
n
an1 a2
ann
称 n 阶方阵
记为Ｐ
矩阵论五矩阵分析
矩阵论五矩阵分析矩阵论作为数学中的一个重要分支，研究的是矩阵的性质、运算和应用。
在实际应用中，矩阵论广泛应用于线性代数、计算机科学、物理学、经济学等领域，起到了重要的作用。
本文将介绍矩阵分析这一矩阵论的重要内容。
矩阵分析是矩阵论中的一个重要分支，它研究的是矩阵的各种性质和内在结构。
矩阵分析包括矩阵的行列式、特征值、特征向量、正交变换、相似矩阵等概念和定理。
首先，矩阵的行列式是一个非常重要的概念。
行列式是一个把方阵映射到实数的函数，用于判断矩阵是否可逆、求解线性方程组等问题。
行列式的计算可以通过对矩阵进行列展开、代数余子式等方法来进行。
同时，行列式还具有一系列重要的性质，如行列式的线性性、行列式的性质、Cramer法则等，这些性质为行列式的计算和应用提供了便利。
其次，矩阵的特征值和特征向量也是矩阵分析的重要内容。
特征值和特征向量描述了矩阵在线性变换下的性质，是矩阵的本征特性。
通过求解特征方程，可以得到矩阵的特征值，通过求解对应的特征向量，可以得到矩阵的特征向量。
特征值和特征向量在很多应用中起着重要的作用，如在物理学中用于描述物理量在变换下的特性，亦或者在图像处理中用于图像压缩和分解等。
此外，矩阵的正交变换也是矩阵分析中的一个重要概念。
正交变换是指保持向量长度和夹角不变的线性变换，可以通过一个正交矩阵来实现。
正交变换在几何学中起到了非常重要的作用，如在三维空间中的旋转变换、投影变换等。
正交矩阵具有很多重要的性质，如正交矩阵的逆等于其转置、正交矩阵的行列式为1或-1等。
最后，相似矩阵也是矩阵分析中的一个重要概念。
相似矩阵是指可以通过一个可逆矩阵相似变换得到的矩阵。
相似矩阵具有相同的特征值，特征向量和行列式。
相似矩阵在矩阵的相似性和等价性判断、矩阵的对角化等问题中起到了重要的作用。
总之，矩阵分析作为矩阵论的重要分支，研究的是矩阵的各种性质和内在结构，是矩阵论的重要内容之一、矩阵分析包括矩阵的行列式、特征值、特征向量、正交变换和相似矩阵等概念和定理。
《矩阵分析》ppt课件
包括结合律、分配律、 数乘的结合律和分配律 等。
特殊矩阵类型介绍
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
对称矩阵
若一个方阵满足$A^T = A$， 则称该方阵为对称矩阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为零的方阵称为单位 矩阵。
反对称矩阵
牛顿法
利用矩阵微积分计算目标函数的二阶导数（海森矩阵），通过迭代 更新参数实现更快速地最小化目标函数。
最小二乘法
利用矩阵微积分求解线性方程组的解，实现数据拟合和回归分析等 任务。
矩阵级数展开式
矩阵幂级数展开
01
将矩阵函数表示为幂级数的形式，便于进行矩阵运算和求解矩
阵方程。
矩阵指数函数展开
02
将矩阵指数函数表示为级数形式，便于计算矩阵指数函数的值
03
CATALOGUE
特征值与特征向量问题
特征值和特征向量定义及性质
特征值和特征向量的 定义：对于n阶方阵A ，如果存在数λ和非零 n维列向量x，使得 Ax=λx，则称λ是A的 一个特征值，x是A的 对应于特征值λ的一个 特征向量。
特征值和特征向量的 性质
不同特征值对应的特 征向量线性无关。
特征值的和等于方阵 主对角线上元素的和 ，即迹。
解的唯一性条件
当系数矩阵A满秩（即r(A) = n）时，线性方程组有唯一解。
高斯消元法求解线性方程组原理步骤
高斯消元法步骤
从最后一个方程开始，逐个回代求解未知数列向量x 。
高斯消元法原理：通过初等行变换将系数矩阵 A化为上三角矩阵，然后回代求解未知数列向 量x。
对系数矩阵A和常数列向量b组成的增广矩阵 [A|b]进行初等行变换，将其化为上三角矩阵。
(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档
列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij
a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中
矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;
矩阵分析课件
引理 设 矩阵 A 的左上角元a11 0， 并且 A 中至少有一个元素不能被它整除，那 么一定可以找到一个与 A 等价的矩B ， 它的左上角元素也不为零，但是次数比a11
的次数低。
定理 2.1.4 任意一个非零的n阶 矩阵 A
都等价于一个对角矩阵，即
A( )
d1( )
参照例 2.1.2 的方法可把二阶矩阵用初等变换化某一
个元素成常数。
1
A 0
0
1 C2C3 0
0
1 C3 C2 0
0
0
3 2 2 4 3 2
0
3 2 1
4 3 2
0
3 2 2 4 3 2
0
2 1
0
0
0
2
2 1
4 3 2
0
1
0
2
2
3
2 5
3
然后用初等变换把公因子 所在的行、列的
其余元素均化为零。
A( )
2 3
2
2
3
5
23r1
r2
0
2 5
3
(
2
10
3)
( 5)C1C2
0
0
(
2
10
3)
3
3C2 0
0 ( 2 10 3)
例 2.1.2 用初等变换把 矩阵
1 2
A( )
【证明】必要性：设 A()可逆，在式(2.1.1)
的两边求行列式得
A( ) B( ) 1
(2.1.2)
因为 A( ) 和 B( ) 都是 的多项式，所以根
据式(2.1.2)推知，A( ) 和 B( ) 都是零次多
项式，此即 A( ) 是非零的常数.
的次数低。
定理 2.1.4 任意一个非零的n阶 矩阵 A
都等价于一个对角矩阵，即
A( )
d1( )
参照例 2.1.2 的方法可把二阶矩阵用初等变换化某一
个元素成常数。
1
A 0
0
1 C2C3 0
0
1 C3 C2 0
0
0
3 2 2 4 3 2
0
3 2 1
4 3 2
0
3 2 2 4 3 2
0
2 1
0
0
0
2
2 1
4 3 2
0
1
0
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2
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然后用初等变换把公因子 所在的行、列的
其余元素均化为零。
A( )
2 3
2
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5
23r1
r2
0
2 5
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(
2
10
3)
( 5)C1C2
0
0
(
2
10
3)
3
3C2 0
0 ( 2 10 3)
例 2.1.2 用初等变换把 矩阵
1 2
A( )
【证明】必要性：设 A()可逆，在式(2.1.1)
的两边求行列式得
A( ) B( ) 1
(2.1.2)
因为 A( ) 和 B( ) 都是 的多项式，所以根
据式(2.1.2)推知，A( ) 和 B( ) 都是零次多
项式，此即 A( ) 是非零的常数.
【矩阵理论课件】课件5
J
k
P
1
ak
k0
J1kPP 1Fra bibliotekakJ
k s
k0
f (J1)
P
P
1
f
(
J
s
)
f (Ji )
ak
J
k i
k 0
ik
ak
k0
C1 k1 ki
L
ik
O
mi 1 k (mi 1)
C k i
M
C1 k1 ki ik
ak ik
k0
akCk1
k 1 i
二、矩阵函数值的计算
1、利用相似对角化:
设P1AP diag(1, 2, , n ) D
f ( A)
ck
Ak
ck
( PDP 1 )k
P
ck
Dk
P
1
k0
k0
k0
ck
k0
1k
P
P 1
ck
k0
nk
f (1)
P
P
1
f
(n
)
同理
f ( At) Pdiag( f (1t), f (2t), , f (nt)).
0.1 0.7 k
r( A)
A
0.9
1
k 0
0.3
0.6
1
0.1 0.7 0.9
0.7 1
E
0.3
0.6
0.3
0.4
1
1 10
9 3
7
4
1 0.15
0.4
0.3
0.7
0.9
例：A 1,求 kAk-1
研究生矩阵分析课程课件
详细描述
矩阵分析
02
矩阵的三角分解
三角分解是一种将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵之和的方法，这种方法在解决线性方程组、计算行列式和求逆矩阵等问题中有着广泛的应用。
矩阵的QR分解
QR分解是一种将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵之积的方法，这种方法在解决最小二乘问题、求解线性方程组和计算矩阵的范数等问题中有着重要的应用。
神经网络是一种模拟人脑神经元结构的计算模型，由多个神经元组成，用于处理复杂的数据模式。参数矩阵在神经网络中起到传递信息的作用，通过调整参数矩阵的值，可以训练神经网络以适应不同的任务和数据集。参数矩阵的学习和优化是神经网络训练过程中的核心步骤。
课程总结与展望
06
矩阵基本概念：矩阵作为线性代数中的基本概念，是解决实际问题的有力工具。课程中详细介绍了矩阵的定义、性质以及矩阵的运算规则，如矩阵加法、数乘、乘法等。
矩阵的范数
线性方程组与矩阵
03
高斯消元法是一种求解线性方程组的直接方法，通过消元和回代步骤求解方程组。
高斯消元法的基本思想是将增广矩阵通过行变换化为阶梯形矩阵，然后回代求解未知数。在每一步消元过程中，通过将某一行的倍数加到其他行上，使得当前未知数的系数变为0，从而简化方程组。
总结词
详细描述
总结词
大数据与矩阵分析
在大数据时代，如何有效地处理和分析大规模数据成为亟需解决的问题。矩阵分析作为处理线性代数问题的有力工具，未来可以进一步研究如何将其应用于大数据处理和分析中。
数值计算与矩阵分析
数值计算是解决各种数学问题的重要手段，而矩阵分析作为数值计算的基础，其重要性不言而喻。未来可以进一步研究如何提高矩阵分析的数值计算精度和效率，以满足各种复杂数学问题的求解需求。
矩阵分析
02
矩阵的三角分解
三角分解是一种将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵之和的方法，这种方法在解决线性方程组、计算行列式和求逆矩阵等问题中有着广泛的应用。
矩阵的QR分解
QR分解是一种将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵之积的方法，这种方法在解决最小二乘问题、求解线性方程组和计算矩阵的范数等问题中有着重要的应用。
神经网络是一种模拟人脑神经元结构的计算模型，由多个神经元组成，用于处理复杂的数据模式。参数矩阵在神经网络中起到传递信息的作用，通过调整参数矩阵的值，可以训练神经网络以适应不同的任务和数据集。参数矩阵的学习和优化是神经网络训练过程中的核心步骤。
课程总结与展望
06
矩阵基本概念：矩阵作为线性代数中的基本概念，是解决实际问题的有力工具。课程中详细介绍了矩阵的定义、性质以及矩阵的运算规则，如矩阵加法、数乘、乘法等。
矩阵的范数
线性方程组与矩阵
03
高斯消元法是一种求解线性方程组的直接方法，通过消元和回代步骤求解方程组。
高斯消元法的基本思想是将增广矩阵通过行变换化为阶梯形矩阵，然后回代求解未知数。在每一步消元过程中，通过将某一行的倍数加到其他行上，使得当前未知数的系数变为0，从而简化方程组。
总结词
详细描述
总结词
大数据与矩阵分析
在大数据时代，如何有效地处理和分析大规模数据成为亟需解决的问题。矩阵分析作为处理线性代数问题的有力工具，未来可以进一步研究如何将其应用于大数据处理和分析中。
数值计算与矩阵分析
数值计算是解决各种数学问题的重要手段，而矩阵分析作为数值计算的基础，其重要性不言而喻。未来可以进一步研究如何提高矩阵分析的数值计算精度和效率，以满足各种复杂数学问题的求解需求。
矩阵分析与应用教学介绍PPT课件
第1页/共7页
需要上课么?
数学学得好的基本都是自学 的
• 认知学上所谓“悟”和练，佛家所 谓的“修”;
悟有感悟，体悟,顿悟；
修有“修养、修炼”
悟需要天份，机遇;
修只要勤奋，刻苦,所以人人可 以做到。
• 有天份的人可以不上;
谁应该上课?
• 没有天份的应该上, 上课教学的目标就是主要针对那些没有天份只
考查矩阵理论学好与否的标志之一:
你能否提出一个有意义的关于矩阵的问题？不管
你能否解决它？你如何想到这个问题的，问题的
背景是什么？
怎么分析的，考虑解决问题的
出发点在哪里？解决问题的难点在哪里？
基• 本计算计方算法设计的原理是什么？
• 矩阵计算的推导过程是学习矩阵分析应该掌握的 基本技术，考察矩阵计算是否过关的标志之一。
第5页/共7页
向后误差分析法
真实的场景
假设的场景
计算机字长有限，输入数据x 精确， 计算过程由于截断误差影响不精确， 因此输出结果有误差；
用函数映射的语言就是：xf(x) (x精确， f()不能精确实现)
误差f(x)- f (x)分析很困难; 例如:
Ax=b ; x’=f(A,b)。
• 计算机计算过程精确(函数f())精 确， 但是输入x有误差，
• 用函数映射的语言就是： • 求x，使得f (x)= f(x); • 向后误差分析的方法
就是在此假设下分析 | f(x) - f(x)|
• 从而重点在于分析误差x-x。 • Ax=b,x’=(A+△A)\(b+△b)
第6页/共7页
感谢观看！
第7页/共7页
通过课后练习和复习掌握，定理证明我们主要分析证明思路(为什么这样 证明)，证明细节留给大家)。
需要上课么?
数学学得好的基本都是自学 的
• 认知学上所谓“悟”和练，佛家所 谓的“修”;
悟有感悟，体悟,顿悟；
修有“修养、修炼”
悟需要天份，机遇;
修只要勤奋，刻苦,所以人人可 以做到。
• 有天份的人可以不上;
谁应该上课?
• 没有天份的应该上, 上课教学的目标就是主要针对那些没有天份只
考查矩阵理论学好与否的标志之一:
你能否提出一个有意义的关于矩阵的问题？不管
你能否解决它？你如何想到这个问题的，问题的
背景是什么？
怎么分析的，考虑解决问题的
出发点在哪里？解决问题的难点在哪里？
基• 本计算计方算法设计的原理是什么？
• 矩阵计算的推导过程是学习矩阵分析应该掌握的 基本技术，考察矩阵计算是否过关的标志之一。
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向后误差分析法
真实的场景
假设的场景
计算机字长有限，输入数据x 精确， 计算过程由于截断误差影响不精确， 因此输出结果有误差；
用函数映射的语言就是：xf(x) (x精确， f()不能精确实现)
误差f(x)- f (x)分析很困难; 例如:
Ax=b ; x’=f(A,b)。
• 计算机计算过程精确(函数f())精 确， 但是输入x有误差，
• 用函数映射的语言就是： • 求x，使得f (x)= f(x); • 向后误差分析的方法
就是在此假设下分析 | f(x) - f(x)|
• 从而重点在于分析误差x-x。 • Ax=b,x’=(A+△A)\(b+△b)
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感谢观看！
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通过课后练习和复习掌握，定理证明我们主要分析证明思路(为什么这样 证明)，证明细节留给大家)。
第一章(第一二节)矩阵的概念及基本运算PPT课件
没有得到老一辈数学家们的重视。如：他曾五次将一篇
代 “五次方程不能由公式给出其解”的论文寄给在格廷根的
高斯，但都没有得到回音。由于他的不断出外求学，致使
数 经济状况十分糟糕，最后只得回到自己的故乡—挪威。没
过多久，他就在忧郁中结束了自己年仅27岁的短暂生命。
就在他死后的第三天，他的朋友通知他，他已被柏林大学
代 们称之为维是 m×n 的矩阵，简称为 m×n 矩阵，简记为
。其表[ a示ij ]形m 式n （通式）为：
数
a11 a12 a1n
a
21
a 22
a2n
a m1 a m 2 a mn 7
一、矩阵的定义
a11 a12 a1n
a
21
a 22
a2n
线
a m1 a m 2 a mn
线 们满足
(1)m = p 且n = q；
性 (2)aij=bij，其中i=1,2,…,m；j=1,2,…,n。
代
则称A与B相等，记为A=B。
数
即： A 与B 两个矩阵的维和相对应的
元均一一对应相等。
24
二、矩阵的和
定义 设A=[aij]m×n ，B=[bij]m×n ，令C= [aij+ bij]m×n , 称矩
22 35 31 21
14 61 14 45
数
49 55 45 62
5
6
59
67
a21=2； a22=12； a23=24； a31=3； a32=11； a33=27。
9
试问： 6 3 1
332
B= 8 4 3 C= 4 7 分别是否为矩阵？
线
952
3 6 1 为什么？
《矩阵分析》PPT课件
握时机，以寻求更大的发展。
2.抑制性（机会+劣势）
抑制性意味着妨碍、阻止、影响与控制。当环境提
供的机会与企业内部资源优势不相适合，或者不能相互
重叠时，企业的优势再大也将得不到发挥。在这种情形
下，企业就需要提供和追加某种资源，以促进内部资源
劣势向优势方面转化，从而迎合或适应外部机会。
3.脆弱性（优势+威胁）
（2）现金牛产品（cash cow）， 又称厚利产品。它是指处于低增 长率、高市场占有率象限内的产 品群，已进入成熟期。其财务特 点是销售量大，产品利润率高、 负债比率低，可以为企业提供资 金，而且由于增长率低，也无需 增大投资。因而成为企业回收资 金，支持其它产品，尤其明星产 品投资的后盾。收获战略；适合 于事业部制组织结构；选拔市场 营销型人物来负责。
说明 相对市场份额
以公司在某个领域的市场份额除以该领域最大竞争对手的 市场份额
通常以1.0把相对市场份额分为高低两部分。
市场增长率
可以用经济增长率作为标准，或者用10%。
圆圈反映了一个领域的份额和增长情况，面积反映了企业 从这个领域得到的销售收入占全部收入的比例。
各象限产品的定义及战略对 策 （1）明星类产品 增长较快速，略显资金不足； 一般水平的利润率和负债比 率。 扩大投资战略；采用事业部 形式的组织结构；选拔对生 产技术和销售都很内行的人 负责 。
缺乏具有竞争意义的技能技术。
缺乏有竞争力的有形资产、无形资产、人力资源、组织 资产。
关键领域里的竞争能力正在丧失。
机会 公司面临的潜在机会（O）：潜在的发展机会可能是： 客户群的扩大趋势或产品细分市场。
技能技术向新产品新业务转移，为更大客户群服务。
前向或后向整合。 市场进入壁垒降低。 获得购并竞争对手的能力。 市场需求增长强劲，可快速扩张。 出现向其他地理区域扩张，扩大市场份额的机会。
矩阵理论课程介绍.ppt
、数乘.
轾犏犏犏犏犏犏犏臌xxxMn21
每个分量是实 数
处理器：m xn矩阵 骣 çççççççç桫aamM111
L M L
a1n M
am 3
÷÷÷÷÷÷÷÷÷
每个分量是实 数
本科线性代数
研究：由n维实矢量组成的欧式空间和其上的变换/映 射。
矩阵理论
处理对象：线性空间（欧式空间、多项式、函数、实 数、复数、矩阵等）
主要内容
矩阵理论和本科线性代数有什么区别？ 为什么电气工程（EE）需要矩阵理论？ 课程安排 本科线性代数的回顾
本科线性代数
处理系统(DSP/控制器/电路)
轾犏x 1 犏犏x 2 犏犏M 犏犏臌x n
骣 çççççççç桫aamM111
L M L
a1n M
am 3
÷÷÷÷÷÷÷÷÷
轾犏犏犏犏犏犏犏臌yyyMn21
输入
输出
将向量理解为被处理的对象
例如：信号、控制量/被控制量、参数向量等
将矩阵理解为处理装置
例如：数字信号处理器、线性控制器、图像降噪算法、线 性电路等
矩阵有多少列，输入就有多少分量，矩阵有多少行， 输出就有多少分量。
本科线性代数
处理对象：n维向量（欧式空间中），代数运算：加
参考书籍
教材：刘西奎，矩阵分 析讲义，2006.
参考书：
刘丁酉. 矩阵分析. 武汉大 学出版社, 武汉, 2003.
董增福. 矩阵分析教程. 哈 尔滨工业大学出版社. 哈 尔滨, 2005.
张明淳. 工程矩阵理论. 东 南大学出版社. 1999。
参考书籍
David, C. Lay. Linear Algebra and Its Applications (3rd). 电子工业出版社. 2004 (中文版、英文版)
矩阵论课件
P 是数域， 若 n是正整数， 则系数属于 P 而未知元为 x 的
所有次数不超过 n 的多项式的集合，此集合连同零多 项式在内按通常多项式的加法及数与多项式的乘法， 构成数域 P 上的一个线性空间全体记作： Pn [ x ].
4 December 2014 河北科技大学
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, t 可以由1 , 2 ,
, s 线性表
, t 线性相关.
推论1 若 1 , 2 ,
, t 可 以 由 1 , 2 ,
, s 线 性 表 示 ， 且
1 , 2 , , t 线性无关，则 t s .
推论2 若 1 , 2 ,
, t 与 1 , 2 , , s 等 价 ，且 均 线性 无
实数域 R 上的线性空间简称为实线性空间； 复数域 C 上的线性空间简称为复线性空间.
下面看几个线性空间的例子.
4 December 2014
河北科技大学
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矩阵论
例1 若 P= 是数域，V 是分量属于 P= 的 n元有序数组的集合
V a1 , a2 ,
, an | ai P，i 1, 2,
矩阵论
例4 所有定义在区间 a , b a t b 上的实值连续
函数全体构成的集合， 按照函数的加法及数与函数 的数量乘法，构成实数域 R 上的一个线性空间，记 作： R a , b .
例5 实（复）系数齐次线性方程组 Ax 0（ A R mn
或 C mn ； x R n 或 C n ；行向量和列向量不做区别） 的解空间 S 构成 R 或C 上的一个线性空间.
才成立，称 x1 , x2 ,
矩阵论简明教程整理全PPT课件
k
ei
e
H j
E ei , ej , k
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Remark
det E u,v, det In uvH det 1 vHu
1 vHu (由n Im AB m In BA 得到）
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四、其他特殊矩阵
1幂零矩阵：Ak 0, k : 某正整数; 2幂等矩阵：A2 A; 3 实对称正定矩阵：
a a jn 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2 jn
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二、块矩阵的行列式
1、设A Cmm , B Cmn , C Cnm , D Cnn , 则
1 A
0A
BA
0 AD
0D 0D CD
2 A B 1mn C D 1mn B A
CD
AB
DC
3 A B m A B
minrank A, rank B
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推论1
设ACmn , B Cnk ,且AB 0,则
rank A rank B n
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§1.4 特殊矩阵
一、 几类基本的特殊矩阵
1、零矩阵，单位矩阵 2、对角矩阵
a11
D
a22
diag
a11
,
a22
,
ann
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§2.1 矩阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量 1、定义 定义1
设ACnn ,若存在数 C和x Cn , x 0使得 Ax x
则称是A的特征值，x称为A属于的特征向量。
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2、特征多项式 定义2
设ACnn , 称In A为A的特征矩阵，称detIn A 为A的特征多项式,称detIn A 0为A的特征方程。
《矩阵分析》课件
行列式的计算方法
代数余子式法
01
利用代数余子式展开行列式，将行列式化为三角形或对角线形
式，从而简化计算。
递推法
02
根据行列式的性质和展开定理，利用递推关系式计算行列式的
值。
公式法
03
对于一些特殊的行列式，可以利用已知的公式直接计算其值。
如三阶行列式公式、范德蒙德公式等。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
逆矩阵的求法
高斯-约当消元法是求逆矩阵的一种常用方法，通过一系列行 变换将矩阵变为单位矩阵，其伴随矩阵即为所求的逆矩阵。
行列式的定义与性质
行列式的定义
n阶方阵A的行列式记为det(A)或|A|， 是一个标量，其值是所有n阶排列的 代数和，每个排列对应一个二项式系 数。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换 律、结合律、分配律等。此外，行列 式的值也可以通过对角线元素、主子 式、余子式等计算得到。
04
矩阵的特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义与性质
特征值
对于给定的矩阵A，如果存在一个标量λ和相应的非零向量v，使得A×v=λ×v成立，则称λ为矩阵A的特征值，v为 矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
特征向量的性质
特征向量与特征值是对应的，不同的特征值对应的特征向量是线性无关的，特征向量与特征值之间满足特定的关 系式。
高斯消元法
通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
迭代法
通过迭代的方式逼近方程组的解，常 用的方法有雅可比迭代法和SOR方法 等。
共轭梯度法
一种用于求解大规模稀疏线性方程组 的方法，通过迭代寻找方程组的解。
最小二乘法
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定义5 . 1（P. 109）Vn（F）上的实值函数•： Vn（F） R+ ，满足
1. 正定性： x 0， x =0 x=0。
2. 齐次性： k F， kx = k x
3. 三角不等式： x+y x + y
则• 为Vn（F）上的范数，[Vn（F）；• ] 是 1
赋范空间。
2、Cn空间常用的范数
• Cn空间，Höld 范数（p-
x p
范数）
n i1
xi
p p
p-范数的特例：
n
. P=1
x 1
xi
. P=2
i 1
. P=
x max{ xi }
1in
n
x 2
xi 2
i 1
范数不等式及相关概念：
x + y x –y ; x - y x –y
距 离：d（x，y）=x – y
1. 定义：A的谱{1， 2， … ， s} ，则谱半径 （A）=max{ i }
2 谱半径的性质： 1. 定理5.6：A C n×n ， 范数A ，（A） A 。 2. 定理5.7 ， A*， A* （A）+
含义：谱半径是任何矩阵范数的下确界。（下界中最大的）
例 1 如果是正规矩阵，则 （A）= A 2
第5章、 矩阵分析
讨论：矩阵函数的分析性质
函数的定义 函数的计算 函数的分析性质：连续、微分、积分等
定义矩阵函数的思想：
用幂级数定义矩阵函数 需要的背景概念：幂级数序列与收敛性质
本章的结构
向量范数与矩阵范数 向量序列和矩阵序列的收敛 矩阵幂级数 矩阵函数
§5.1 向量的范数
一、向量范数的概念
1、赋范空间
定理5.3： 设 x 是向量范数，则由 x 诱导的
矩阵范数：
Ax
A max { x0
x
}
例题1 范数诱导的矩阵范数：
n
A 1 max{ aij }
j
i 1
列和范数
n
A max{ aij }
i
j 1
行和范数
谱范数
A 2
max
1 0 2 i
例题2
设
A
3
5
0
,求
A
1
1 2 1
§ 5 . 3 向量序列和矩阵序列的极限
二、矩阵的幂级数
1. 定义及其收敛性：
矩阵幂级数：a0 I+a1A+a2A2+ +akAk +
前项和构成矩阵多项式序列
n
Sn(A) ak Ak
k0
Sn(A)
akAk； lni m Sn(A)S
k0
akAkS
k0
2. 收敛性的判别方法
1. 收敛性分析: 2. 定理5.8
例题1、 （P . 108 eg8）讨论 Ak 的收敛性，
在收敛时求和矩阵。
k 0
0.2 0.1 0.2
例题2、设 A 0.5 0.5 0.4 ，讨论 Ak
的收敛性。 0.1 0.3 0.2
k 0
例题3 、 证明 级数
k2 k 0 10k
1 8
2k 1
收敛
例题4 设
的收敛性。
1
A
0
0
2 1 0
2 1
，讨论
1
n2
n1
An
0
{I，A，A2 ， … ，Ak， … ，}
如果对某一矩阵范数 A ，有 A < 1，
证明 lim Ak 0 k
§ 5 . 4 矩阵的幂级数
讨论：方阵A，数列{a i}构成的矩阵幂级数： a 0 I+a1A+a2A 2 + +akA k +
1. 收敛性: 2. 求和方法，由和矩阵作为函数值定义矩阵函数。 一、谱半径
邻域：R（x0，r）={x0 Vn（F），x – x0= r}
例题2、证明对任何矩阵范数A ，
1. I 1
2. A n题3 设矩阵A酉相似与B，则 A F = B F 二、诱导范数：
1、矩阵范数与向量范数的相容性
定义5.4 （P. 114） ： Ax A x
一、C n中向量序列的收敛性
1. 按分量收敛: 2. 按范数收敛: 3. 按分量收敛和按范数收敛的关系 定理5.4 （P. 115） C n中一个向量序列按分量收
敛的它按任何一个范数收敛。 二、矩阵序列的收敛性 按元素收敛 按范数收敛 矩阵序列极限的运算。
例题1 设矩阵A构成的矩阵序列 ：