高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎证明

综合法和分析法方法总结

1．当所证结论与所给条件之间的关系不明确时，常采用分析法证明，但更多的时候是综合法与分析法结合起来使用，即先看条件能够提供什么，再看结论成立需要什么，从两头向中间靠拢，逐步接通逻辑思路．

2．用分析法证题是寻求使结论成立的充分条件，不是必要条件，因此各步的寻求用“⇐”，有些步骤也可用“⇔”，但不能用“⇒”，因为是寻求充分条件，不必每步都是“⇔”，证完之后也不能说每步都可逆，只有证明充要条件时，才可以说每步都可逆，或全部都用“⇔”表达．

3．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等．这些方法是综合法和分析法的延续与补充．

1．“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ ”的证明过程：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－

sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”应用了(B)

A ．分析法

B ．综合法

C ．综合法与分析法结合使用

D ．演绎法

解析：这是由已知条件入手利用有关的公式证得等式，应用了综合法，故选B.

2．要证明3＋5＜4，可选择的方法有以下几种，其中最合理的为(B)

A ．综合法

B ．分析法

C ．比较法

D ．归纳法 解析：要证明3＋5<4，只需证明(3＋5)2<16，即8＋215<16，即证明15<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用分析法证明较为合理，故选B.

3．已知a ＞0，b ＞0，m ＝lg a ＋b

2，n ＝lg a ＋b

2，则m 与n 的大小关系为________．

解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝a ＋b ＋2ab 4＞⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22

， 所以a ＋b

2＞a ＋b

2.又因为y ＝lg x 为增函数，所以有m ＞n .

答案：m ＞n

4．如图，长方形ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝1，

AD ＝2，E 是BC 的中点．

(1)求证：直线BB1∥平面D1DE；

(2)求证：平面A1AE⊥平面D1DE；

(1)证明：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥DD1，

又∵BB1⊄平面D1DE，

DD1⊂平面D1DE，

∴直线BB1∥平面D1DE.

(2)证明：在长方形ABCD中，

∵AB＝AA1＝1，

AD＝2，

∴AE＝DE＝ 2.

∴AE2＋DE2＝4＝AD2，

故AE⊥DE.

∵在长方体ABCD­A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，AE⊂平面ACBD，∴DD1⊥AE.

又∵DD1∩DE＝D，

∴直线AE⊥平面D1DE.

而AE⊂平面A1AE，

所以平面A1AE⊥平面D1DE.