高考数学集合总复习-空间几何体、三视图和直观图自主梳理

空间几何体、三视图和直观图自主梳理

1．(1)平行 平行 长度相等 全等 (2)公共顶点

(3)平行于棱锥底面 相似 2.(1)一边所在直线 (2)一条直角边所在直线 (3)垂直于底边的腰所在直线 (4)直径 3.正视图 侧视图 俯视图 4.斜二测 (1)45°(或135°) (2)x′轴、y′轴 (3)不变 原来的一半 (4)不变

自我检测

1．D [在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．]

2．D [A ，B 的正视图不符合要求，C 的俯视图显然不符合要求，答案选D .] 3．A [∵原几何体是正三棱柱，且AE 在平面EG 中， ∴在侧视图中，AE 应为竖直的．]

4．D [由AA′∥BB′∥CC′及CC′⊥平面ABC ，知BB′⊥平面ABC.又CC′＝3

2

BB′，

且△ABC 为正三角形，故正视图应为D 中的图形．]

5．A [底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的两个相等的矩形，因此②正确；当圆柱侧放时(即侧视图为圆时)，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．]

课堂活动区

例1 解题导引 解决这种判断题的关键是：①准确理解棱柱、棱锥、棱台的概念；②正确运用平行、垂直的判定及性质定理进行判断，整体把握立体几何知识．

③④⑤⑥ 解析

①错误，因为棱柱的底面不一定是正多边形，故侧面不一定都全等；②错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台；③正确，因为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；④正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；⑤正确，如图所示，正方体AC 1中的四棱锥C 1—ABC ，四个面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知．因此，正确命题的序号是③④⑤⑥.

变式迁移1 D [

A 错误．如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．

B 错误．如下图，若△AB

C 不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．

C 错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．

D 正确．]

例2 解题导引 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．解决此类问题的关键是弄清三视图“长、宽、高”的关系．

C [当俯视图为A 中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B

中圆时，几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，体积为π

4

；当俯视图为C 中三角形时，几

何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为1

2

；当俯视图为D

中扇形时，几何体为圆柱的14，且体积为π

4

.]

变式迁移2 D [由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形，故应选D .]

例3 解题导引 本题是已知直观图，探求原平面图形，考查逆向思维能力．要熟悉运用斜二测画法画水平放置的直观图的基本规则，注意直观图中的线段、角与原图中的对应线段、角的关系．

A [按照斜二测画法的作图规则，对四个选项逐一验证，可知只有选项A 符合题意．] 变式迁移3

B [根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x 轴上(或与x 轴平行)的线段，其长度保持不变；在y 轴上(或与y 轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且∠x′O′y′＝45°(或135°)，所以，若设原平面图形的面积为S ，则其直观图的面

积为S′＝12·22·S＝2

4S.可以得出一个平面图形的面积S 与它的直观图的面积S′之间

的关系是S′＝24S ，本题中直观图的面积为a 2，所以原平面四边形的面积S ＝a 2

2

4

＝22a 2

.]

课后练习区

1．C

2．D [斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶

24，则易知24S ＝34

(2a)2，∴S＝6a 2

.]

3．D [由给出的三视图可以得知该正三棱柱的高等于正视图和侧视图的高为 3 cm ，

若设该正三棱柱的底面边长为a cm ，则有32a ＝2，所以a ＝43

3，故该正三棱柱的体积为V

＝12·32·⎝ ⎛⎭

⎪⎫4332·3＝4 (cm 3

)．] 4．C [

由三视图知该几何体为一正四棱锥，记为S —ABCD ，如图，其中AB

＝2，△SCD 中CD 上

的高为2，即SE ＝2，设S 在底面上的射影为O ，在Rt △SOE 中，SO ＝SE 2－OE 2

，

∴SO＝22－12

＝3.∴V＝13

S ABCD ×SO

＝13×4×3＝433

.] 5．B [可以把该几何体形象为一长方体AC 1，

设AC 1＝a ，则由题意知A 1C 1＝AB 1＝BC 1＝2，设长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则x 2＋y 2＝2，y 2＋z 2＝2，z 2＋x 2＝2，三式相加得2(x 2＋y 2＋z 2)＝2a 2

＝6.

∴a＝ 3.] 6．4

解析 由三视图可知该几何体是一个三棱锥，其底面是一个直角边长分别是5和6的直

角三角形，几何体的高为h ，则该几何体的体积V ＝13·1

2

·5·6·h＝20.

∴h＝4.

7.616

a 2

解析 如图

A′B′＝AB ＝a ，O′C′＝12OC ＝3

4

a ，

过点C′作C′D′⊥A′B′于点D′，

则C′D′＝22O′C′＝6

8a ，

所以S △A‘B ’‘′＝12A′B′·C′D′＝

616a 2

. 8.

6

4a 解析

如图所示，设正四面体ABCD 接于球O ，由D 点向底面ABC 作垂线，垂足为H ，连接AH ，OA ，

则可求得AH ＝3

3

a ，

DH ＝

a 2

－⎝

⎛⎭

⎪⎫33a 2

＝6a 3， 在Rt △AOH 中，⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2＝R 2

，