三个正数的算术-几何平均不等式概论

(x
0)的最小值是（
C）
A、6 B、6 6 C、9
D、12
解析：y
3x
12 x2
3x 2
3x 2
12 x2
3x 3x 12 33 2 2 x2 9
当且仅当3x 2
12 x2
即x 3时上式取等号 ymin 9
构造三个数之积为定值.
变式训练：
2、函数y
4x2
16 (x2 1)2
的最小值是
x
a
解：设切去的正方形边长为x，无盖方底
盒子的容积为V，则
V (a 2 x)2 x 1 (a 2x)(a 2x) 4x
4
1 4
(a
2x)
(a 3
当且仅当a 2x a
2x)
4x
3
2a 3 27
2x 4x即当
x
a
6
时，不等式取等号，此时Ｖ取最大值 2a3 ．
27
即当切去的小正方形边长是原来正方形边
当且仅当a b c时,等号成立.
(2)a b c为定值时 abc ( a b c )3 3
当且仅当a b c时,等号成立.
推广：n个正数的算术-几何平均不等式
如果 a1, a2 , , an R , n 1且n N* 则：
a1 a2
a3 n
an
n
a1a2a3 an ,
长的 1 时，盒子的容积最大．
6
变式训练：
1、函数y x4(2 x2 )(0 x 2)的最大值是
（ D） A、0 B、1
C、1267
32
D、27
构造三个数之和为定值.
2、若a, b R且a b,则a 1 _3_ (a b)b
这节课我们学到了什么？
1、三个正数的算术几何不等式： a b c 3 abc 3
选修4-5 衡阳县六中 彭贤华
定理（1 重要不等式）：如果a,b R，那么 a2 b2 2ab,当且仅当a b时，等号成立
定理（2 基本不等式）：如果a, b 0，那么 a b ab,当且仅当a b时，等号成立
2
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均
类比两个正数的算术平均和几何平均的关 系，我们猜想三个正数的算术平均和几何平均 之间有什么关系？
_8__
解析：
y
4x2
(
16 x2 1)2
（2 x2 1） （2 x2 1）
16
4
(x2 1)2
33
（2 x2
1）（2 x2
1） (
x
16 2 1)
2
48
当且仅当（2 x2
1）
16 (x2 1)2
时，即x
1时上式取等号
ymin 8
例2 如下图，把一块边长是a的正方形铁 片的各角切去大小相同的小正方形，再把 它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒 子,问切去的正方形边长是多少时，才能使 盒子的容积最大？
三个正数a, b, c的算术平均数：a b c 3
三个正数a,b,c的几何平均数：3 abc
猜 想 ：a b c 3 abc 3
证明 : 若a, b,c R ,则a3 b3 c3 3abc, 当且仅当a b c时,等号成立.
和的立方公式：
( x y)3 x3 3x2 y 3xy2 y3
当且仅当a1 a2 a3 an时, 等号成立.
a1 a2 an 叫做这n个正数的算术平均数。 n
n a1a2 an叫做ຫໍສະໝຸດ n个正数的几何平均数。n个正数的算术平均不小于它们的几何平均
例１ 求函数 y 2x2 3 ( x 0)的最小值． x
下面解法是否正确？
解法１：由 x 0 知 2x2 0, 3 0 ，则
2x 2x 2
当且仅当2x2 3 即x 3 3时，上式取等号
2x
4
ymin 33
9 2
33 2
36
三相等
小结：利用三个正实数的基本不等式求最 值时注意：
1、一正、二定、三相等；
2、不能直接利用定理时，注意拆项、配项凑定 值的技巧（拆项时常拆成两个相同项）。
变式训练：
1、函数y
3x
12 x2
2、n个正数的算术几何不等式：
a1 a2
a3 an n
n
a1a2a3 an
3、利用基本不等式求某些函数的最值时“一正二定三 相等”这三个条件缺一不可；
4、不能直接利用定理时，要善于转化变形，通过变 形达到化归的目的；
习题1.1 第12、14题
x
y 2x2 3 2 2x2 3 2 6x
x
x
不满足积定
当且仅当 2x2
3 即x 3 x
3时, 2
ymin
2
63 3 23 18 2
例１ 求函数 y 2x2 3 ( x 0) 的最小值．
x
下面解法是否正确？
解法2： y 2x2 3 2x2 1 2
x
xx
x 0,2x2 0, 1 0, 2 0 xx
y 33 2x2 1 2 33 4 xx
等号不成立
ymin 33 4
例 １ 求函数 y 2x2 3 ( x 0)的最小值．
x
解法3： y 2x2 3 2x2 3 3
x
2x 2x
x 0
2x2 0, 3 0, 2x
y 33 2x2 3 3 33 9
一正 二定
立方和公式：
x3 y3 ( x y)( x2 xy y2 )
三个正数的算术-几何不等式
定理3 若a,b.c R , 那么 a b c 3 abc,
3 当且仅当a b c时，等号成立。
三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
推论: (1)abc为定值时 a b c 33 abc