行列式的性质

教学单元教案设计

教学单元讲稿

一、复习提问与上次课作业典型问题答疑 1. 二、三阶行列式的定义及计算法则

2. n 阶行列式的定义，并讲解P23 T1(1)(2) P23 T2 T3 二、教学单元名称

第三节 行列式的性质 三、课程导入

复习导入

四、分析思路

首先给出对换的概念及对换如何改变排列的奇偶性，再推导出出行列式的6条性质，最后通过讲解几个例题让学生掌握行列式的性

质。

五、讲授内容

第三节 行列式的性质

对换

对换的定义：在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换．

将相邻两个元素对调,叫做相邻对换． 例：b b b a a a l 11 ——b b a b a a l 11.

定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性. 推论

奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.

证明 ： 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立

定理2 ：n 阶行列式为：

.)1(211

2123

2221

13

12112

1

n p p p t n n n n

a a a a a a a a a a a a -∑=

其中t 为n p p p 21的逆序数.

（以4阶行列式为例,对证明过程作以说明） （补充）定理3 n 阶行列式也可定义为

.)1(1

2

121

11

2123

2221

13

1211n q p q p q p t n n n n a a a a a a a a a a a a -∑=

其中n p p p 21和 n q q q 21是两个n 级排列,t 为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.

练习：试判断655642312314a a a a a a 和662551144332a a a a a a -是否都是六阶行列式中的项.

行列式的性质

转置行列式的定义

记 nn n n n

n

a a a a a a a a a D 21

22221

12111

=

T D =nn

n n n n a a a a a a a a a 21222121

2111

(D ')

行列式T D 称为行列式D 的转置行列式（依次将行换成列）

一、n 阶行列式的性质

性质 1： 行列式与它的转置行列式相等.

由此知，行与列具有同等地位.关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然. 如: d

c b a

D = d

b c

a D T

=

以r i 表示第i 行，j c 表示第j 列.交换j i ,两行记为i j r r ↔,交换

i,j 两列记

作i j c c ↔.

性质 2： 行列式互换两行（列），行列式变号.

推论： 行列式有两行（列）相同，则此行列式为零.

性质 3： 行列式的某一行（列）的所有元素乘以数 k ,等于用数k 乘以该行列式.

推论： 行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外.

性质 4： 行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零.

性质 5： 若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.

即若 ()()nn ni

ni n n n i i n i i a a a a a a a a a a a a a a a D '+'+'+=

2

1

22

2222111

11211

)(

则 nn ni n n n i n

i a a a a a a a a a a a a D

21222221111211=

+nn

ni

n n n

i n i a a a a a a a a a a a a '''2

1

2222

21

111211

. 性质 6： 把行列式某一行（列）的元素乘以数k 再加到另一行（列）上，则该行列式不变.

二、n 阶行列式的计算：

例1. 计算2

1

6

4

72954

1732152

-----=

D .

解： 2

1

6

4

72954

1732

152-----=

D 3

1c c ↔==2

4

6

1

75924

3712

251

------

1

21

4132r r r r r r +--=0

2

1

31106

120225

1----

4

24

32r r r r ++=0

2

10330063002

25

1---42r r ↔==93

00

030002102251-=--.