第一章线性规划及单纯形法习题

第一章 线性规划及单纯形法习题

1.用图解法求解下列线性规划问题,并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解还是无可行解。

（1）⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥+≥++=0,42266432min 2121212

1x x x x x x x x z (2) ⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥+≥++=0,12432

223max 2

121212

1x x x x x x x x

(3) ⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤≤≤≤++=8

3105120

106max 21212

1x x x x x x z (4)

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤+-≥-+=0,2322

265max 1

2212121x x x x x x x x z 2.将下列线性规划问题化成标准形式。

(1)⎪⎪⎩⎪⎪

⎨

⎧≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束

43214321432143214321,0,,2321422

245243min x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z (2) ⎪⎪⎩⎪⎪

⎨

⎧≥≤≥-++-≤-+-=++-+-=无约束

32143213213213

21,0,023*******min x x x x x x x x x x x x x x x x z

3.对下列线性规划问题找出所有基本解，指出哪些是基可行解，并确定最优解。

(1) ⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧=≥=-=+-+=+++++=)6,,1(0231024893631223min 61432143213

21 j x x x x x x x x x x x x x x z j (2)

⎪⎩⎪

⎨⎧=≥=+++=+++++-=)4,,1(0102227

4322325min 432143214321 j x x x x x x x x x x x x x z j

4.分别用图解发法和单纯形法求解下述问题，并对照单纯形表中的各基本可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。

(1) ⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤+≤++=0,825943510max 1

221212

1x x x x x x x x z (2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,242615

532max 1

221212

1x x x x x x x x z

/

5.上题（1）中，若目标函数变为21m ax dx cx z +=，讨论c,d 的值如何变化，

使该问题可行域的每一顶点依次使目标函数达到最优。 6.考虑下述线性规划问题：

⎪

⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0

,max 122221212121112

1x x b x a x a b

x a x a dx cx z

式中311≤≤c ,642≤≤c , 3111≤≤-a ,5212≤≤a ,1281≤≤b ,

5221≤≤a ,6422≤≤a ,14102≤≤b ，试确定目标函数最优值的下界和上

界。

7.分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类解。

(1) ⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧=≥≥-≥+-≥+++-=)3,2,1(0022

2622max 32313213

21j x x x x x x x x x x x z j (2) ⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥+≥++++=0,,62382432min 3

21213213

21x x x x x x x x x x x z

(3) ⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧=≥=++=-+=++=)4,,1(042634334min 421321212

1 j x x x x x x x x x x x z j (4)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧=≥≥++≤++-≤++++=)3,,1(0521515659

35121510max 321321321321 j x x x x x x x x x x x x x z j

8.已知某线性规划问题的初始单纯形表和单纯形法迭代后得到的表

1-1，试求括号中未知数a ～l 的值。

表1-1

9.若)2()

1(,X X

均为某线性规划问题的最优解，证明在两点连线上的所

有点也是该问题的最优解。

10. 线性规划问题max z=CX ，AX=b ，X ≥0，设0X 为问题的最优解。若目标函数中用C *代替C 后，问题的最优解变为*

X ，求证:

(C *-C)( X *- X 0)≥0

11. 考虑线性规划问题

⎪⎩⎪

⎨⎧=≥+=-+-+=-+-++=)4,,1(0)

(7522)(242max 43214214321 j x ii x x x x i x x x x x x x z j

ββα

（

模型中βα,,为参数，要求：

(1)组成两个新的约束),()()('

ii i i +=根据,)(,)('

'

ii i 以x 1，x 2为基变量，列出初始单纯形表；

(2)在表中，假定0=β,则α为何值时，x 1，x 2为问题的最优基；

(3)在表中，假定3=α,则β为何值时，x 1，x 2为问题的最优基。

12. 线性规划问题max z=CX ，AX=b ，X ≥0，如X ·是该问题的最优解，又且>0为某一常数，分别讨论下列情况时最优解的变化。

(1)目标函数变为maxz ＝λCX ； (2)目标函数变为max2＝(C+λ)X ；

(3)目标函数变为maxz λ

C

=

x ，约束条件变为AX=b λ