第一章线性规划及单纯形法习题

第一章 线性规划及单纯形法习题
1.用图解法求解下列线性规划问题,并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解还是无可行解。

（1）⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥+≥++=0,42266432min 2121212
1x x x x x x x x z (2) ⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥+≥++=0,12432
223max 2
121212
1x x x x x x x x
(3) ⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≤≤≤++=8
3105120
106max 21212
1x x x x x x z (4)
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤+-≥-+=0,2322
265max 1
2212121x x x x x x x x z 2.将下列线性规划问题化成标准形式。

(1)⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束
43214321432143214321,0,,2321422
245243min x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z (2) ⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧≥≤≥-++-≤-+-=++-+-=无约束
32143213213213
21,0,023*******min x x x x x x x x x x x x x x x x z
3.对下列线性规划问题找出所有基本解，指出哪些是基可行解，并确定最优解。

(1) ⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧=≥=-=+-+=+++++=)6,,1(0231024893631223min 61432143213
21 j x x x x x x x x x x x x x x z j (2)
⎪⎩⎪
⎨⎧=≥=+++=+++++-=)4,,1(0102227
4322325min 432143214321 j x x x x x x x x x x x x x z j
4.分别用图解发法和单纯形法求解下述问题，并对照单纯形表中的各基本可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。

(1) ⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤+≤++=0,825943510max 1
221212
1x x x x x x x x z (2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,242615
532max 1
221212
1x x x x x x x x z
/
5.上题（1）中，若目标函数变为21m ax dx cx z +=，讨论c,d 的值如何变化，
使该问题可行域的每一顶点依次使目标函数达到最优。

6.考虑下述线性规划问题：
⎪
⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0
,max 122221212121112
1x x b x a x a b
x a x a dx cx z
式中311≤≤c ,642≤≤c , 3111≤≤-a ,5212≤≤a ,1281≤≤b ,
5221≤≤a ,6422≤≤a ,14102≤≤b ，试确定目标函数最优值的下界和上
界。

7.分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类解。

(1) ⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧=≥≥-≥+-≥+++-=)3,2,1(0022
2622max 32313213
21j x x x x x x x x x x x z j (2) ⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥+≥++++=0,,62382432min 3
21213213
21x x x x x x x x x x x z
(3) ⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧=≥=++=-+=++=)4,,1(042634334min 421321212
1 j x x x x x x x x x x x z j (4)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=≥≥++≤++-≤++++=)3,,1(0521515659
35121510max 321321321321 j x x x x x x x x x x x x x z j
8.已知某线性规划问题的初始单纯形表和单纯形法迭代后得到的表
1-1，试求括号中未知数a ～l 的值。

表1-1
9.若)2()
1(,X X
均为某线性规划问题的最优解，证明在两点连线上的所
有点也是该问题的最优解。

10. 线性规划问题max z=CX ，AX=b ，X ≥0，设0X 为问题的最优解。

若目标函数中用C *代替C 后，问题的最优解变为*
X ，求证:
(C *-C)( X *- X 0)≥0
11. 考虑线性规划问题
⎪⎩⎪
⎨⎧=≥+=-+-+=-+-++=)4,,1(0)
(7522)(242max 43214214321 j x ii x x x x i x x x x x x x z j
ββα
（
模型中βα,,为参数，要求：
(1)组成两个新的约束),()()('
ii i i +=根据,)(,)('
'
ii i 以x 1，x 2为基变量，列出初始单纯形表；
(2)在表中，假定0=β,则α为何值时，x 1，x 2为问题的最优基；
(3)在表中，假定3=α,则β为何值时，x 1，x 2为问题的最优基。

12. 线性规划问题max z=CX ，AX=b ，X ≥0，如X ·是该问题的最优解，又且>0为某一常数，分别讨论下列情况时最优解的变化。

(1)目标函数变为maxz ＝λCX ； (2)目标函数变为max2＝(C+λ)X ；
(3)目标函数变为maxz λ
C
=
x ，约束条件变为AX=b λ
13. 某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素。

现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单价如表1—2所示：
？
要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。

(建立这个问题的线性规划模型，不求解)
14. 某医院护士值班班次、每班工作时间及各班所需护士数如表1-3所示。

每班护士值班开始时向病房报到，试决定：
（1）若护士上班后连续工作8小时。

该医院最少需多少名护士，以满足轮班需要
（2）若除22点上班的护士连续工作8小时外，其他护士由医院排定上1～4班中的两个，则该医院又需多少名护士，以满足轮班需要
15. 一艘货轮分前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许载重量如表1-4所示。

现有三种货物待运，已知有关数据列于表1-5。

表1-4
—
表1-5
又为了航运安全，前、中、后舱的实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。

具体要求：前、后舱分别与中舱之间载重量比例上偏差不超过15％，前、后舱之间不超过10％。

问该货轮应装载A、B、C各多少件运费收入才最大试建立这个问题的线性规划模型。

16.时代服装公司生产一款新的时装，据测今后6个月的需求量如表1－6所示。

每件时装用工2小时和10元的原材料非，售价40元。

该公司1月初又4个工人，每人每月可工作200小时，月薪2000元。

该公司可于任何一个月初新雇工人，但每雇一人需要一次额外支出1500元，也可辞退工人，但每辞退1人需要补偿1000元。

如当月生产数超过需求，可留到后面月份销售，但需付库存每件每月5元。

当供不应求时，短缺数不需要补上。

试帮助该公司决策，如何使6个月的总利润最大。

17．童心玩具厂下一年度的现金流（万元）如表1－7所示，表中负号所示该月现金流出大于流入，为此该厂需借款。

借款有两种方式：一是于上一年末借一年期贷款，一次得全部贷款额，从1月份起每月还息1％，于12月归还本金及最后一次利息；二是得到短期贷款。

每月初获得，于月底还，月息％，当该厂有多余现金时，可短期存款，月初存入，月末取出，月息％。

问该厂应如何进行贷款操作，即能弥补可能出现得负现金流，又可使年末现金总量最大
18. 宏银公司承诺为某建设项目从2003年起得4年中每年初分别提供以下数额贷款：2003年——100万元，2004年——150万元，2005年——120万元，2006年——110万元。

以上贷款均于2002年底筹集齐。

但为了充分发挥这笔资金得作用，在满足每年贷款额得前提下，可将多于资金分别用于下列投资项目：
（1）于2003年初购买A种债券，期限3年，到期后本息合计为投资额得140％，但限购60万元；
（2）于2003年初购买B种债券，期限2，到期后本息合计为投资额得125％限购90万元；
（3）于2004初购买C种债券，期限2，到期后本息合计为投资额得130％，但限购50万元；
（4）于每年年初将任意数额的资金存放于银行，年息4％，于每年底取出。

求宏银公司应如何用这笔筹集到的资金存放于银行，使得2002年底需要筹集到的资金数额为最少。