随机变量及概率

第十九讲概率、随机变量及其分布列

概率、随

机变量及

其分布列

概率几何概型古典概型相互独立事件同时发生的概率

独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率条件概率

随机变

量及分

布列

离散型随机变量及

分布列的概念

离散型随机变量的均值、方差

1．(古典概型)(2013·课标全国卷Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()

A.

1

2 B.

1

3 C.

1

4 D.

1

6

【解析】从1,2,3,4中任取2个不同的数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种情形，而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有(1,3)，(2,4)，(3,1)，(4,2)，共4种情形，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为

4

12＝

1

3.

【答案】 B

2．(数学期望)(2013·广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为

X 12 3

P

3

5

3

10

1

10

则X的数学期望E(X)＝()

A.

3

2B．2 C.

5

2D．3

【解析】E(X)＝1×

3

5＋2×

3

10＋3×

1

10＝

3

2，选A.

【答案】 A

3．(几何概型)(2013·陕西高考) 如图6－2－1，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有

一个通信基战，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )

图6－2－1

A ．1－π

4

B.π2－1 C ．2－π

2

D.π4

【解析】 取面积为测度，则所求概率为P ＝S 图形DEBF

S 矩形ABCD ＝2×1－π×12×14×22×1＝2－

π

22＝1

－π

4

. 【答案】 A

4．(正态分布)已知随机变量ξ～N (u ，σ2)，且P (ξ<1)＝1

2，P (ξ>2)＝p ，则P (0<ξ<1)＝

________.

【解析】 由P (ξ<1)＝1

2可知，此正态分布密度曲线关于直线x ＝1对称，故P (ξ≤0)＝

P (ξ≥2)＝P (ξ>2)＝p ，易得P (0<ξ<1)＝P (ξ<1)－P (ξ≤0)＝1

2

－p .

【答案】 1

2

－p

5．(随机变量的方差)(2013·上海高考)设非零常数d 是等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 19的公差，随机变量ξ等可能地取值x 1，x 2，x 3，…，x 19，则方差Dξ＝________.

【解析】 由等差数列的性质，x ＝S 1919＝x 1＋x 192＝x 10.

∴Dξ＝1

19

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 19－x )2]

＝2

19d 2(12＋22＋32＋…＋92)＝30d 2. 【答案】 30d 2

古典概型与几何概型

(1)(2013·广州质检)从个位数与十位数的数字之和为奇数的两位数中任

取一个，其个位数为0的概率是( )

A.49

B.13

C.29

D.1

9

(2)(2013·湖南高考)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则AD

AB

＝( )

A.12

B.14

C.32

D.7

4

【思路点拨】 (1)按个位数为偶数或奇数分两类，求基本事件总数，找出个位数为0的基本事件数，利用古典概型求其概率．(2)由几何图形的对称性，要使△P AB 中的边AB 是最大边，则点P 在线段P 1P 3上(其中AB ＝BP 1或AB ＝AP 3)，如图所示，由已知概率定点P 1的位置，进而求AD

AB

的值．

【自主解答】 (1)个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必一个奇数一个偶数，所以可以分两类．

①当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数． ②当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．

因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P ＝545＝1

9

.

(2)当△P AB 中边AB 最大，则点P 在线段P 1P 3上(其中AB ＝BP 1或AB ＝AP 3)，如图所示．

又事件发生的概率P ＝P 1P 3CD ＝12，则P 1P 3＝1

2CD ，

根据对称性知，DP 1＝14CD ，PC 1＝34CD ＝3

4AB ，

此时AB ＝BP 1，则AB 2＝AD 2＋⎝⎛⎭⎫34AB 2

， ∴AD 2＝716AB 2，则AD AB ＝74.

【答案】 (1)D (2)D

1．(1)本题(1)在计数时用了分类讨论的思想，其分类标准是个位数字是否为奇数．(2)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．

2．(1)第(2)小题求解的关键：①点P 1、P 3位置的探求；②等量关系AB ＝BP 1的确定．(2)几何概型中的基本事件是无限的，但其构成的区域却是有限的，因此可用“比例解法”求概率．

在利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的大小确定．

变式训练1 (1)(2013·上海高考)盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个小球，从中任

意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示)．

(2)(2013·四川高考)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )

A.14

B.12

C.34

D.7

8 【解析】

(1)从9个小球中任取两个，有n ＝C 2

9＝36种取法．