和角、差角、倍角公式及应用

两角和与两角差的三角函数
【考点指津】
掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用化归思想（将不同角化成同角等）解题．
知识点总结：
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；
⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；
⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；
⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；
⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ
--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ
++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴sin 22sin cos ααα=．
⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα
=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=
）． ⑶22tan tan 21tan ααα
=-．
3、()sin cos αααϕA +B =
+，其中tan ϕB =A ．
【典型例题】
例1 已知sin α－sin β=－ 13 ，cos α－cos β=12
，求cos(α－β)的值 ． 分析 由于cos(α－β)=cos αcos β+sin αsin β的右边是关于sin α、cos α、sin β、cos β的二次式，而已知条件是关于sin α、sin β、cos α、cos β的一次式，所以将已知式两边平方．
解 ∵sin α－sin β=－13， ① cos α－cos β= 12
， ② ①2 ＋②2 ，得2－2cos(α－β)= 1336
．
∴cos(α－β)= 72
59 点评 审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异．
例2 求 2cos10°-sin20° cos20°
的值 ． 分析 式中含有两个角，故需先化简．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角．
解 ∵10°=30°－20°，
∴原式=2cos(30°-20°)-sin20° cos20°
= 2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20° cos20°= 3 cos30° cos20°
= 3 ． 点评 化异角为同角，是三角变换中常用的方法．
例3 已知：sin(2α+β)=－2sin β．求证：tan α=3tan(α+β)．
分析 已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角．
解 ∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)－α，
∴sin ［(α+β)+α］=－2sin ［(α+β)－α］．
∴sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=－2sin(α+β)cos α+2cos(α+β)sin α．
若cos(α+β)≠0 ，cos α≠0，则3tan(α+β)=tan α．
点评 审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将α+β
看成一个整体
例4 求下列各式的值
（1）tan10°＋tan50°+ 3 tan10°tan50°；
(2) （ 3 tan12°-3）csc12° 4cos 212°-2
． (1)解 原式=tan(10°+50°)（1－tan10°tan50°）+ 3 tan10°tan50°= 3 ．
（2）分析 式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦． 解 原式= （ 3 ·sin12°cos12°－3）1 sin12°2 cos24° =︒
︒-︒24cos 212sin 312cos 3 =︒︒-︒=︒︒︒︒-︒48sin 2
1)12cos 2312sin 21(3224cos 12cos 12sin 212cos 312sin 3 =.3448sin )6012sin(34-=︒
︒-︒ 点评 （1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（1－tanAtanB ），asinx+bsinx=22b a +sin(x+φ)的运用；（2）在三角变换中，切割化弦是常用的变换方法．
【知能集成】
审题中，要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想．
在三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意如下公式： tanA+tanB=tan(A+B)［1－tanAtanB ］；
【课堂演练】
1．cos105°的值为 （ ）
A ． 6 ＋ 2 4
B ． 6 － 2 4
C ． 2 － 6 4
D ． － 6 － 2 4
2．对于任何α、β∈（0，
π2），sin(α+β)与sin α+sin β的大小关系是 （ ） A ．sin(α+β)＞sin α+sin β B ．sin(α+β)＜sin α+sin β
C ．sin(α+β)=sin α+sin β
D ．要以α、β的具体值而定
3．已知π＜θ＜3π2
，sin2θ=a ，则sin θ+cos θ等于 （ ） A ． a+1 B ．－ a+1 C ． a 2+1 D ．±a 2+1
4．已知tanx=12
，则cos2x= ． 5．cos200°cos80°+cos110°cos10°= ． 6．12
（cos15°+ 3 sin15°）= ． 7．化简1+2cos 2θ－cos2θ= ．
8．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)= ．
9．11－tan θ－ 11＋tan θ
= 【训练反馈】
1．已知0＜α＜π2＜β＜π，sin α=35，cos(α+β)=－45
，则sin β等于 （ ） A ．0 B ．0或2425 C ． 2425 D ．0或－2425
2． sin7°+cos15°sin8° cos7°－sin15°sin8°
的值等于 （ ） A ．2+ 3 B ． 2+ 3 2 C ．2－ 3 D ． 2－ 3 2
3．cos75°+cos15°的值等于 （ ）
A ． 6 2
B － 6 2
C ． － 2 2
D ． 2 2 4．若α是锐角，且sin(α－
π6)= 13，则cos α的值是 ． 5．cos π7cos 2π7cos 3π7
= ． 6．化简1+sin2θ-cos2θ 1+sin2θ+cos2θ
= ．
7 已知sin(α+β)=1，求证：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．
8．已知tan θ=12，tan φ=13
，且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°．
9．已知cos(α－β)=－45，cos(α+β)= 45，且（α－β）∈（π2，π），α+β∈（3π2
，2π），求cos2α、cos2β的值．
10． 已知sin(α+β)= 12，且sin(π+α－β)= 13，求tan αtan β
．
11．已知锐角α、β、γ满足sin α+sin γ=sin β，cos α－cos γ=cos β，求α－β的值．。