合作博弈的解

合作博弈的解
合作博弈需要解决的最重要问题就是所有参与者合作时所获得的收益（或节省的费用）如何在个体参与者之间进行分配，显然，联盟的形成是建立在所有参与者对博弈中的建议分配都同意的基础上的，该分配称为合作博弈的解。

根据分配时的采取的方法不同，合作博弈的解有多种求解方案，本文主要讨论核心、核仁和Shapley 值三种合作博弈解。

（1）核心
Gillies 于20世纪50年代提出了核心的概念，可以认为核心是最早出现的合作博弈的解，同时它也是其他解出现的基础。

下面首先对核心做定义：
在一个n 人合作博弈(,)N V 中，不被任何其他分配向量所支配的分配向量的集合称为核心，记为(,)C N V 或()C V 。

在实际的生产活动中，由于不会存在使自身获利更多的分配方案，核心()C V 中的所有分配方案均会被对应的联盟所认可，即核心的分配使得任何联盟都没有能力推翻它。

在核心中的各参与者都会接受加入该联盟所分配到的收益结果，因此这些参与者只会选择满足核心的联盟。

分配向量x 应当满足的条件为：
1()n i i x
V N ==∑ （2.6）
()i i S x
V S ∈≥∑ （2.7）
此时，在存在核心的合作博弈中，采用核心作为合作博弈的解时分配给所有参与者的收益之和等于所有参与者合作所得，即能够实现收益的完全分配。

同时，作为一个理性的参与者，在选择分配向量时，都会将加入该联盟所能分配到的收益与脱离联盟不进行合作的获益相比较，由于核心中的分配向量满足个体合理性，故满足条件的参与者会选择核心作为合作博弈的解。

合作博弈的核心解能够为联盟的参与者提供满意的结果，但是核心解在求解时可能会很难实现或者说有时不存在核心解，这是合作博弈的核心解在应用中的最大问题。

具体情况表现为核心为一个区域有多个元素或者合作博弈不存在核心。

以下用反证法对这些情况进行说明。

1）博弈的核心为空
对一个n 人合作博弈(,)N V ，常和博弈表示博弈的特征函数有()()()+-=V S V N S V N ，空核心博弈的特征函数满足{}S T φ⋂=，()()()⋃=+V S T V S V T ，此时若x 是该博弈的核心解，则有：
()()()
∈=≤∑i N V N x N V i （2.8）
这不满足常和博弈特征函数的条件，所以该博弈的核心解不存在。

2）核心为一个区域有多个元素
在一个三人合作博弈(,)N V 中，{}1,2,3N =，特征函数值为1(2,3)V a =， 2(1,3)V a =，3(2,1)V a =，则核心解可以用式（2.9）表示：
{}
123123()(,,)0,1=∣≥++=i C V x x x x x x x （2.9） 由式（2.9）可知，若特征函数值1a ，2a ，3a 之和有1232a a a ++≤时，核心解()C V φ≠，但是最优解为一线性规划区域，存在无穷多个分配向量。

（2） 核仁
Schmeidler 在研究n 人合作博弈的解时提出了核仁的概念，合作博弈的核仁解提出之后一直在被国内外学者不断改进。

在介绍核仁时首先对超出值进行定义：
(,)()()=-e S x V S x S （2.10）
则(,)e S x 表示联盟S 是关于分配向量x 的超出值。

超出值(,)e S x 的存在说明合作博弈的参与者采用向量x 进行分配时不能实现联盟S 收益的完全分配，即会产生某种损失。

若超出值(,)e S x 的数值越大，则联盟S 中的参与者总损失越大，每个参与者承担的损失就越大，参与者对分配向量x 就越不满意。

所以，超出值(,)e S x 也可以用来衡量参与者或者联盟对于分配向量的满意度，核仁解的基本思想是找到一个分配向量x 使所有联盟的不满意度最小。

对于一个n 人合作博弈(,)N V ，存在2n 种联盟的组合，设该博弈中的任意一种分配方案为x ，因此超出值(,)e S x 的数量也为2n 。

设向量x 和y 为(,)N V 中不同两个联盟的分配向量，分配计算两个联盟的超出值(,)e S x 和(,y)e S ，则超出值小的为更优分配。

将联盟所有的超出值进行排列，按照从小到大的顺序记为()x θ。

合作博弈的核仁即：
{}()()()(),()θθ=∈|≤∀∈N V x E V x y y E V （2.11）
式中，()E V 为所有可能的分配向量构成的集合。

Schmeidler 给出了以下4条关于核仁的结论：
1）核仁解具有群体合理性和个体合理性；
2）一个合作博弈问题的核仁由唯一一个分配向量构成；
3）若合作博弈有核心解，则核仁解包含于核心解；
4）核仁解中处于对称地位的参与者分配的收益相同。

第一个结论表明核仁解满足合作博弈解的一般要求；第二个结论表明核仁解一定存在并且由于其唯一性可以作为最优解；第三个结论表明在有核心解的合作
博弈中，可以通过核心解的约束条件将核仁解问题转化为线性规划问题，这在合作博弈参与者个数不多时可以简化计算；第四个结论表明在合作博弈中的参与者应当被平等对待，当他们在联盟中地位相同时，所获收益不应当有区别。

（3）Shapley 值
应用Shapley 值进行求解时具有良好的经济意义，主要表现在两个方面：1）生产活动所获收益在参与者之间的分配；2）生产活动所需的成本在参与者之间的分摊。

以生产活动所获的收益为例，在n 个参与者的生产活动中，参与者进行合作，使所结成联盟的总收益最大化，从而通过共同努力使参与者自身分摊的收益增加，满足参与者进行合作博弈的要求，这就是Shapley 基于公理化思想提出的Shapley 值。

对于一个n 人合作博弈(,)N V 对于所获收益的分配，Shapley 值的分配公式如下： ()()[]1!!()*()({})!ϕννν⊆--=--∑
i s N s n s s s i n （2.12）
()ϕνi 为参与者i 的应当分配的收益，N 为合作博弈的参与者全体，v 错误!未找到引用源。

为收益函数，S 为参与者构成的联盟，n 为参与者的个数，[]()({})νν--s s i 为参与者i 缴入联盟S 产生的额外收益，!n 为大联盟中所有参与者可能构成的联盟数。

Shapley 值法在计算时不考虑联盟S 外的参与者对联盟的贡献，即参与者i 不在联盟S 中时，他对联盟的边际贡献为0。

这样()()
1!!--s n s 所代表的参与者i 加入联盟前后的联盟组合顺序为定值。

()()1!!/!--s n s n 可以视为联盟S 出现的概率。

Shapley 值法满足一下四个公理构成的公理体系，并且是唯一满足此公理体系的分摊方法：
公理1（对称性）：()i ϕν与参与者i 在计算中的先后的无关，假如π错误!未找到引用源。

是1, 2,…，n 的一个排列，v π错误!未找到引用源。

表示该排列下计算交易i 在计算中的顺序，此时，参与者i 的排在错误!未找到引用源。

位进行计算，则 ()()i i v v πϕπϕ= （2.13）
公理2（有效性）：合作收益全部分配，即
()()i
i N v v N ϕ∈=∑ （2.14）
公理3（可加性）：在联盟中具有相同地位的参与者进行两次合作博弈分配的收益等于将他们特征函数合并后进行一次博弈的获益。

即对于两个博弈u 和v ，有
()()(v)ϕϕϕ+=+i i i u v u （2.15）
公理4（边际性）：若同一参与者i 加入两个不同的联盟u 和v 后，对两个联盟的收益增量分别相等，那么参与者i 在这两个联盟中分配的收益也分别相等，即
()()ϕϕ=i i u v （2.16）
边际性是合作博弈解中的一个重要性质，若在合作博弈解中，同一参与者在两个联盟中贡献的边际相同，却不能获取相同的收益，则会降低参与者进行生产合作的积极性，不能为提高生产效率提供正确的经济信号，甚至会导致联盟总收益的下降，进而造成合作博弈的失败。

根据Shapley 值分摊方法的性质可知，该方法作为合作博弈解具有可行性和唯一性，同时能够为合作博弈的参与者提供良好的经济信号。

Shapley 值根据每个参与者对联盟的边际贡献衡量参与者在联盟中的地位，从而对联盟的总利润（或节省的总价值）进行分配。

由于Shapley 值法的计算过程易于理解，分摊结果符合经济学原理，因此在被应用于解决电力市场中的合作博弈问题时，能够被参与者所接受。