(完整版)直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点

一、直线、平面平行的判定及其性质知识点一、直线与平面平行的判定
ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种）
位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行
公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点
符号表示a⊂αa∩α=A a||α
图形表示
注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外
ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行.（a||b）
判定
文字描述直线和平面在空间平面永无交点，则
直线和平面平行（定义）
平面外的一条直线一次平面内的一条直线
平行，则该直线与此平面平行
图形
条件a与α无交点
结论
a∥αb∥α
※判定定理的证明
知识点二、直线与平面平行的性质
性质
文字描述一条直线与一个平面平行，
则这条直线与该平面无交点
一条直线和一个平面平行，则
过这条直线的任一平面与此平
面相交，这条直线和交线平行．
图形
条件
a∥αa∥αa⊂βα∩β＝b
结论
a∩α＝∅a∥b
线面平行，则线线平行
特别提示
证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.
判定
文字描述如果两个平面无公共
点，责成这两个平面平
行一个平面内有两条相
交直线与另一个平面
平行，那么这两个平面
平行．
如果两个平面同时垂直于
一条直线，那么这两个平
面垂直。

图形
条件
α∩β＝∅a，b⊂β
a∩b＝P
a∥α
b∥α
l⊥α
l⊥β
结论
α∥βα∥βα∥β
性质
文字描述如果两个平行平面同时和第
三平面相交，那么他们的交
线平行如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面
图形
条件α∥β
β∩γ＝b
α∩γ＝a α∥β a⊂β
结论a∥b a∥α
二、直线、平面垂直的判定及其性质
知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义 判定
语言描述 如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面互相垂直，记作l ⊥α
一条直线与一个平面内的两条相交直线都
垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形
条件
b 为平面α内的任一直线，而l 对这一直线总有l ⊥α
l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，
n ⊂α 结论
l ⊥α l ⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无
数条直线”不同（线线垂直线面垂直）
性质
语言描述 一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线
垂直于同一个平面的两条直线平行.
图形
条件
结论
知识点三、二面角
Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）
二面角的平面角的三个特征:ⅰ. 点在棱上
ⅱ. 线在面内 ⅲ.
与棱垂直
Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：0
0180θ<<.
定义判定
文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面角是
直二面角，就说这两个平面垂直.一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
图形
结果α∩β=l α-l-β=90o α⊥β
“任何”“随意”“无数”等字眼
知识点五、平面和平面垂直的性质
面面垂直线面垂直（如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与一个面平垂直）
例题
1.如图，若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何
体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1 D1，
则下列结论中不正确的是
A. EH∥FG
B.四边形EFGH是矩形
C. Ω是棱柱
D. Ω是棱台
2能保证直线a与平面α平行的条件是（ A ）
A.a⊄α,b⊂α,a∥b B .b⊂α,a∥b
C. b⊂α,c∥α,a∥b,a∥c
D. b⊂α,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b且AC＝BD
3下列命题正确的是（ D F ）
A. 平行于同一平面的两条直线平行
B. 若直线a∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a平行
C. 若直线a∥α,则平面α内任一条直线都与a平行
D. 若直线a∥α,则平面α内有无数条直线与a平行
E. 如果a、b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
F. 如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α,b⊄α，那么b∥α
4在空间，下列命题正确的是
（A）平行直线的平行投影重合
（B）平行于同一直线的两个平面平行
（C）垂直于同一平面的两个平面平行
（D ）垂直于同一平面的两条直线平行
5已知m 、n 为两条不同的直线，a 、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A ．,,m n αα⊂⊂m ∥β，n ∥β⇒a ∥β
B ．a ∥β，,m n αβ⊂⊂⇒m ∥n
C ．m ⊥a,m ⊥n ⇒n ∥a
D ．n ∥m,n ⊥a ⇒m ⊥a 6.下列命题中错误的是
（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定直线平行于平面β
（B ）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
8.求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面． 已知：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点 求证：E F ‖平面BCD
8题图 9题图
9.如图，在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60 ， ,PB=2, E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明：AD ⊥ 平面DEF;
(2) 求二面角P-AD-B 的余弦值.
课堂练习
A 组
3.m 、n 是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．
①m ⊥α，n ∥β，α∥β⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ，α∥β，m ⊥α⇒n ∥β； ③m ⊥n ，α∥β，m ∥α⇒n ⊥β； ④m ⊥α，m ∥n ，α∥β⇒n ⊥β.
4.如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2,
E 、E 1、
F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。

（1） 证明：直线EE 1//平面FCC 1；
5. 在长方体ABCD —A1B1C1D1中.
（1）作出过直线AC 且与直线BD1平行的截面，并说明理由.
（2）设E 、F 分别是A1B 和B1C 的中点，求证直线EF//平面ABCD.
6. 在图中所示的一块木料中，棱BC 平行于平面A ’C ’ ． （1）要经过平面 内的一点P 和棱BC 将木料据开，应怎样画线？
C A ''E
A
B
C
F
E 1 A 1
B 1
C 1
D 1 D
（2）所画的线和平面AC 是什么位置关系？。