矩阵的特征值与特征向量的理论与应用开题报告

毕业设计（论文）材料之二（2）

本科毕业设计(论文)开题报告

题目：矩阵的特征值与特征向量

的理论与应用

课题类型：科研□ 论文√ 模拟□ 实践□

学生姓名：王家琪

学号：3090801105

专业班级：数学091

学院：数理学院

指导教师：万上海

开题时间：2013年3月16日

2013 年3月15日

开题报告内容与要求

一、毕业设计（论文）内容及研究意义（价值）

矩阵的特征值与特征向量是高等代数的重要组成部分，通过对矩阵特征值与特征向量的性质介绍，以及对矩阵特征值与特征向量理论的分析，将特征值与特征向量应用于方程组的求解问题是高等代数中的重要内容。

随着计算机的迅速发展 , 现代社会的进步和科技的突飞猛进 , 高等代数作为一门基础的工具学科已经向一切领域渗透 , 它的作用越来越为世人所重视。在多数高等代数教材中,特征值与特征向量描述为线性空间中线性变换A的特征值与特征向量；而在大部分线性代数教材中,特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成,定义为n阶矩阵A的特征值与特征向量.从理

论上来讲,只要求出线性变换A的特征值与特征向量,就可知矩阵A的特征值与特征向量,反之亦然。因此求矩阵的特征值与特征向量就变得尤为重要的引入是为了研究线性空间中线性变换A的属性。

物理、力学、工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题。又特征方程求特征值是比较困难的，而在现有的教材和参考资料由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值方可由方程组求特征向量。一些文章给出了只需通过行变换即可同步求出特征值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数行列式的计算问题。本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行系统的归纳，给出一种能够迅速找出特征值和特征向量以及它们在解题解决一些复杂问题方面有较其他方法更为方便实用的地方。

二、毕业设计（论文）研究现状和发展趋势（文献综述）

汤正华[1]在2008年讨论了矩阵的特征值与特征向量的定义、性质；特征值与特征向量的求法等问题。

李延敏[2]在2004年通过对矩阵进行行列互换，同步求出矩阵特征值与特征向量，解决了不少带参数求特征值问题，并给出一些新定理。

赵院娥、李顺琴[3]在2009年进一步研究几种矩阵的特征值问题。邵丽丽[4]在2006年通过对n阶矩阵的特征值与特征向量的研究，针对n阶矩阵的特征值与特征向量的应用进行了3方面的探讨，并给出了相关命题的证明及相应的例题。

黄金伟[5]在2007年给出求解矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法：列行互逆变换方法与列初等变换方法。向以华[6]在对矩阵特征值与特征向量相关问题进行系统的归纳，得出了通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值与特征向量的结论，同时讨论了反问题。

张红玉[7]在2009年通过n阶方阵A的特征值得出一系列相关矩阵的特征值，再由特征值与正定矩阵关系得出正定矩阵的结论。王英瑛[8]在2008年利用矩阵的初等变换理论，详细讨论了矩阵特征值和特征向量的求法。

夏慧明、周永权[9]在2008年提出一种基于进化策略求解矩阵特征值及特征向量的新方法。郭华、刘小明[10]在2004年从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用。

岳嵘[11]在2007年通过对已知n阶对称矩阵A的k个互不相等的特征值及

k 个特征向量，给出矩阵A的计算公式，并给出证明及应用举例。

1

贤锋[12]在2006年通过建模实例介绍了最大特征值及特征向量的应用。

王秀芬[13]在2004年推导出一种方法，通过此方法可以利用特征值与特征向量

求线性递推关系中的通项公式。

近年来，对矩阵特征值与特征向量的研究已经很深入，本课题将对矩阵特征值与特征向量的相关问题进行系统的归纳。对矩阵的特征值与特征向量的基本性质进行介绍，根据其性质对矩阵特征值与特征向量的应用进行更深一步的探讨。

三、毕业设计（论文）研究方案及工作计划（含工作重点与难点及拟采用的途径）

研究方案：

1、介绍矩阵特征值与特征向量的研究现状，研究矩阵特征值与特征向量的实际意义。

2、介绍矩阵特征值与特征向量的定义及其基本性质，并对矩阵特征值与特征向量的理论及应用进行分析。

工作计划：

1、工作重点

在矩阵特征值与特征向量基本性质的基础上，了解矩阵特征值与特征向量的理论及其应用。

2、工作难点

在搜集有关矩阵特征值与特征向量应用实例上对矩阵特征值与特征向量相关问题进行系统归纳；一篇引用的英文文献及其译文。

3、拟采用的途径

在研究的过程中，首先通过阅读大量文献资料，找出与该课题有关的问题及结论，对问题加以分析，同时给出结论的证明。针对其有关性质和命题进行深入研究和探索，加以整理，从而形成自己的研究成果。

时间安排

第1周（2.20-2.26）

查找、搜集、整理相关文献资料，学习可能用到的相关理论知识。

第2周(2.27-3.5)

阅读搜集到的相关文献，与导师讨论相关问题，撰写开题报告。

第3周(3.6-3.12)

将开题报告交导师审定，修改开题报告。

第4-5周(3.13-3.26)

开题报告的答辩工作，论文大纲的整体构思。

第6周（3.27-4.2）

撰写论文的写作大纲，写作方案及基本框架，并送交导师审定。

第7-12周（4.3-5.14）

撰写论文，完成论文初稿，交导师审阅，在此期间常与导师沟通，并做好接受期中教学检查的准备。

第13-14周（5.15-5.28）

针对导师提出的审阅意见，与导师讨论，修改、补充、完善论文，交导师审阅，提出修改意见。

第15周（5.29-6.4）

进一步完善论文，并最终确定论文。

第16周（6.5-6.11）