大变形问题的有限元分析
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第三章 大变形问题的有限元分析
目的：以大变形问题为例， 目的：以大变形问题为例，介绍几何非线性问题的有限元 方法。 方法。 特点：与线性有限元方法比较，几何关系不再是线性的。 特点：与线性有限元方法比较，几何关系不再是线性的。 内容： 内容： 引言 大变形问题的应变描述 大变形分析中的应力描述及本构关系 大变形问题有限元方程的建立 大变形分析中的载荷处理 小结
11
2011-10-19
现时构型时材料的密 随变形变化。 度－随变形变化。
大变形分析中的本构关系(4/5) 大变形分析中的本构关系(4/5)
次弹性材料 若应力率与变形率之间成线性变化规律，这类材料称为次弹性材料。但 应力率与变形率之间成线性变化规律，这类材料称为次弹性材料。 之间成线性变化规律 本构关系描述时要求“ 为与刚体转动无关的客观时间导数。 本构关系描述时要求“率”为与刚体转动无关的客观时间导数。
本构关系的客观性要求：需要选取合适的应力－ 本构关系的客观性要求：需要选取合适的应力－应变共轭对 描述材料的本构关系。 描述材料的本构关系。 弹性材料：加载曲线与卸载曲线相同的材料。 弹性材料：加载曲线与卸载曲线相同的材料。
，
本构关系有三种形式
σ ij = Aijkl ε kl
∂W σ ij = ∂ε ij
初始构型时材料 的密度－ 的密度－常数 Case-2
* W = W ( ε ij )
* ∂ ρ *W ( ε kl ) * Sij = * ∂ε ij
≜ AIJKLε KL
相 比 较
坐标变换
一阶近似
总之， 总之，对于一般的大变形 问题， 问题，在连续介质力学中 不能简化！ 不能简化！ 常用超弹性来表征材料的 本构关系。 本构关系。
初始构型（ 时刻 时刻） 初始构型（0时刻）
现时构型（ 时刻） 现时构型（t 时刻）
当前构型（ 时刻） 当前构型（ t + ∆t 时刻）
连续介质力学理论对物体经历大变形后的变形有严格的定义 连续介质力学理论对物体经历大变形后的变形有严格的定义 和推导。这里不准备过多引入复杂的概念和符号， 和推导。这里不准备过多引入复杂的概念和符号，而是与小变形 理论对照，介绍进行大变形分析时必需的几个概念和术语。 理论对照，介绍进行大变形分析时必需的几个概念和术语。
特殊情形
S IJ = AIJKLε KL
不依赖于构型变化 弹性本构关系多用于大位移（转动）小应变的情形。 弹性本构关系多用于大位移（转动）小应变的情形。 大位移 的情形
2011-10-19
10
大变形分析中的本构关系(3/5) 大变形分析中的本构关系(3/5)
超弹性材料 假定材料具有单位质量的应变能函数，再根据能量原理来定义本构 假定材料具有单位质量的应变能函数， 单位质量的应变能函数 关系，这类材料称为超弹性材料。 关系，这类材料称为超弹性材料。
Kirchhoff应力： 应力： 应力
通过初时构型上的微元体定义的应力称为Kirchhoff应力，用 S 表示； 应力， 表示； 通过初时构型上的微元体定义的应力称为 应力 通过现时构型的微元体定义的应力称为现时 现时（ 应力， 通过现时构型的微元体定义的应力称为现时（Updated）Kirchhoff 应力， ） * 表示。 用 表示。 S
Case-1
W = W ( ε KL )
∂W ( ε KL ) ∂ε IJ
例如
W=
1 2ρ 0
2
ε IJ AIJKLε KL
(不限于这种形式） 不限于这种形式） 不限于这种形式 增量形式 …
现时Kirchhoff应力 应力 现时 或增量形式 …
S IJ = ρ 0
S IJ = ρ 0
一阶近似
∂ W ( ε MN ) ε KL ∂ε IJ ∂ε KL
∆ε IJ = ∂xm ∂xn * ∆ ε mn ∂X I ∂X J
现时（ 应变增量： 现时（Updated）Green应变增量： ） 应变增量
∆*ε ij = 1 ∂∆ui ∂∆u j 1 ∂∆uk ∂∆uk + + 2 ∂x j ∂xi 2 ∂xi ∂x j
= ∆*eij + ∆*ηij
2011-10-19 2
大变形问题的应变描述(1/4) 大变形问题的应变描述(1/4)
问题的特点：由于变形较大， 问题的特点：由于变形较大，使得不同时刻物体具有差别不能 忽略的不同构型，这是大变形问题分析的基本出发点。 忽略的不同构型，这是大变形问题分析的基本出发点。
xi
yi
XI
(a)
(b)
(c)
注意：我们用下标的大小写表示坐标的大小写，对应于不同的构型。 注意：我们用下标的大小写表示坐标的大小写，对应于不同的构型。 大变形分析由于采用增量方法，需经常用到它们的增量形式。 大变形分析由于采用增量方法，需经常用到它们的增量形式。
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大变形问题的应变描述(3/4) 大变形问题的应变描述(3/4)
∂yi ∂x j
D( N ) =
∂ ( x1 , x2 , x3 ) ∂xi = ∂ ( X 1 , X 2 , X 3 ) ∂X J
D*( N +1) =
Байду номын сангаас
∂ ( y1 , y2 , y3 ) ∂ ( x1 , x2 , x3 )
=
2011-10-19
8
大变形分析中的本构关系(1/5) 大变形分析中的本构关系(1/5)
应变增量： 应变增量： Green应变增量： 应变增量： 应变增量
∆ε IJ = 1 1 (δ KJ + uK , J ) ∆uK , I + (δ KI + uK , I ) ∆uK , J + ∆uK , I ∆uK , J 2 2 = ∆eIJ + ∆η IJ
线性部分
非线性部分
二者之间满足张 量变换关系！ 量变换关系！
∂σ ij ∂t = Aijkl ∂ε kl ∂t
（大变形分析中） 大变形分析中） 线弹性材料 (elasticity) 超弹性材料 (hyperelasticity) 次弹性材料 (hypoelasticity)
Aijkl
为常数
1 W = ε ij Aijkl ε kl 2
ν Aijkl = 2G δ ilδ jm + δ ijδ lm 1 − 2ν
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大变形问题的应力描述(2/2) 大变形问题的应力描述(2/2)
Kirchhoff、现时Kirchhoff及Euler应力（增量）间的关系： 、现时 应力（ 及 应力 增量）间的关系：
*Sij = σ ij + ∆ * Sij
现时Kirchhoff应力增量 应力增量 现时
现时Kirchhoff应力 应力 现时 t + ∆t 时刻
线性部分
非线性部分是高阶小量 对于小变形情形
∆ε IJ = ∆*ε ij = 1 ∂∆ui ∂∆u j + ≜ ∆ε ij ∂X i 2 ∂X j
现时（ 应变增量退化成： 现时（Updated）Green应变增量退化成： ） 应变增量退化成
∆*ε ij = 1 ∂∆ui ∂∆u j 1 ∂∆uk ∂∆uk + + 2 ∂x j ∂xi 2 ∂xi ∂x j
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线性部分
非线性部分
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大变形问题的应变描述(4/4) 大变形问题的应变描述(4/4)
应变增量：（续）－对于大变形小应变情形 应变增量：（续）－对于大变形小应变情形 ：（ Green应变增量退化成： 应变增量退化成： 应变增量退化成
∆ε IJ = 1 1 (δ KJ + uK , J ) ∆uK , I + (δ KI + uK , I ) ∆uK , J + ∆uK , I ∆uK , J 2 2 = ∆eIJ + ∆η IJ
Case-1
ɺ S IJ = AIJK L εɺ K L
同乘以时间增量 ∆t
增量形式 …
Case-2
* * Sij J = Aijkl Dkl
可以证明， 可以证明，这两个率都与转动无关
Jaumann 应力率
* ɺ* ɺ* * ɺ * Sij J = Sij − Sik ωkj − S * ωki jk
ε KL =
1 ( uK ,L + uL, K + uM , K uM , L ) 2
现时（ 应变张量： 现时（Updated）Green应变张量：以现时构型为参考构 ） 应变张量 型所定义的应变， 型所定义的应变，数学表示为
ε kl =
1 ( uk ,l + ul ,k + um,k um,l ) 2
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大变形分析中的本构关系(2/5) 大变形分析中的本构关系(2/5)
弹性材料
应力与Green应变之间存在一一对应关系，则称这 应变之间存在一一对应关系， 若Kirchhoff应力与 应力与 应变之间存在一一对应关系 类材料为弹性材料 类材料为弹性材料
S IJ = F ( ε KL )
从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为 应力， 从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为Euler应力，用 σ 应力 表示。 应力代表物体的真实应力 表示。Euler应力代表物体的真实应力。然而，当前构型是待求的未知构 应力代表物体的真实应力。然而，当前构型是待求的未知构 因而，有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。 型，因而，有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。
= ∆*eij + ∆*ηij
2011-10-19
线性部分
非线性部分是高阶小量
6
大变形问题的应力描述(1/2) 大变形问题的应力描述(1/2)
应力是借助于微元体来定义的，但在大变形分析中， 应力是借助于微元体来定义的，但在大变形分析中，必须注 微元体所在的构型。 意微元体所在的构型。 与应变类似， 与应变类似，连续介质力学理论具有严格的应力定义和多 种不同的应力概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。 种不同的应力概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。 Euler应力： 应力： 应力
Euler应力 应力 t 时刻
特点：以现时构型为参考。 特点：以现时构型为参考。
根据张量的坐标变换规则， 根据张量的坐标变换规则，它们之间还有以下关系
1 ∂xi ∂x j ∆ Sij = ( N ) ∆S kl D ∂X K ∂X L
*
σ ij + ∆σ ij =
1 D*( N +1)
∂yi ∂y j (σ kl + ∆*Skl ) ∂xk ∂xl
2011-10-19
大变形问题的分析方法：增量法。
3
大变形问题的应变描述(2/4) 大变形问题的应变描述(2/4)
描述的出发点：物体的变形描述建立在确定的参考构型上。 描述的出发点：物体的变形描述建立在确定的参考构型上。 Green应变张量：以初始构型为参考构型所定义的应变，数 应变张量：以初始构型为参考构型所定义的应变， 应变张量 学表示为
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引言
几何线性问题： 几何线性问题： 位移与应变成线性 微分）关系； （微分）关系；
几何非线性问题：位移与应变成非线性（微分意义上）关系。 几何非线性问题：位移与应变成非线性（微分意义上）关系。 物理现象：将位移（转动）和/或应变较大的问题统称为大变形 物理现象：将位移（转动） 或应变较大的问题统称为大变形 或应变较大的问题统称为 有限变形问题。 问题，有时称为有限变形问题 这类问题又分为大位移 问题，有时称为有限变形问题。这类问题又分为大位移 问题及大位移大应变问题两大类。 转动）小应变问题及大位移大应变问题两大类 （转动）小应变问题及大位移大应变问题两大类。 研究意义：和材料非线性问题一样重要。例如，平板的弯曲问题， 研究意义：和材料非线性问题一样重要。例如，平板的弯曲问题， 大挠度理论分析结果更符合实际情况；薄壳的屈曲， 大挠度理论分析结果更符合实际情况；薄壳的屈曲，非线性理 论的预测值更好。又例如，对于橡皮型材料 橡皮型材料， 论的预测值更好。又例如，对于橡皮型材料，大变形还必须考 本构关系的变化，这与纯粹的材料非线性又有区别。 虑本构关系的变化，这与纯粹的材料非线性又有区别。 研究现状： 研究现状：大变形问题有限元分析的理论和方法存在不同学派间的 争鸣，尚未得到一个权威性的结论。随之并发的其它问题， 争鸣，尚未得到一个权威性的结论。随之并发的其它问题，如 解的稳定性、收敛性及收敛率等，都有待进一步深入研究。 解的稳定性、收敛性及收敛率等，都有待进一步深入研究。
目的：以大变形问题为例， 目的：以大变形问题为例，介绍几何非线性问题的有限元 方法。 方法。 特点：与线性有限元方法比较，几何关系不再是线性的。 特点：与线性有限元方法比较，几何关系不再是线性的。 内容： 内容： 引言 大变形问题的应变描述 大变形分析中的应力描述及本构关系 大变形问题有限元方程的建立 大变形分析中的载荷处理 小结
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2011-10-19
现时构型时材料的密 随变形变化。 度－随变形变化。
大变形分析中的本构关系(4/5) 大变形分析中的本构关系(4/5)
次弹性材料 若应力率与变形率之间成线性变化规律，这类材料称为次弹性材料。但 应力率与变形率之间成线性变化规律，这类材料称为次弹性材料。 之间成线性变化规律 本构关系描述时要求“ 为与刚体转动无关的客观时间导数。 本构关系描述时要求“率”为与刚体转动无关的客观时间导数。
本构关系的客观性要求：需要选取合适的应力－ 本构关系的客观性要求：需要选取合适的应力－应变共轭对 描述材料的本构关系。 描述材料的本构关系。 弹性材料：加载曲线与卸载曲线相同的材料。 弹性材料：加载曲线与卸载曲线相同的材料。
，
本构关系有三种形式
σ ij = Aijkl ε kl
∂W σ ij = ∂ε ij
初始构型时材料 的密度－ 的密度－常数 Case-2
* W = W ( ε ij )
* ∂ ρ *W ( ε kl ) * Sij = * ∂ε ij
≜ AIJKLε KL
相 比 较
坐标变换
一阶近似
总之， 总之，对于一般的大变形 问题， 问题，在连续介质力学中 不能简化！ 不能简化！ 常用超弹性来表征材料的 本构关系。 本构关系。
初始构型（ 时刻 时刻） 初始构型（0时刻）
现时构型（ 时刻） 现时构型（t 时刻）
当前构型（ 时刻） 当前构型（ t + ∆t 时刻）
连续介质力学理论对物体经历大变形后的变形有严格的定义 连续介质力学理论对物体经历大变形后的变形有严格的定义 和推导。这里不准备过多引入复杂的概念和符号， 和推导。这里不准备过多引入复杂的概念和符号，而是与小变形 理论对照，介绍进行大变形分析时必需的几个概念和术语。 理论对照，介绍进行大变形分析时必需的几个概念和术语。
特殊情形
S IJ = AIJKLε KL
不依赖于构型变化 弹性本构关系多用于大位移（转动）小应变的情形。 弹性本构关系多用于大位移（转动）小应变的情形。 大位移 的情形
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大变形分析中的本构关系(3/5) 大变形分析中的本构关系(3/5)
超弹性材料 假定材料具有单位质量的应变能函数，再根据能量原理来定义本构 假定材料具有单位质量的应变能函数， 单位质量的应变能函数 关系，这类材料称为超弹性材料。 关系，这类材料称为超弹性材料。
Kirchhoff应力： 应力： 应力
通过初时构型上的微元体定义的应力称为Kirchhoff应力，用 S 表示； 应力， 表示； 通过初时构型上的微元体定义的应力称为 应力 通过现时构型的微元体定义的应力称为现时 现时（ 应力， 通过现时构型的微元体定义的应力称为现时（Updated）Kirchhoff 应力， ） * 表示。 用 表示。 S
Case-1
W = W ( ε KL )
∂W ( ε KL ) ∂ε IJ
例如
W=
1 2ρ 0
2
ε IJ AIJKLε KL
(不限于这种形式） 不限于这种形式） 不限于这种形式 增量形式 …
现时Kirchhoff应力 应力 现时 或增量形式 …
S IJ = ρ 0
S IJ = ρ 0
一阶近似
∂ W ( ε MN ) ε KL ∂ε IJ ∂ε KL
∆ε IJ = ∂xm ∂xn * ∆ ε mn ∂X I ∂X J
现时（ 应变增量： 现时（Updated）Green应变增量： ） 应变增量
∆*ε ij = 1 ∂∆ui ∂∆u j 1 ∂∆uk ∂∆uk + + 2 ∂x j ∂xi 2 ∂xi ∂x j
= ∆*eij + ∆*ηij
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大变形问题的应变描述(1/4) 大变形问题的应变描述(1/4)
问题的特点：由于变形较大， 问题的特点：由于变形较大，使得不同时刻物体具有差别不能 忽略的不同构型，这是大变形问题分析的基本出发点。 忽略的不同构型，这是大变形问题分析的基本出发点。
xi
yi
XI
(a)
(b)
(c)
注意：我们用下标的大小写表示坐标的大小写，对应于不同的构型。 注意：我们用下标的大小写表示坐标的大小写，对应于不同的构型。 大变形分析由于采用增量方法，需经常用到它们的增量形式。 大变形分析由于采用增量方法，需经常用到它们的增量形式。
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大变形问题的应变描述(3/4) 大变形问题的应变描述(3/4)
∂yi ∂x j
D( N ) =
∂ ( x1 , x2 , x3 ) ∂xi = ∂ ( X 1 , X 2 , X 3 ) ∂X J
D*( N +1) =
Байду номын сангаас
∂ ( y1 , y2 , y3 ) ∂ ( x1 , x2 , x3 )
=
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大变形分析中的本构关系(1/5) 大变形分析中的本构关系(1/5)
应变增量： 应变增量： Green应变增量： 应变增量： 应变增量
∆ε IJ = 1 1 (δ KJ + uK , J ) ∆uK , I + (δ KI + uK , I ) ∆uK , J + ∆uK , I ∆uK , J 2 2 = ∆eIJ + ∆η IJ
线性部分
非线性部分
二者之间满足张 量变换关系！ 量变换关系！
∂σ ij ∂t = Aijkl ∂ε kl ∂t
（大变形分析中） 大变形分析中） 线弹性材料 (elasticity) 超弹性材料 (hyperelasticity) 次弹性材料 (hypoelasticity)
Aijkl
为常数
1 W = ε ij Aijkl ε kl 2
ν Aijkl = 2G δ ilδ jm + δ ijδ lm 1 − 2ν
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大变形问题的应力描述(2/2) 大变形问题的应力描述(2/2)
Kirchhoff、现时Kirchhoff及Euler应力（增量）间的关系： 、现时 应力（ 及 应力 增量）间的关系：
*Sij = σ ij + ∆ * Sij
现时Kirchhoff应力增量 应力增量 现时
现时Kirchhoff应力 应力 现时 t + ∆t 时刻
线性部分
非线性部分是高阶小量 对于小变形情形
∆ε IJ = ∆*ε ij = 1 ∂∆ui ∂∆u j + ≜ ∆ε ij ∂X i 2 ∂X j
现时（ 应变增量退化成： 现时（Updated）Green应变增量退化成： ） 应变增量退化成
∆*ε ij = 1 ∂∆ui ∂∆u j 1 ∂∆uk ∂∆uk + + 2 ∂x j ∂xi 2 ∂xi ∂x j
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线性部分
非线性部分
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大变形问题的应变描述(4/4) 大变形问题的应变描述(4/4)
应变增量：（续）－对于大变形小应变情形 应变增量：（续）－对于大变形小应变情形 ：（ Green应变增量退化成： 应变增量退化成： 应变增量退化成
∆ε IJ = 1 1 (δ KJ + uK , J ) ∆uK , I + (δ KI + uK , I ) ∆uK , J + ∆uK , I ∆uK , J 2 2 = ∆eIJ + ∆η IJ
Case-1
ɺ S IJ = AIJK L εɺ K L
同乘以时间增量 ∆t
增量形式 …
Case-2
* * Sij J = Aijkl Dkl
可以证明， 可以证明，这两个率都与转动无关
Jaumann 应力率
* ɺ* ɺ* * ɺ * Sij J = Sij − Sik ωkj − S * ωki jk
ε KL =
1 ( uK ,L + uL, K + uM , K uM , L ) 2
现时（ 应变张量： 现时（Updated）Green应变张量：以现时构型为参考构 ） 应变张量 型所定义的应变， 型所定义的应变，数学表示为
ε kl =
1 ( uk ,l + ul ,k + um,k um,l ) 2
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大变形分析中的本构关系(2/5) 大变形分析中的本构关系(2/5)
弹性材料
应力与Green应变之间存在一一对应关系，则称这 应变之间存在一一对应关系， 若Kirchhoff应力与 应力与 应变之间存在一一对应关系 类材料为弹性材料 类材料为弹性材料
S IJ = F ( ε KL )
从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为 应力， 从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为Euler应力，用 σ 应力 表示。 应力代表物体的真实应力 表示。Euler应力代表物体的真实应力。然而，当前构型是待求的未知构 应力代表物体的真实应力。然而，当前构型是待求的未知构 因而，有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。 型，因而，有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。
= ∆*eij + ∆*ηij
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线性部分
非线性部分是高阶小量
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大变形问题的应力描述(1/2) 大变形问题的应力描述(1/2)
应力是借助于微元体来定义的，但在大变形分析中， 应力是借助于微元体来定义的，但在大变形分析中，必须注 微元体所在的构型。 意微元体所在的构型。 与应变类似， 与应变类似，连续介质力学理论具有严格的应力定义和多 种不同的应力概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。 种不同的应力概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。 Euler应力： 应力： 应力
Euler应力 应力 t 时刻
特点：以现时构型为参考。 特点：以现时构型为参考。
根据张量的坐标变换规则， 根据张量的坐标变换规则，它们之间还有以下关系
1 ∂xi ∂x j ∆ Sij = ( N ) ∆S kl D ∂X K ∂X L
*
σ ij + ∆σ ij =
1 D*( N +1)
∂yi ∂y j (σ kl + ∆*Skl ) ∂xk ∂xl
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大变形问题的分析方法：增量法。
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大变形问题的应变描述(2/4) 大变形问题的应变描述(2/4)
描述的出发点：物体的变形描述建立在确定的参考构型上。 描述的出发点：物体的变形描述建立在确定的参考构型上。 Green应变张量：以初始构型为参考构型所定义的应变，数 应变张量：以初始构型为参考构型所定义的应变， 应变张量 学表示为
2011-10-19 1
引言
几何线性问题： 几何线性问题： 位移与应变成线性 微分）关系； （微分）关系；
几何非线性问题：位移与应变成非线性（微分意义上）关系。 几何非线性问题：位移与应变成非线性（微分意义上）关系。 物理现象：将位移（转动）和/或应变较大的问题统称为大变形 物理现象：将位移（转动） 或应变较大的问题统称为大变形 或应变较大的问题统称为 有限变形问题。 问题，有时称为有限变形问题 这类问题又分为大位移 问题，有时称为有限变形问题。这类问题又分为大位移 问题及大位移大应变问题两大类。 转动）小应变问题及大位移大应变问题两大类 （转动）小应变问题及大位移大应变问题两大类。 研究意义：和材料非线性问题一样重要。例如，平板的弯曲问题， 研究意义：和材料非线性问题一样重要。例如，平板的弯曲问题， 大挠度理论分析结果更符合实际情况；薄壳的屈曲， 大挠度理论分析结果更符合实际情况；薄壳的屈曲，非线性理 论的预测值更好。又例如，对于橡皮型材料 橡皮型材料， 论的预测值更好。又例如，对于橡皮型材料，大变形还必须考 本构关系的变化，这与纯粹的材料非线性又有区别。 虑本构关系的变化，这与纯粹的材料非线性又有区别。 研究现状： 研究现状：大变形问题有限元分析的理论和方法存在不同学派间的 争鸣，尚未得到一个权威性的结论。随之并发的其它问题， 争鸣，尚未得到一个权威性的结论。随之并发的其它问题，如 解的稳定性、收敛性及收敛率等，都有待进一步深入研究。 解的稳定性、收敛性及收敛率等，都有待进一步深入研究。