第6讲 五心问题(奔驰定理)-新高考数学之平面向量综合讲义

第6讲 五心问题（奔驰定理）

一．选择题（共11小题）

1．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，若分别

满足下列四个条件：

①0aOA bOB cOC ++=

②tan tan tan 0A OA B OB C OC ++=

③sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ++=

④0OA OB OC ++=

则点O 分别为ABC ∆的( )

A ．外心、内心、垂心、重心

B ．内心、外心、垂心、重心

C ．垂心、内心、重心、外心

D ．内心、垂心、外心、重心

【解析】解：先考虑直角三角形ABC ，可令3a =，4b =，5c =，

可得(0,4)A ，(3,0)B ，(0,0)C ，设(,)O m n ，

①0aOA bOB cOC ++=，即为3(m -，4)4(3n m -+-，)5(n m -+-，)(0n -=，0)，

即有12120m -+=，12120n -+=，解得1m n ==，

即有O 到x ，y 轴的距离为1，O 在角BCA 的平分线上，且到AB 的距离也为1，

则O 为ABC ∆的内心；

③sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ++=， 即为24(25m -，244)(325

n m -+-，)0(n m -+-，)(0n -=，0)， 可得320m -=，420n -=，解得32m =

，2n =， 由5||||||2

OA OB OC ===，故O 为ABC ∆的外心； ④0OA OB OC ++=，可得(m -，4)(3n m -+-，)(n m -+-，)(0n -=，0)，

即为330m -=，430n -=，解得1m =，43

n =，

由AC 的中点D 为(0,2)，||DB =||OB ，即O 分中线DB 比为2:3， 故O 为ABC ∆的重心；

考虑等腰三角形ABC ，底角为30︒，

设(C -，(2,0)B ，(0,0)A ，(,)O x y ，

②tan tan tan 0A OA B OB C OC ++=，

即为x -，)y x -+

-，)1y x ---)(0y =，0)，

0+=10y +=，解得1x =-，y =

即(1,O -，由OC AB ⊥，33()1OA BC k k =-

=-，即有OA BC ⊥， 故O 为ABC ∆的垂心．

故选：D ．

2．已知O ，N ，P 在所在ABC ∆的平面内，且||||||,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且

PA PB PB PC PA PC ==，则O ，N ，P 分别是ABC ∆的( )

A ．重心 外心 垂心

B ．重心 外心 内心

C ．外心 重心 垂心

D ．外心 重心 内心 【解析】解：因为且||||||OA OB OC ==，所以0到顶点A ，B ，C 的距离相等，所以O 为ABC ∆的外心． 由PA PB PB PC PA PC ==得()0PA PC PB -=，即AC PB ，所以AC PB ⊥．

同理可证AB PC ⊥，所以P 为ABC ∆的垂心．

若0NA NB NC ++=，则NA NB NC +=-，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +==，所以2||||NE CN =， 所以N 是ABC ∆的重心．

故选：C ．

3．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是ABC ∆的外心、垂心，且M 为BC 中点，则( )

A ．33A

B A

C HM MO +=+

B ．33AB A

C HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+

D ．24AB AC HM MO +=-

【解析】解：如图所示的Rt ABC ∆，其中角B 为直角，则垂心H 与B 重合，

O 为ABC ∆的外心，OA OC ∴=，即O 为斜边AC 的中点，

又M 为BC 中点，∴2AH OM =， M 为BC 中点，∴22()2(2)4224AB AC AM AH HM OM HM OM HM HM MO +==+=+=+=-． 故选：D ．

4．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点(4,0)A ，(0,2)B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为( )

A ．230x y --=

B ．230x y +-=

C ．230x y -+=

D ．230x y --=

【解析】解：线段AB 的中点为(2,1)，12

AB k =-，

∴线段AB 的垂直平分线为：2(2)1y x =-+，即230x y --=，

AC BC =，

∴三角形的外心、重心、垂心依次位于AB 的垂直平分线上，

因此ABC ∆的欧拉线方程为230x y --=，

故选：D ．

5．在四面体P ABC -中，PA BC ⊥，PC AB ⊥，点P 在面ABC 上的射影为点H ，则点H 为ABC ∆的(

)

A ．重心

B ．外心

C ．内心

D ．垂心

【解析】解：作出P 在底面的射影H ，连结AH ，CH ，

AH ∴，CH ，分别为PA ，PC 在平面ABC 内的射影，

PA BC ⊥，PC AB ⊥，

由三垂线逆定理得：HA BC ⊥，HC AB ⊥，

H ∴为三角形ABC 的垂心．

故选：D ．

6．若点P 在平面ABC 内射影为O ，且PA BC ⊥，PB AC ⊥，则点O 为ABC ∆的(

) A ．重心 B ．外心 C ．内心 D ．垂心

【解析】解：点P 在平面ABC 内射影为O ，连结AO ，BO ，

则PO AO ⊥，0PO B ⊥，PO BC ⊥，PO BC ⊥

PA BC ⊥，PO BC ⊥，PA PO P =

BC ∴⊥面PAO ，

AO ⊂面PAO ，