数学实验 Mathematic实验九 无穷级数讲解

天水师范学院数学与统计学院

实验报告

实验项目名称无穷级数

所属课程名称数学实验

实验类型微积分实验

实验日期2011.11.16

班级

学号

姓名

成绩

fx=Normal[Series[Exp[x]，{x，0，3}]]

Plot[fx，{x，-3，3}]

则只能得到去掉余项后的展开式，得不到函数的图形，这时要使用强制求值命令Evaluate，改成输入

Plot[Evaluate[fx]，{x，-3，3}]

便可以得到函数的图形

5.作散点图命令ListPlot.

ListPlot[Table[j^2，{j，16}]，PlotStyle PointSize[0.012]] 6.用符号“／；”定义分段函数.

符号“／；”用于定义某种规则，“／；”后面是条件，例如输入Clear[g，gf]；

g[x_]:=x/；0x<1

g[x_]:=-x/；-1x<0

g[x_]:=g[x-2]/；x 1

gf=Plot[g[x]，{x，-1，6}]

用which命令也可以定义分段函数，从这个例子中看到，用“…(表达式)/；…(条件)”来定义周期性分段函数更方便些.用Plot命令可以作出分段函数的图形，但用Mathematica命令求分段函数的导数或积分时往往会有问题.用which定义的分段函数可以求导，但不能积分.Mathematica内部函数中有一些也是分段函数，如：Mod[x，1]，Abs[x]，Floor[x]和Unitstep[x].其中只有单位阶跃函数Uniltstep[x]可以用Mathematica命令来求导和求定积分,因此在求

ListPlot[vals，PlotStyle PointSize[0.012]] Sum[a[n]，{n，1，Infinity}]

2.求幂级数的收敛域.

例9.4 求

2

4(3)

1

n n

n

x

n

∞

=

-

+

∑

收敛域与和函数.

Clear[a]；

a[n_]=4^(2n)*(x-3)^n/(n+1)；

stepone=a[n+1]/a[n]//Simplify

steptwo=Limit[stepone，n Infinity]

ydd=Solve[steptwo1，x]

zdd=Solve[steptwo-1，x]

Simplify[a[n]/.x(49/16)]

Simplify[a[n]/.x(47/16)]

Sum[4^(2n)*(x-3)^n/(n+1)，{n，0，Infinity}] 3.函数的幂级数展开.

例9.5 求cos x的6阶麦克劳林展开式.

Series[Cos[x]，{x，0，6}]

例9.6 求ln x在1

x=处的6阶泰勒展开式.

Series[Log[x]，{x，1，6}]

例9.7 求arctan x的5阶麦克劳林展开式.

ser1=Series[ArcTan[x]，{x，0，5}]；

poly=Normal[ser1]

Plot[Evaluate[{ArcTan[x]，poly}]，{x ，-3/2，3/2}，PlotStyle {Dashing[{0.01}]，GrayLevel[0]}，AspectRatio 1]

例9.8 求

2

2

(1)(1)x x e --+在1x =处的8阶泰勒展开，并通过作图比较函

数和它的近似多项式.

Clear[f]；

f[x_]=Exp[-(x-1)^2*(x+1)^2]； poly2=Normal[Series[f[x]，{x ，1，8}]] Plot[Evaluate[{f[x]，poly2}]，{x ，-1.5，1.5}，PlotRange {-2，3/2}，PlotStyle {Dashing[{0.01}]，GrayLevel[0]}]

例9.9 求函数x sin 在0=x 处的3，5，7，…，9l 阶泰勒展开，通过作图比较函数和它的近似多项式，并形成动画进一步观察.

Do[Plot[{Sum[(-1)^j*x^(2j+1)/(2j+1)!，{j ，0，k}]，Sin[x]}，{x ，-40，40}，PlotStyle {RGBColor[1，0，0]，RGBColor[0，0，

1]}]，{k ，1，45}] 4.傅里叶级数.

例9.10 设()f x 是周期为2的周期函数它在一个周期内的表达式为

1,01

(),10x f x x x ≤<⎧=⎨

--≤<⎩

求它的傅立叶级数展开式的前5项和前8项，作出()f x 和它的近似三角级数的图形.

Clear[f ，a ，b ，fs ，L]； f[x_]:=1/；0x<1 f[x_]:=-x/；-1x<0 f[x_]:=f[x-2]/；1x gf=Plot[f[x]，{x ，-1，5}] Clear[L ，a ，b ，fs ，f1，f2]； L=1；

a[n_]:=(Integrate[-x*Cos[n*Pi*x/L]

，

{x

，

-L

，

0}]+Integrate[Cos[n*Pi*x/L]，{x ，0，L}])/L

b[n_]:=(Integrate[-x*Sin[n*Pi*x/L]

，

{x

，

-L

，

0}]+Integrate[Sin[n*Pi*x/L]，{x ，0，L}])/L

fs[k_，x_]:=a[k]*Cos[k*Pi*x/L]+b[k]*Sin[k*Pi*x/L] fourier[n_，x_]:=a[0]/2+Sum[fs[k ，x]，{k ，1，n}] f1=fourier[5，x]//N f2=fourier[10，x]//N

Plot[Evaluate[{f[x]，f1}]，{x ，-1，5}，PlotStyle {GrayLevel[0]，GrayLevel[0.4]}]

Plot[Evaluate[{f[x]，f2}]，{x ，-1，5}，PlotStyle {GrayLevel[0]，GrayLevel[0.4]}]

设)(x g 是以2Pi 为周期的周期函数，它在],[ππ-的表达式是

1,0()1,0x g x x ππ--≤<⎧=⎨

≤<⎩，