数学实验 Mathematic实验九 无穷级数讲解
最新实验1无穷级数(基础实验)
实验1无穷级数(基础实验)项目四无穷级数与微分方程实验1 无穷级数（基础实验）实验目的观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的逼近. 掌握用Mathematica求无穷级数的和, 求幂级数的收敛域, 展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数的方法.基本命令1. 求无穷和的命令Sum该命令可用来求无穷和. 例如,输入Sum[1/n^2,{n,l,Infinity}]则输出无穷级数的和为«Skip Record If...»命令Sum与数学中的求和号«Skip Record If...»相当.2. 将函数展开为幂级数的命令Series该命令的基本格式为Series[f[x],{x,x0,n}]它将«Skip Record If...»展开成关于«Skip Record If...»的幂级数. 幂级数的最高次幂为«Skip Record If...»余项用«Skip Record If...»表示. 例如,输入Series[y[x],{x,0,5}]则输出带皮亚诺余项的麦克劳林级数«Skip Record If...»3. 去掉余项的命令Normal在将«Skip Record If...»展开成幂级数后, 有时为了近似计算或作图, 需要把余项去掉. 只要使用Normal命令. 例如,输入Series[Exp[x],{x,0,6}]Normal[%]则输出«Skip Record If...»«Skip Record If...»4. 强制求值的命令Evaluate如果函数是用Normal命令定义的, 则当对它进行作图或数值计算时, 可能会出现问题. 例如,输入fx=Normal[Series[Exp[x],{x,0,3}]]Plot[fx,{x,-3,3}]则只能输出去掉余项后的展开式«Skip Record If...»而得不到函数的图形. 这时要使用强制求值命令Evaluate, 改成输入Plot[Evaluate[fx],{x,-3,3}]则输出上述函数的图形.5. 作散点图的命令ListPlotListPlot [ ]为平面内作散点图的命令, 其对象是数集,例如,输入仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢127ListPlot[Table[j^2,{j,16}],PlotStyle->PointSize[0,012]]则输出坐标为«Skip Record If...»的散点图(图1.1).图1.16. 符号“/；”用于定义某种规则,“/；”后面是条件. 例如,输入Clear[g,gf];g[x_]:=x/;0<=x<1g[x_]:=-x/;-1<=x<0g[x_]:=g[x –2]/;x>=1则得到分段的周期函数«Skip Record If...»再输入gf=Plot[g[x],{x,-1,6}]则输出函数«Skip Record If...»的图形1.2.图1.2注:用Which 命令也可以定义分段函数, 从这个例子中看到用“…(表达式)/; …(条件)”来 定义周期性分段函数更方便些. 用Plot 命令可以作出分段函数的图形, 但用Mathematica 命 令求分段函数的导数或积分时往往会有问题. 用Which 定义的分段函数可以求导但不能积 分. Mathematica 内部函数中有一些也是分段函数. 如:Mod[x,1],Abs[x],Floor[x]和UnitStep[x]. 其中只有单位阶跃函数UnitStep[x]可以用Mathematica 命令来求导和求定积分. 因此在求分 段函数的傅里叶系数时, 对分段函数的积分往往要分区来积. 在被积函数可以用单位阶跃函数UnitStep的四则运算和复合运算表达时, 计算傅里叶系数就比较方便了.实验举例数项级数例1.1 (教材例1.1)(1)观察级数«Skip Record If...»的部分和序列的变化趋势.(2) 观察级数«Skip Record If...»的部分和序列的变化趋势.输入s[n_]=Sum[1/k^2,{k,n}];data=Table[s[n],{n,100}];ListPlot[data];N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}]]N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}],40]则输出(1)级数的近似值为1.64493.输入s[n_]=Sum[1/k,{k,n}];data=Table[s[n],{n,50}];ListPlot[data,PlotStyle->PointSize[0.02]];则输出(2)例1.2 (教材例1.2) 画出级数«Skip Record If...»的部分和分布图.输入命令Clear[sn,g];sn=0;n=1;g={};m=3;While[1/n>10^-m,sn=sn+(-1)^(n-1)/n;g=Append[g,Graphics[{RGBColor[Abs[Sin[n]],0,1/n],仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127Line[{{sn,0},{sn,1}}]}]];n++];Show[g,PlotRange->{-0.2,1.3},Axes->True];则输出所给级数部分和的图形（图1.5）,从图中可观察到它收敛于0.693附近的一个数.例1.3 求«Skip Record If...»的值.输入Sum[x^(3k),{k,1,Infinity}]得到和函数«Skip Record If...»例1.4 (教材例1.3)设«Skip Record If...»求«Skip Record If...».输入Clear[a];a[n_]=10^n/(n!);vals=Table[a[n],{n,1,25}];ListPlot[vals,PlotStyle->PointSize[0.012]]则输出«Skip Record If...»的散点图（1.6）,从图中可观察«Skip Record If...»的变化趋势. 输入 Sum[a[n],{n,l,Infinity}]图1.6求幂级数的收敛域例1.5 (教材例1.4)求«Skip Record If...»的收敛域与和函数.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127输入Clear[a];a[n_]=4^(2n)*(x-3)^n/(n+1);stepone=a[n+1]/a[n]//Simplify则输出«Skip Record If...»再输入steptwo=Limit[stepone,n->Infinity]则输出«Skip Record If...»这里对a[n+1]和a[n]都没有加绝对值. 因此上式的绝对值小于1时, 幂级数收敛; 大于1 时发散. 为了求出收敛区间的端点, 输入ydd=Solve[steptwo==1,x]zdd=Solve[steptwo==-1,x]则输出«Skip Record If...»由此可知,当«Skip Record If...»时,级数收敛,当«Skip Record If...»或«Skip Record If...»时,级数发散.为了判断端点的敛散性, 输入Simplify[a[n]/.x->(49/16)]则输出右端点处幂级数的一般项为«Skip Record If...»因此,在端点«Skip Record If...»处,级数发散. 再输入Simplify[a[n]/.x->(47/16)]则输出左端点处幂级数的一般项为«Skip Record If...»因此,在端点«Skip Record If...»处, 级数收敛.也可以在收敛域内求得这个级数的和函数. 输入Sum[4^(2n)*(x-3)^n/(n+1),{n,0,Infinity}]则输出«Skip Record If...»函数的幂级数展开例1.6 (教材例1.5)求«Skip Record If...»的6阶麦克劳林展开式.输入Series[Cos[x],{x,0,6}]则输出«Skip Record If...»注:这是带皮亚诺余项的麦克劳林展开式.例1.6 (教材例1.6)求«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的6阶泰勒展开式.输入Series[Log[x],{x,1,6}]则输出«Skip Record If...»例1.7 (教材例1.7) 求«Skip Record If...»的5阶泰勒展开式.输入仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127serl=Series[ArcTan[x],{x,0,5}];Poly=Normal[serl]则输出«Skip Record If...»的近似多项式«Skip Record If...»通过作图把«Skip Record If...»和它的近似多项式进行比较. 输入Plot[Evaluate[{ArcTan[x],Poly}],{x,-3/2,3/2},PlotStyle->{Dashing[{0.01}],GrayLevel[0]},AspectRatio->l]则输出所作图形（图1.7.例1.9 求«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的8阶泰勒展开, 并通过作图比较函数和它的近似多项式.输入Clear[f];f[x_]=Exp[-(x-1)^2*(x+1)^2];poly2=Normal[Series[f[x],{x,1,8}]]Plot[Evaluate[{f[x],poly2}],{x,-1.75,1.75},PlotRange->{-2,3/2},PlotStyle->{Dashing[{0.01}],GrayLevel[0]}]则得到近似多项式和它们的图1.8.«Skip Record If...»«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127图1.8例1.10 求函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的«Skip Record If...»阶泰勒展开, 通过作图比较函数和它的近似多项式, 并形成动画进一步观察.因为«Skip Record If...»所以输入Do[Plot[{Sum[(-1)^j*x^(2j+1)/(2j+1)!,{j,0,k}],Sin[x]},{x,-40,40},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]}],{k,1,45}]则输出为«Skip Record If...»的3阶和91阶泰勒展开的图形. 选中其中一幅图形,双击后形成动画. 图1.9是最后一幅图.例1.11 利用幂级数展开式计算«Skip Record If...»(精确到«Skip Record If...»).因为«Skip Record If...»根据«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的展开式有«Skip Record If...»故前«Skip Record If...»项部分和为«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127输入命令s[n_]=3(1-1/(5*3^4)-Sum[Product[5i-1,{i,1,k-1}]/(5^k k!3^(4k)),{k,2,n-1}]);r[n_]=Product[5i-1,{i,1,n-1}]/5^n/n!3^(4n-5)/80;delta=10^(-10);n0=100;Do[Print["n=",n,",","s[n]=",N[s[n],20]];If[r[n]<delta,Break[]];If[n==n0,Print["failed"]],{n,n0}]则输出结果为«Skip Record If...»傅里叶级数例1.12 (教材例1.8) 设«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为周期的周期函数,它在«Skip Record If...»的表达式是«Skip Record If...»将«Skip Record If...»展开成傅里叶级数.输入Clear[g];g[x_]:=-1/;-Pi<=x<0g[x_]:=1/;0<=x<Pig[x_]:=g[x-2Pi]/;Pi<=xPlot[g[x],{x,-Pi,5 Pi},PlotStyle->{RGBColor[0,1,0]}];则输出«Skip Record If...»的图形 (图1.10).因为«Skip Record If...»是奇函数, 所以它的傅里叶展开式中只含正弦项. 输入b2[n_]:=b2[n]=2 Integrate[1*Sin[n*x],{x,0,Pi}]/Pi;fourier2[n_,x_]:=Sum[b2[k]*Sin[k*x],{k,1,n}];tu[n_]:=Plot[{g[x],Evaluate[fourier2[n,x]]}, {x,-Pi,5 Pi},PlotStyle->{RGBColor[0,1,0],RGBColor[1,0.3,0.5]},DisplayFunction->Identity];(*tu[n]是以n为参数的作图命令*)tu2=Table[tu[n],{n,1,30,5}];(*tu2是用Table命令作出的6个图形的集合*)toshow=Partition[tu2,2];(*Partition是对集合tu2作分割, 2为分割的参数*)Show[GraphicsArray[toshow]](*GraphicsArray是把图形排列的命令*)则输出6个排列着的图形（图1.11）,每两个图形排成一行. 可以看到«Skip Record If...»越大, «Skip Record If...»的傅里叶级数的前«Skip Record If...»项和与«Skip Record If...»越接近.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127实验习题1.求下列级数的和:(1)«Skip Record If...» (2)«Skip Record If...» (3)«Skip Record If...» (4)«SkipRecord If...»2. 求幂级数«Skip Record If...»的收敛域与和函数.3. 求函数«Skip Record If...»的6阶麦克劳林多项式.4. 求«Skip Record If...»的6阶麦克劳林多项式.5. 设«Skip Record If...»,求«Skip Record If...»的5阶和10阶麦克劳林多项式,把两个近似多项式和函数的图形作在一个坐标系内.6. 设«Skip Record If...»在一个周期内的表达式为«Skip Record If...», 将它展开为傅里叶级数(取6项), 并作图.7. 设«Skip Record If...»在一个周期内的表达式为«Skip Record If...», 将它展开为傅里叶级数(取8项), 并作图.8. 求级数«Skip Record If...»的和的近似值.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢127。
用Mathematica进行级数运算
algebra\symboblic.m。 algebra\symboblic.m。 Sum[（ Sum[（-1）^(n+1)*x^n/n,{n,1,Infinity}] 求级数的和，输出结果为Log[1+x] \求级数的和，输出结果为Log[1+x] 还可确定收敛域，只需要执行下列各条命令： 还可确定收敛域，只需要执行下列各条命令： Clear[f,a,b,n] :=（ f[x_] :=（-1）^(n+1)*x^n/n; a[n_]:=（ a[n_]:=（-1）^(n+1) /n; b=Limit[a[n]/a[n+1],nb=Limit[a[n]/a[n+1],n->Infinity]; Print[“R= R=”,Abs[b]] 确定收敛半径为1 Print[ R= ,Abs[b]] \确定收敛半径为1 Sum[f[1],{n,1,Infinity}] \确定原级数在x=1处收 确定原级数在x=1处收 x=1 敛于Log[2] 敛于Log[2] Sum[f[确定原级数在x= x=Sum[f[-1],{n,1,Infinity}] \确定原级数在x=-1处 发散 因而原级数收敛域为（ 因而原级数收敛域为（-1，1]
n =1
xn n
（二）函数展开成幂级数 （1）将 sin x 在 x = 0 处展开到
x 的5次幂
1 处展开到( 1)的 （ 2） 将 在 x = 1 处展开到( x-1)的3次幂 3 x
1 处展开到( 1)的 （ 3） 将 在 x = 1 处展开到( x-1)的3次 x+ y
幂，在 y = 1 处展开到 ( y 1) 的2次幂
边学边做： 边学边做 求和：Sum命令 （一）求和：Sum命令 （1）求有限项的和 ∑ n2
Mathematic在数学中的应用
五、四种软件的比较
选用何种数学软件? 如果仅仅是要求一般的计算或者是普通用户日常使用， 首选的是MathCAD，它在高等数学方面所具有的能力，足 够一般客户的要求，而且它的输入界面也特别友好。 如果要求计算精度、符号计算和编程方面的话，最好同 时使用Maple和Mathematica，它们在符号处理方面各具特 色，有些Maple不能处理的，Mathematica却能处理，诸如 某些积分、求极限等方面，这些都是比较特殊的。 如果要求进行矩阵方面或图形方面的处理，则选择 MATLAB，它的矩阵计算和图形处理方面则是它的强项，同 时利用MATLAB的NoteBook功能，结合Word6.0/7.0的编辑 功能，可以很方便地处理科技文章。
比较如下的输入方式
若采用浮点数输入，则计算结果为近似值 （1）1./3+2/5 （2）2^100 （3）2.^100
一个是精确计算2的100次方，一个是近似计算2 的100次方
2：常数与函数
Mathematica软件中提供了数学上通用的一些常 数,下表中给出了其中一部分常数 常数 Pi E I 数学含义 圆周率 常数 Infinity 数学含义 正无穷大
Mathematica的进一步说明
它吸取了不同类型软件的一些优点： （1）具有BASIC的简单易学的交互式方法 （2）具有MathCAD\Matlab那样强的数值计算能力 （3）具有Maple的和SMP那样的符号计算能力 （4）具有APL和LISP那样的人工智能列表处理能力 （5）像C和PASCAL那样的结构化设计语言 Mathematica的开发者 Stephen Wolfram是Mathematica的创始人，并被公认为是 当今科学计算的先驱。 Wolfram1959年出生于伦敦。他曾在 牛津大学和加州理工学院接受教育，15岁发表了第一篇科技 论文，1979年20岁时在加州理工学院获得理论物理学博士学 位。 他从1973年开始使用计算机，1981年主持开发了第一个计算 机代数系统SMP。
高等数学：无穷级数
化 为小数时,就会出现无限循环小
数,即 =0.3·.现在我们分析一下0.3·,看从中能得到什么 样的
表现形式:
无穷级数
无穷级数
1
这样, 这个有限的量就被表示成无穷多个数相加的形式.
3
从这个例子我们可以看出, 无穷多个数相加可能得到一个确
定的有限常数.也就是说,在一定条件下,无穷多个数相 加是有
无穷级数
无穷级数
无穷级数
三、 无穷级数的性质
性质10-1 若级数
也收敛,且收敛于kS.即,若
收敛于S,则对任意常数k,级数
则有
这说明,级数的每一项同乘以一个不为零的常数后,它的
敛散性不改变.
无穷级数
性质10-2 若级数
数
则有
分别收敛于S1 和S2,则级
也收 敛,且收敛于S1 ±S2.即,若
无穷级数
直接展开法的具体步骤为:
有直接展开
无穷级数
2.间接展开法
无穷级数
无穷级数
无穷级数
无穷级数
三、 幂级数的应用
1.利用幂级数进行近似计算
无穷级数
例10-21 【付款的现值问题】某基金会与一个学校签约,
合同规定基金会每年支付 300万元人民币用以资助教育,有效
期为10年,总资助金额为3000万元人民币.自签约之 日起支付
设想公式 (10-7)的项 数趋向无穷而成为幂级数,即
式(10-10)称为f(x)在点x0 处的泰勒级数.
无穷级数
当x0 =0时,幂级数
称为f(x)的麦克劳林级数.
无穷级数
无穷级数
无穷级数
二、 将函数展开成幂级数
将函数f(x)展开成x 的幂级数
(完整版)Mathematica——常微分方程、拉氏变换与级数实验
创3.5 常微分方程、拉氏变换与级数实验[学习目标]1. 会用Mathematica 求解微分方程(组)；2. 能用Mathematica 求微分方程(组)的数值解；3. 会利用Mathematica 进行拉氏变换与逆变换；4. 能进行幕级数和傅里叶级数的展开。
一、常微分方程(组)Mathematica 能求常微分方程(组)的准确解，能求解的类型大致覆盖了人工求解的范围， 功能很强。
但不如人灵活(例如在隐函数和隐方程的处理方面)，输出的结果与教材上的答 案可能在形式上不同。
另外，Mathematica 求数值解也很方便，且有利于作出解的图形。
在本 节中，使用Laplace 变换解常微分方程(组)的例子也是十分成功的，过去敬而远之的方法 如今可以轻而易举的实现了。
求准确解的函数调用格式如下： DSolve[eqn ,y[x] ,x] 求方程 eqn 的通解 y(x )，其中自变量是X 。
DSolve[{eqn ，y[x o ]= =y 0}，y[x]，x] 的特解y (x )。
DSolve[｛eqn1，eqn2，—｝，｛y 1 [x]，y 2[x]，…｝，x]求方程组的通解。
DSolve[｛equ1，…，y 1[x 0]= =y 10，…｝，｛y 1[x]，y 2[x]，…｝，x] 求方程组的特解。
说明：应当特别注意，方程及各项参数的表述方式很严格，容易出现输入错误。
微分方 程的表示法只有通过例题才能说清楚。
例1 解下列常微分方程(组)：52(1) y 斗(x 1)2，(2) y - y 3 ，(3)x 1(x x ) y解：In[1]: =DSolve[y ' [x]= =2y[x]/ (x+1) + (x+1) A (5/2)，y[x]，x]Out[1]=y[x] i (1 x)7/2 (1 x)2c[1]In[2]: =DSolve[y ' [x]= = (1+y[xF2 ) /((x+xA3 ) y[x])，y[x]，x]求满足初始条件y ( x o ) = y o(4)的通解及满足初始条件y (0) =0, z (0) =1的特解。
高等数学无穷级数
1 n(ln n)
的收敛速度作比较。
注2.假设在做题的时候，利用这类判别法，需要陈述 Gauss判别法，或者Raabe判别法。
例：设 {un },{cn } 为正实数列，试证：
（1）若对所有的正整数
n
满足：cnun
c u n1 n1
0
，且
n1
1 cn
发散，则 un 也发散；
注2.前面的比值和根值判别法都是将级数通项收敛 速度与等比级数做比较。Raabe判别法则是将通项 收敛速度与p级数的通项作比较。
Gauss判别法：若有如下关系式
un 1 1 ( 1 )
un1
n nln n nln n
则当 1 ，级数 ui 收敛；
i 1
当
1 时，级数
uiБайду номын сангаас
发散。
i 1
（1）比值与根值判别法（定理9-4,5）
n1
un
是正项级数，如果
则
lim un1
u n n
(un 0),
或者lim n n
un
.
（i） ( 1)
n1
un
收敛；
（ii）( 1)
n1
un
发散。
注：特别强调
第一：当上述定理中的 1 时，对于级数的敛散
性无法作出判断，比如对p级数，该判断方法失效； 但是有时候可以根据具体情况加以分析，见例9-11 与9-12。
如果在逻辑上严谨些，应该用余级数概念，或者 就将这个余级数称为余和，即记
rn uk 称为级数 uk 的余级数（或余和）。
k n1
k 1
这里的 rn仅具有形式符号的意义，并不代表数。
无穷级数课堂讲解
无穷级数课堂讲解
无穷级数是数学中的一个重要概念，它在实际问题中有广泛的应用。
在无穷级数课堂讲解中，我们将探讨无穷级数的定义、性质、公式以及应用。
首先，让我们了解无穷级数的定义。
无穷级数是一种数学表达式，其中项的数量无限增加，但项的值无限趋近于一个常数。
例如，无穷级数
{1,2,3,4,5,......}中的项数无限增加，但每一项的值都等于 5。
接下来，我们来学习无穷级数的性质。
无穷级数的性质包括：极限、递推、级数收敛性等。
其中，极限是指无穷级数中的项数无限增加时，每一项的值与极限值之间的差值趋近于 0。
递推是指无穷级数可以通过递推公式进行推导。
级数收敛性是指无穷级数的每一项是否趋近于一个常数。
此外，我们还需要考虑无穷级数的应用。
无穷级数在物理学、经济学、工程学等领域中都有广泛的应用。
例如，在物理学中，无穷级数可以用来描述运动物体的速度和加速度;在经济学中，无穷级数可以用来描述市场需求和供应的关系;在工程学中，无穷级数可以用来描述材料的应力和应变关系。
最后，我们来学习无穷级数的公式。
无穷级数的公式包括：常数项级数、常数项和导数项级数、幂级数等。
这些公式可以帮助我们更好地理解和应用无穷级数。
总结起来，在无穷级数课堂讲解中，我们将深入了解无穷级数的定义、性质、公式以及应用。
通过学习无穷级数，我们将能够更好地理解数学概念，并在实际问题中应用数学知识。
用Mathematica进行级数运算
的和
2．设 f ( x)
1 1 2x
,将 f ( x) 展开到 ( x 2) 的4阶幂级数
3．将y=sin(xex)在点（0,0）处展开到x的7次幂 ４.将z=xy在（2,3)处展开为x的３次幂，y的４次 幂。
二、应用部分
(1)利用函数z=xy的五阶泰勒展开式，计算
1.1011.021的近似值. (2)作出y=sinx的图形和函数的幂级数展开式的图形 （选取不同的x0和n），将图形进行比较，并总结 规律。
实验五 用Mathematica进行级数运算
实验目的：学会利用Mathematica进行级数求和、 函数幂级数展开 预备知识：
（一）求和符号∑用法及相关知识 （二）级数的敛散性及其确定 （三）函数展开为幂级数相关知识 （四）Mathematica中求和及级数运算相关命令
边学边做： （一）求和：Sum命令 （1）求有限项的和 n2
6 n 1
n
（2）分别求级数
1 n 1 n(n 1)
与
1 n 1 n
n 1
的和，并判定敛散性
（3）分别求级数 收敛域
xn 与 n 0 n!
(1)
n 1
xn n
的和函数并确定其
（二）函数展开成幂级数 （1）将 sin x 在 x 0 处展开到
x 5次幂 的
注：使用Series命令将函数在指定点按指点阶数展开 时，结果是级数形式，其特征是以o[x]^n作为结尾， 这种数据称为级数型数据，不便进行计算，也不能 直接画图，在使用时，可以将其转换为多项式，然 后再计算。需使用命令： Normal[Series] 如：a=Series[1/(1-x),{x,0,5}]，结果为
关于无穷级数以及无穷乘积的一些简单知识
高等数学吧
楼主：ygc136441788
关于无穷级数以及无穷乘积的计算许多都比较麻烦，现在楼主今天分享一些比较简单的计算方法。
至于级数以及乘积的收敛性教材讲解比较多，楼主今天不在重复，今天主要讲解一些计算。
一楼几个比较重要的无穷级数以及无穷乘积镇楼。
目录：
1：无穷级数的一些计算方法
裂项法、利用常用函数展开、微分方程、逐项微分与积分、运用留数定理以及一些特殊函数2：无穷乘积的一些计算方法
希望大家不要插楼，谢谢。
无穷级数解法一：裂项法
2无穷级数解法二：利用常用函数展开
无穷级数解法三：逐项微分积分
这一部分在教材比较多，不做详解。
无穷级数解法四：解微分方程
无穷级数解法无：留数定理的运用
无穷乘积的简单介绍;
几个简单的无穷乘积：
有理多项式的无穷乘积：
今天楼主想说的差不多完了，以上只是楼主一些简单介绍，有错误希望见谅。
像往常一样留几个问题。
补充一些zeta函数相关的
还有一类很相似的
There's one question I want to ask，how to find the original equation if the sum of roots or product of roots are given？I found it difficult when I tried to reslove an infinite product through the concept of vieta's formula？
for example，
这个问题相当於证明你给的那个四个等式。
课件：实验八 无穷级数与函数逼近
解：根据幂级数的展开公式，若 f ( x) 能展开成 x 的幂级数，
其展示为
f (x) n1
f (n)(0) n!
xn
，因此首先定义函数，再计算
x 0 点的 n 阶导数，最后构成和式。
2021/7/4
7
实验八 无穷级数与函数逼近
不妨设 m 1 ，输入命令如下：
命令中的函数 s[n_,x_]表示的是函数 f ( x) 在 x0 处的 n 阶泰 勒级数前 n 项的和。
（a）利用“Table”命令生成部分和数列的数据点集后作点 图，输入语句如下：
0.792
0.790
0.788
0.786 Out[2]=
0.784
0.782
0.780
100
200
从图中可以看到级数收敛，级数和大约为 0.786。
2021/7/4
300
400
3
实验八 无穷级数与函数逼近 （b）将级数的所有部分和用竖直线段画出，得到类似条形码 的图形，通过这种图形来看出级数的收敛性。输入命令如下：
：
下面通过以下命令观察幂级数的部分和逼近函数的情况：
2021/7/4
8
实验八 无穷级数与函数逼近
运行后输出图形：
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2021/7/4
2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0
如果函数 f ( x) 在 x0 邻域内具有任意阶导数，则函数可以展
开为 x0 处的幂级数：
无穷级数重要知识点总结
无穷级数重要知识点总结一、无穷级数的定义1.1 无穷级数的概念无穷级数是一种特殊的数列求和形式。
它由一个无穷数列的项之和构成，通常表示为a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，其中a1, a2, a3, ...是数列的项。
无穷级数的和是用极限的概念来定义的，即当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和趋于一个确定的数。
1.2 无穷级数的收敛和发散无穷级数有两种基本的收敛性质：收敛和发散。
当无穷级数的和存在时，我们称这个级数是收敛的；当无穷级数的和不存在时，我们称这个级数是发散的。
1.3 无穷级数的通项无穷级数的通项是指级数中每一项的公式表示。
通项的形式多种多样，可以是一个简单的代数式，也可以是一个复杂的函数表达式。
通项的形式对于判断无穷级数的收敛性有着重要的作用。
二、无穷级数的性质2.1 无穷级数的加法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的和也存在，并且等于这两个级数的和的和。
即∑(ai + bi) = ∑ai + ∑bi。
2.2 无穷级数的乘法性质如果无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...和无穷级数b1 + b2 + b3 + ... + bn + ...都存在，那么它们的乘积也存在，并且等于这两个级数的乘积的和。
即(∑ai) * (∑bi) = ∑(ai * bi)。
2.3 无穷级数的极限性质当n趋向无穷时，无穷级数的前n项和会趋于一个确定的数。
这个极限的存在性和确定性是无穷级数的一个重要性质。
2.4 无穷级数的收敛性质对于一个给定的无穷级数，我们需要研究它的收敛性质，即它是否收敛、以及收敛到哪个数。
无穷级数的收敛性质对于很多数学问题有着深远的影响。
2.5 无穷级数的发散性质发散是无穷级数的另一个重要性质，它表示无穷级数的和不存在。
无穷级数与函数逼近实验指导
基础实验：
1.观察 的部分和序列的变化趋势，并求和。
2.（1）分别将 ， ， 在点 处展开到 的5次幂。
（2）将 在点 处展开到 的4次幂。
3.利用幂级数展开式计算
4.设周期为 的周期函数 在一个周期内的表达式为
试生成 ห้องสมุดไป่ตู้傅里叶级数，并从图上观察该级数的部分和逼近 的情况。
综合实验：
1．设 是周期为 的周期函数，它在 上的表达式为 ，将 分解成简谐振动的叠加形式。
2．试在同一屏幕上作出 及它的 阶傅里叶多项式 的图形，观察 逼近 的情况。
无穷级数与函数逼近实验指导
实验所用软件及版本： 4.0
实验目的：
（1）掌握用 软件进行级数运算、求傅立叶级数的语句和方法；
（2）用 软件显示级数的部分和变化趋势；
（3）学会如何利用幂级数的部分和对函数的逼近以及进行函数值的近似计算；
（4）展示傅里叶级数对周期函数的逼近情况。
实验涉及的语句：
语句一：求级数的和（和函数），其中 为级数的通项， 为 的起始值， 为终止值，当从1开始时， 可以省略。
高等数学-九-无穷级数
第九章无穷级数无穷级数是函数逼近与近似计算的重要工具。
本章主要讨论⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧--⎪⎩⎪⎨⎧---和函数展开收敛性傅立叶级数和函数展开收敛性幂级数函数项级数条件收敛绝对收敛任意项级数莱布尼兹审敛法交错级数根值法比值法比较法正项级数常数项级数级数,,,,,,,基本概念基本性质收敛域和函数§1、数项级数的基本概念与性质一、基本概念定义1（级数）设有无穷数列，称形式和{}∞1n u++++n u u u 21为无穷级数，简称级数，记为，即∑∞=1n n u ,211++++=∑∞=n n nu u u u其中每个数均称为级数的项，数称为级数的一般项或通项，级数的前n 项和n unnk k n u u u u s +++==∑= 211称为级数的部分和数列。
研究级数的基本问题：1、判定级数是否收敛——无穷个数相加是否等于一个有限数（级数的和）；2、当级数收敛时，如何求其和。
判定级数收敛或发散的方法统称为审敛法。
熟练掌握针对各种级数的审敛法是学习的主要内容。
定义2（敛散性）设有级数，其部分和为，则n s ∑∞=1n nu∑∞=1n nu1、级数收敛此时，称s 为级数的和，并记,lim s s n n =⇔∞→∃;1s un n=∑∞=2、级数发散不存在。
∑∞=1n nun n s ∞→⇔lim 显然，收敛级数才有和，发散级数无和；任何级数要不收敛，要不发散，两者不可兼得。
利用敛散性定义可以判定一些级数的敛散性，并求出收敛级数的和。
【例1】判定级数的敛散性。
∑∞=+1)1(1n n n 〖解〗由分项分式),2,1(111)1(1 =+-=+k k k k k 得级数部分和为)1(1431321211+++⋅+⋅+⋅=n n s n )111()4131()3121()211(+-++-+-+-=n n111+-=n s n 故n n s ∞→lim )111(lim +-=∞→n n 1=于是，原级数收敛，且和为1，即.1)1(11=+∑∞=n n n □练习：判定下列级数∑∞=-+1)1(n n n 的敛散性。
《数学物理方法教学课件》无穷级数 共10页PPT资料
考虑复数序列 u n u 0 ,u 1 ,u 2 , ,u n ,
将各项相加就得到一个复数级数：
unu0u1u2 un
n0
如果这个级数的部分和
S n u 0 u 1 u 2 u n
构成的序列 S n 收敛，就说级数是收敛的。
S
u 5 v 0 u 5 v 1 u 5 v 2 u 5 v 3 u 5 v 4 u 5 v 5
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5
函数级数
如果复数级数的每一项都是
定义在区域 G中的复变函数
unun z
所得到的级数叫做函数级数： Sz unz
n0
若函数级数在 G 内的每一点都收敛，则它在 G
z a lim n 1 R c n
n
R a
在收敛圆内，级数绝对收敛，在收敛
圆外，级数发散。
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9
谢谢！
xiexie!
内收敛，是 G 内的单值函数。
如果对任意给定的 0，存在一个与 z无关的
整数 N ，使得当 nN时，
n
Szukz
k0
则称级数在G内一致收敛。
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一致收敛级数的性质
一致收敛级数具有如下重要性质：
如果级数的每一项都在区域 G内连续，和函数也 在G内连续，因而求极限与求和可以交换次序：
z l z i0m u kz z l z i0u m kz
如果级数的每一项都在区域 G内一条分段光滑的 曲线上连续，则级数可以逐项求积分：
ukzdzukzdz
C
C
如果级数的每一项都在区域 G内单值解析，则
《数学物理方法教学课件》无穷级数
波动方程是描述波在空间中传播的基本方程，如弦的振动、波动声学等。无穷 级数可以用来表示波函数或解，从而描述波的形状、幅度和相位。
在量子力学中的应用
总结词
无穷级数在量子力学中用于描述微观粒子的波函数和能量状 态。
详细描述
在量子力学中，波函数是描述粒子状态的基本工具。无穷级 数可以用来表示粒子在不同空间位置的概率幅，从而描述粒 子的运动状态和性质。此外，无穷级数还在量子力学的能量 谱表示中发挥重要作用。
数据、预测趋势等。
无穷级数未来的研究方向与挑战
探索新的无穷级数展开方法
随着数学和物理学的发展，需要不断探索新的无穷级数展开方法，以解决新的问题和挑战 。
深入研究无穷级数的收敛性和可积性
对于无穷级数的收敛性和可积性问题，需要进行更深入的研究，以更好地应用于实际问题 。
探索无穷级数与其他数学方法的交叉研究
收敛的定义与性质
收敛的定义
无穷级数是指一个数列的和，如果这 个数列的和存在，则称该级数收敛。
收敛的性质
收敛级数的和是一个确定的数，且与 级数的项的排列顺序无关。同时，收 敛级数的项可以任意地接近于零，但 不能等于零。
收敛的判断方法
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数 $varepsilon$，存在一个正整数 $N$，使得对于所有的$n>N$， 有$|a_n|<varepsilon$，则该级
数收敛。
比较审敛法
通过比较两个级数的通项，如果 一个级数的通项小于另一个已知 收敛或发散的级数的通项，则该
级数也收敛或发散。
根式审敛法
如果一个级数的通项可以写成 $a^n$的形式，其中$0<a<1$，
则该级数收敛。
第九讲 无穷级数
第九讲 无穷级数9.1 级数的知识框架 9.1.1 级数的概念与性质1． ＋＋＋＋＋n u u u u 321＝∑∞=1n n u 叫做无穷级数2．n s ＝∑=ni i u 1称为部分和,若s s n n =∞→lim 称无穷级数∑∞=1n n u 收敛3．性质1） ∑∞=1n n u 收敛到s ，则∑∞=1n n ku 收敛到ks .2） ∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 收敛到σ,s ,则级数∑∞=±1)(n n n v u 收敛到σ±s .3） 在级数中去掉,加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.4） 如果级数∑∞=1n n u 收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数++++++++++++-)()()(1111211k k n n n n n u u u u u u(4)仍收敛,且其和不变.5） ∑∞=1n n u 收敛,则.0lim =∞→n n u9.1.2 数项级数1． 正项级数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∑><=><=⎩⎨⎧⇒⇒⎰∞++同时敛散积分法：发收，根植法：发收，比值法：极限形式大发小收，小发大收比较法)(,)(11,lim 11,lim 1n 1n f dx x f l l l a q q q a an nn2． 任意项级数⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=≥+柯西收敛准则绝对收敛，条件收敛任意项级数别法，交错级数：莱布尼兹判0lim ,1n n n u u u 9.1.3 函数项级数1． 幂级数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+∞→函数展开成幂级数，逐项可积，逐项可微和函数在收敛域内连续求和内绝对收敛收敛半径R aa R n nn ,lim 12． 付氏级数 狄利克雷收敛定理要求总体理解概念，重点掌握幂级数9.2 例题例1 判别下列说法正确与否1）数列}{n a 与级数∑∞=1n n a 同时收敛或同时发散；2）∑∞=1n n a 收敛，∑∞=1n n b 发散，则∑∞=+1)(n n n b a 发散；3）∑∞=1n n a 发散，∑∞=1n n b 发散，则∑∞=+1)(n n n b a 发散；4）∑∞=1n n a 收敛，∑∞=1n n b 收敛，则∑∞=1)(n n n b a 收敛；5）∑∞=1n n a 发散，∑∞=1n n b 发散，则∑∞=1)(n n n b a 发散；6）∑∞=1n n a 收敛，则∑∞=12n n a 收敛；7）∑∞=12n na 收敛，则∑∞=1n n a 收敛；8）∑∞=1n n a 收敛，n n b a ~，则∑∞=1n n b 收敛；9）∑∞=12n na ，∑∞=12n nb 收敛，则∑∞=+1)(n n n b a 收敛。
（完整版）Mathematica求解方程（组）、级数
（完整版）Mathematica求解方程（组）、级数方程（组）与级数的Mathematica 求解[学习目标]1. 能用Mathematica 求各种方程（组）的数值解和近似解；2. 能对常见函数进行幂级数的展开。
一、求解简单方程（组）数学里的方程是带有变量的等式。
一般地说，一个或一组方程总是对于方程中出现的变量的可能取值范围增加了一些限制。
所谓求解方程就是设法把方程对于变量取值的限制弄清楚，最好的结果是用不含变量的表达式把变量的值表示出来。
在这个系统里，方程也用含有变量的等式表示，要注意的是在这里等号用连续的两个等号(==)表示。
方程的两端可以是任何数学表达式。
用户可以自己操作Mathematica 系统去求解方程，例如使用移项一类的等价变换规则对方程加以变形、对方程的两端进行整理、把函数作用于方程的两端等等。
系统也提供了一些用于求解方程的函数。
1、求方程的代数解最基本的方程求解函数是Solve ，它可以用于求解方程(主要是多项式方程)或方程组。
Solve 有两个参数，第一个参数是一个方程，或者是由若干个方程组的表(表示一个方程组);第二个参数是要求解的变量或变量表。
例如，下面的式子对于变量X 求解方程016x x x 234=+--：In[1]:=Solve[x^4-x^3-6x^2+1==0,x]输入了这个表达式，系统立刻就能计算出方程的四个根，求出的解都是精确解(代数根)。
对于一般的多项式，这样得出的解常常是用根式描述的复数。
方程的解被表示成一个表，表中是几个子表，每一个子表的形式都是{x->...}，箭头后面是方程的一个解。
Solve 也可以求解多变量的方程或者方程组:In[2]:=Solve[{x-2y==0,x^2-y==1},{x,y}]这个表达式求解方程组: x y x y -=-=2012.有时求解方程会得到非常复杂的解。
例如将上面的第一个方程稍加变形，所得到的解的表达式就会变得很长:In[3]:=Solve[x^4-x^3-6x^2=2==0,x]这个表达式求出的解的表达式非常长，以至一个计算机屏幕显示不下。
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天水师范学院数学与统计学院实验报告实验项目名称无穷级数所属课程名称数学实验实验类型微积分实验实验日期2011.11.16班级学号姓名成绩fx=Normal[Series[Exp[x]，{x，0，3}]]Plot[fx，{x，-3，3}]则只能得到去掉余项后的展开式，得不到函数的图形，这时要使用强制求值命令Evaluate，改成输入Plot[Evaluate[fx]，{x，-3，3}]便可以得到函数的图形5.作散点图命令ListPlot.ListPlot[Table[j^2，{j，16}]，PlotStyle PointSize[0.012]] 6.用符号“／；”定义分段函数.符号“／；”用于定义某种规则，“／；”后面是条件，例如输入Clear[g，gf]；g[x_]:=x/；0x<1g[x_]:=-x/；-1x<0g[x_]:=g[x-2]/；x 1gf=Plot[g[x]，{x，-1，6}]用which命令也可以定义分段函数，从这个例子中看到，用“…(表达式)/；…(条件)”来定义周期性分段函数更方便些.用Plot命令可以作出分段函数的图形，但用Mathematica命令求分段函数的导数或积分时往往会有问题.用which定义的分段函数可以求导，但不能积分.Mathematica内部函数中有一些也是分段函数，如：Mod[x，1]，Abs[x]，Floor[x]和Unitstep[x].其中只有单位阶跃函数Uniltstep[x]可以用Mathematica命令来求导和求定积分,因此在求ListPlot[vals，PlotStyle PointSize[0.012]] Sum[a[n]，{n，1，Infinity}]2.求幂级数的收敛域.例9.4 求24(3)1n nnxn∞=-+∑收敛域与和函数.Clear[a]；a[n_]=4^(2n)*(x-3)^n/(n+1)；stepone=a[n+1]/a[n]//Simplifysteptwo=Limit[stepone，n Infinity]ydd=Solve[steptwo1，x]zdd=Solve[steptwo-1，x]Simplify[a[n]/.x(49/16)]Simplify[a[n]/.x(47/16)]Sum[4^(2n)*(x-3)^n/(n+1)，{n，0，Infinity}] 3.函数的幂级数展开.例9.5 求cos x的6阶麦克劳林展开式.Series[Cos[x]，{x，0，6}]例9.6 求ln x在1x=处的6阶泰勒展开式.Series[Log[x]，{x，1，6}]例9.7 求arctan x的5阶麦克劳林展开式.ser1=Series[ArcTan[x]，{x，0，5}]；poly=Normal[ser1]Plot[Evaluate[{ArcTan[x]，poly}]，{x ，-3/2，3/2}，PlotStyle {Dashing[{0.01}]，GrayLevel[0]}，AspectRatio 1]例9.8 求22(1)(1)x x e --+在1x =处的8阶泰勒展开，并通过作图比较函数和它的近似多项式.Clear[f]；f[x_]=Exp[-(x-1)^2*(x+1)^2]； poly2=Normal[Series[f[x]，{x ，1，8}]] Plot[Evaluate[{f[x]，poly2}]，{x ，-1.5，1.5}，PlotRange {-2，3/2}，PlotStyle {Dashing[{0.01}]，GrayLevel[0]}]例9.9 求函数x sin 在0=x 处的3，5，7，…，9l 阶泰勒展开，通过作图比较函数和它的近似多项式，并形成动画进一步观察.Do[Plot[{Sum[(-1)^j*x^(2j+1)/(2j+1)!，{j ，0，k}]，Sin[x]}，{x ，-40，40}，PlotStyle {RGBColor[1，0，0]，RGBColor[0，0，1]}]，{k ，1，45}] 4.傅里叶级数.例9.10 设()f x 是周期为2的周期函数它在一个周期内的表达式为1,01(),10x f x x x ≤<⎧=⎨--≤<⎩求它的傅立叶级数展开式的前5项和前8项，作出()f x 和它的近似三角级数的图形.Clear[f ，a ，b ，fs ，L]； f[x_]:=1/；0x<1 f[x_]:=-x/；-1x<0 f[x_]:=f[x-2]/；1x gf=Plot[f[x]，{x ，-1，5}] Clear[L ，a ，b ，fs ，f1，f2]； L=1；a[n_]:=(Integrate[-x*Cos[n*Pi*x/L]，{x，-L，0}]+Integrate[Cos[n*Pi*x/L]，{x ，0，L}])/Lb[n_]:=(Integrate[-x*Sin[n*Pi*x/L]，{x，-L，0}]+Integrate[Sin[n*Pi*x/L]，{x ，0，L}])/Lfs[k_，x_]:=a[k]*Cos[k*Pi*x/L]+b[k]*Sin[k*Pi*x/L] fourier[n_，x_]:=a[0]/2+Sum[fs[k ，x]，{k ，1，n}] f1=fourier[5，x]//N f2=fourier[10，x]//NPlot[Evaluate[{f[x]，f1}]，{x ，-1，5}，PlotStyle {GrayLevel[0]，GrayLevel[0.4]}]Plot[Evaluate[{f[x]，f2}]，{x ，-1，5}，PlotStyle {GrayLevel[0]，GrayLevel[0.4]}]设)(x g 是以2Pi 为周期的周期函数，它在],[ππ-的表达式是1,0()1,0x g x x ππ--≤<⎧=⎨≤<⎩，将)(x g 展开成傅里叶级数. Clear[g]；g[x_]:=-1/；-Pi x<0 g[x_]:=1/；0x<Pi g[x_]:=g[x-2Pi]/；Pi xPlot[g[x]，{x ，-Pi ，5Pi}，PlotStyle {RGBColor[0，1，0]}]； Clear[b2，fourier2，tu ，tu2，toshow]；b2[n_]:=b2[n]=2Integrate[1*Sin[n*x]，{x ，0，Pi}]/Pi ； fourier2[n_，x_]:=Sum[b2[k]*Sin[k*x]，{k ，1，n}]； tu[n_]:=Plot[{g[x]，Evaluate[fourier2[n ，x]]}，{x ，-Pi ，5Pi}， PlotStyle{RGBColor[0，1，0]，RGBColor[1，0.3，0.5]}，DisplayFunctionIdentity]；tu2=Table[tu[n]，{n ，1，30，5}]； toshow=Partition[tu2，2]； Show[GraphicsArray[toshow]]【实验结论】（结果）1.用Mathematica 求无穷级数的和；2.求幂级数的收敛域；3.展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数.附录1：源程序1Sum k2^k,k,1,Infinity2Sum12k1^2,k,1,Infinity 283Sum12k^2,k,1,Infinity 2244Sum1^k1k,k,1,Infinity Log2Clear a;a n_x1^2n15^n; stepone a n1a n Simplify11x25steptwo Limit stepone,n Infinity11x25ydd Solve steptwo1,xzdd Solve steptwo1,xx15,x15x15,x15x15,x15Simplify a n.x1Sqrt5Sin kkSimplify a n.x1Sqrt5Sin kkSum x1^2n15^n,n,0,Infinity 51x62x x2Series1x Log1x,x,0,6Log2Log x Log x2O x7Series ArcSin x,x,0,6x x363x540O x7Clear f;f x_x x^21;Series f x,x,0,5Series f x,x,0,10p1Normal Series f x,x,0,5p2Normal Series f x,x,0,10p3Plot Evaluate f x,p1,p2,x,3,3,PlotRange2,32, PlotStyle Dashing0.01,GrayLevel0x x3x5O x6x x3x5x7x9O x11x x3x5x x3x5x7x9GraphicsClear f,a,b,fs,L;f x_:1x^2;12x12 f x_:f x1;x12gf Plot f x,x,1,5GraphicsL12;a n_:Integrate x Cos n Pi x L,x,L,0Integrate Cos n Pi x l,x,0,LLb n_:Integrate x Sin n Pi x L,x,L,0Integrate Sin n Pi x l,x,0,L L fs k_,x_:a k Cos k Pi x L b k Sin k Pi x Lfourier n_,x_:a02Sum fs k,x,k,1,6f1fourier5,x Nf2fourier10,x N0.625 2.Cos 6.28319x0.05066060.31831l Sin 1.5708l0.31831l Cos12.5664x Sin 3.14159l2.Cos18.8496x0.005628950.106103l Sin 4.71239l0.159155l Cos25.1327x Sin 6.28319l2.Cos31.4159x0.002026420.063662l Sin 7.85398l0.106103l Cos37.6991x Sin 9.42478l2.0.07957750.31831l0.31831l Cos 1.5708lSin 6.28319x2.0.03978870.159155l0.159155l Cos3.14159lSin12.5664x2.0.02652580.106103l0.106103l Cos 4.71239lSin18.8496x2.0.01989440.0795775l0.0795775l Cos 6.28319lSin25.1327x2.0.01591550.063662l0.063662l Cos 7.85398lSin31.4159x2.0.01326290.0530516l0.0530516l Cos 9.42478lSin37.6991x0.625 2.Cos 6.28319x0.05066060.31831l Sin 1.5708l0.31831l Cos12.5664x Sin 3.14159l2.Cos18.8496x0.005628950.106103l Sin 4.71239l0.159155l Cos25.1327x Sin 6.28319l2.Cos31.4159x0.002026420.063662l Sin 7.85398l0.106103l Cos37.6991x Sin 9.42478l2.0.07957750.31831l0.31831l Cos 1.5708lSin 6.28319x2.0.03978870.159155l0.159155l Cos3.14159lSin12.5664x2.0.02652580.106103l0.106103l Cos 4.71239lSin18.8496x2.0.01989440.0795775l0.0795775l Cos 6.28319lSin25.1327x2.0.01591550.063662l0.063662l Cos 7.85398lSin31.4159x2.0.01326290.0530516l0.0530516l Cos 9.42478lSin37.6991xPlot Evaluate f x,f1,x,1,5,PlotStyle GrayLevel0,GrayLevel0.4Plot Evaluate f x,f2,x,1,5,PlotStyle GrayLevel0,GrayLevel0.4Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x 1..Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x0.756598.Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x0.629911.General::stop:Further output of Plot::plnr will be suppressed during this calculation.GraphicsPlot::plnr:f x is not a machine size real number at x 1..Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x0.756598.Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x0.629911.General::stop:Further output of Plot::plnr will be suppressed during this calculation.GraphicsClear f,a,b,fs,L;f x_:1;0x1f x_:2x;1x2 f x_:f x2;x2 gf Plot f x,x,1,5GraphicsL1;a n_:Integrate x Cos n Pi x L,x,L,0Integrate Cos n Pi x l,x,0,LLb n_:Integrate x Sin n Pi x L,x,L,0Integrate Sin n Pi x l,x,0,L L fs k_,x_:a k Cos k Pi x L b k Sin k Pi x Lfourier n_,x_:a02Sum fs k,x,k,1,8f1fourier5,x Nf2fourier10,x N0.75Cos 3.14159x0.2026420.31831l Sin 3.14159l0.159155l Cos 6.28319x Sin 6.28319lCos9.42478x0.02251580.106103l Sin 9.42478l0.0795775l Cos12.5664x Sin 12.5664lCos15.708x0.008105690.063662l Sin 15.708l0.0530516l Cos18.8496x Sin 18.8496lCos21.9911x0.004135560.0454728l Sin 21.9911l0.0397887l Cos25.1327x Sin 25.1327l0.318310.31831l0.31831l Cos 3.14159lSin 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Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x0.491147. General::stop:Further output of Plot::plnr will be suppressed during this calculation.GraphicsPlot::plnr:f x is not a machine size real number at x 1..Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x0.756598. Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x0.491147. General::stop:Further output of Plot::plnr will be suppressed during thisGraphicsClear a;a n_Sin k k;vals Table a k,k,1,50;ListPlot vals,PlotStyle PointSize0.015Graphics附录2：实验报告填写说明1.实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。