量子力学答案.

§2.1 波函数的统计解释 §2.2 态迭加原理 §2.3 薛定谔方程 §2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 §2.5 定态薛定谔方程 §2.6 一维无限深势阱 §2.7 线性谐振子 §2.8* 势垒贯穿
1.定态
体系所处状态的能量具有确定值，则称该状 态为定态。在定态中，几率密度和几率流密度不 随时间变化。
2.束缚态和非束缚态
束缚态：粒子被束缚在空间的有限区域， 在无限远处为波函数为零的的状态
束缚态所属能级是分立的
非束缚态：粒子的运动范围没有被限制， 在无限远处为波函数不为零的状态
非束缚态所属能级是连续的
总结
1. 波函数的标准条件：单值性、有限性、连续性
2. 边界条件 •束缚态中，粒子局限在有限范围内运动，因此在无限远 处找到粒子的几率为零，即波函数在无限远处为零. •在位势无限高处，有限能量的粒子去不了，故那里的波 函数为零. •在位势作有限跳跃的地方，波函数及其导数也都分别连 续.
第一章 绪论
§1.1 经典物理学的困难 §1.2 光的波粒二象性 §1.3 原子结构的玻尔理论 §1.4 微粒的波粒二象性
1. 德布罗意关系
E h
2. 自由粒子波函数
p hn k



A
exp

i
(pr

Et)
习题
1.2
（1）德布罗意关系（德布罗意公式）
E h p h n k
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr )

1 r
eikr
r
(1 r
eikr )]er
i1 1 11 1 1

2
[ r
(
r2
ik
) r

r
(
r2
ik
r )]er

k
r2
er
J1与er 同向。 1 表示向外传播的球面波。
习题
(2)
J2

Leabharlann Baidu
i
2
(
2
* 2
2*
2
借助于上式和能量守恒讨论波传播时振幅的
变化：
平面波和球面波的振幅
在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波 在行进方向上振幅不变。
证明：
在一个周期
T
内通过S1
和S
面的能量应该相等
2
I1S1T I2S2T , S1 S2 S
I

1
A2
2u
2
S 1
2
u 2 A12S1T

1 2
u 2 A22S2T
1
u
S2
所以,平面波振幅相等：A1 A2

1 2
u 2 A12S1T

1 2
u 2 A22S2T
球面波
S1 4r12 ; S2 4r22
r2
A1r1 A2r2
所以球面波振幅与离
r1
波源的距离成反比。
如果距波源单位距离
的振幅为A则距波源r 处的振幅为 A
习题
2.1 证明在定态中，几率流密度与时间无关。 证：对于定态，可令
(r，t) (r ) f (t)
i Et
(r )e
*(r，t) *(r )e i Et
J i (* *)
2
i
[
(r

)e
i
Et
（
(r

)e
i
E） t *

*
(r
)e
i
Et
（
x)

k
2
2
(
x)

0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n
(n 1, 2, 3,)
(r

)e
i
Et）]
2
i [ (r ) *(r ) *(r ) (r )]
2 可见 J与t 无关。
习题
2.2
在球坐标中
er

r
e
1 r


e
1
r sin




(1)
J1

i
2
(
1
* 1
1* 1 )

i
2
习题
例 已知一维粒子状态波函数为

( x, t )

A exp

1 2
a2x2

i 2
t


求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处
出现的几率最大。 解： (1).求归一化的波函数

2
(x,t) dx 1

2
(x,t) dx

A2
ea2x2 dx A 2

2(x)

A
sin

n
a
x

习题
由归一化条件 (x) 2 dx 1
得
A2
a 0
sin
2

n
a
x

dx

1
因为
a sin2
0

n
a
x

dx

a 2
A 2 a
2 (x)
2 a
sin

n
a
x

k2

2E
2)

i
2
[1 eikr r
r
(1 eikr ) r
1 eikr r
r
(
1 r
eikr
)]er

i
2
[1 r
(
1 r2
ik
1) r

1 r
(
1 r2
ik
1 r
)]er
k
r2 er
可见，
J2与er 反向。 2 表示向内(即向原点) 传播的球面波。
习题
2.3
w2 2
x, t
2
i E1 t
i E2 t 2
u(x)e u(x)e
4 u(x) 2 cos2 E1 E2 t (与t有关)
2
w3 3
x, t
2

i E t
u ( x)e
iEt
u(x)e
2
4 u( x) 2 cos2 E t ( 与t有关)

3
(
x)

U
(
x)
3
(
x)

E 3(x)
(3)
由于(1)、(3)方程中，由于 U(x) , 要等式成立，必须
1(x) 0 3(x) 0
即粒子不能运动到势阱以外的地方去
习题
方程(2)可变为
令
k2

2E
2
d
2 2 (
dx2
x)

2E
2

2
(
x)

0
则
d
2 2 (
dx 2


归一化常数
1/ 2
A a/
1
a2
归一化的波函数
1/ 2 1a2x2 i t
(x,t) a / e 2 2
习题
（2）几率分布： w(x, t) (x, t) 2 a ea2x2
（3）由几率密度的极值条件
dw(x, t) a 2a2 xea2x2 0

（2）判断粒子是否为非相对论粒子
1. v c
2. 自由粒子E 0c2
光子是相对论粒子
（3）非相对论粒子 E p2
2
h 2E
相对论粒子 E 2 c2 p2 02c4
h
p
习题
1.2
0K 钠的价电子能量 E 3eV=4.81019 J
ec2 9.11031 （3.0 108）2 8.19 1014 J
dx

由于
d2 w( x, t ) dx2
0
x0
故 x 0 处，粒子出现几率最大。
x0
习题
判别定态的方法：
（1）能量是否为确定值 （2）几率密度与时间无关 （3）几率流密度与时间无关
下列波函数所描述的状态是否为定态？
ixi E t
ixi E t
（1） 1(x) u(x)e v(x)e
4.81019 J<<8.191014 J
0K 钠的价电子为非相对论粒子
则
p2 E
2e
德布罗意关系
p

h


h
2e E
习题
1.3 氦原子
2质子 2中子 2电子
mp mn 1.671027 kg me 9.11031kg
h 2E
第二章 波函数和薛定谔方程
2

En

2 2 2a2
n2
(n 1, 2,3, )
习题
对应于 En 的归一化的定态波函数为

(
x,
t
)



2 a
sin

n
a
x

e

i
Ent
,

0,
0 xa x 0, x a
能流密度
单位时间内通过垂直于波速
方向的单位截面的平均能量。
I

1
A2 2u
有关一维束缚态的结论
1.束缚态中，波函数在无限远处为零.
2. 对于一维束缚态，所有能级都是非简并的，波函数为 实函数.
3. 对于一维束缚定态，如果U(x)为偶宇称，则每一个 E (x) 都有确定的宇称.
4. 零点定理（节点定理） 如果将一维问题的分立谱波函数 n (x) 按其本征值递增顺 序编号，则属于第n+1个能级 En 的本征函数 n (x) ，在其 定义域内有限x值处共有n个零点，其中基态 E0 的 0 (x) 无零点.
解：U (x)与t 无关，是定态问题
薛定谔方程为

2
2
d2 dx2

(x) U (x) (x)

E (x)
在各区域的具体形式为：
x0

2
2
d2 dx2

1
(
x)

U
(
x)
1
(
x)

E 1 ( x)
(1)
0 xa

2
2
d2 dx2

2
(
x)

E 2 (x)
(2)
xa

2
2
d2 dx2
r
《力学》波动和声（平均能流密度）
是
i E1 t
i E2 t
（2） 2 (x) u(x)e u(x)e
不是
i Et
iEt
（3） 3 (x) u(x)e u(x)e 不是
习题
w1 1
x, t
2

ixi E t
u ( x)e
ix i Et
v(x)e
2
u(x)eix v(x)eix 2 ( 与t无关)