2016年高考上海理科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4

分，否则一律得零分． （1）【2016年上海，理1，4分】设x R ∈，则不等式31x -<的解集为 ． 【答案】()2,4

【解析】由题意得：131x -<-<，解得24x <<．

【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运

用．

（2）【2016年上海，理2，4分】设32i

i

Z +=，期中i 为虚数单位，则Im z = ．

【答案】3-

【解析】32i

23i,Imz 3i

z +==-=-．

【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用． （3）【2016年上海，理3，4分】已知平行直线12:210,:210l x y l x y +-=++=，则12,l l 的距离 ． 【答案】

25

5

【解析】利用两平行线间距离公式得122222

||

|11|

25

5

21c c d a b ---=

==++． 【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力． （4）【2016年上海，理4，4分】某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，

1.77则这组数据的中位数是 （米）． 【答案】1.76

【解析】将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，这六个数的中位数

是1.75与1.77的平均数，显然为1.76．

【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用． （5）【2016年上海，理5，4分】已知点()3,9在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数()1f x -= ．

【答案】()()2log 11x x ->

【解析】将点()3,9带入函数()1x f x a =+的解析式得2a =，所以()12x f x =+，用y 表示x 得()2log 1x y =-，所

以()()12log 1f x x -=-．

【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （6）【2016年上海，理6，4分】如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1

BD 与底面所成角的大小为3

2

arctan ，则该正四棱柱的高等于 ． 【答案】22

【解析】由题意得111122

tan 2233

32DD DD DBD DD BD ∠=

=⇒=⇒=． 【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成

的角．

（7）【2016年上海，理7，4分】方程3sin 1cos2x x =+在区间[]0,2π上的解为 ． 【答案】566

ππ或

【解析】化简3sin 1cos2x x =+得：23sin 22sin x x =-，所以22sin 3sin 20x x +-=，解得1

sin 2

x =

或sin 2x =-（舍 去），所以在区间[]0,2π上的解为566

ππ

或．

【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力．

（8）【2016年上海，理8，4分】

在2n

x ⎫⎪⎭

的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ．

【答案】112

【解析】由二项式定理得：二项式所有项的二项系数之和为2n ，由题意得2256n =，所以8n =，二项式的通项

为84833

18

82()(2)r r r

r r r r T C C x x --+=-=-，求常数项则令84033

r -=，所以2r =，所以3112T =．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性

质，属于中档题．

（9）【2016年上海，理9，4分】已知ABC ∆的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 ．

【解析】利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为22235712352

+-=-⨯⨯

，由正

弦定理得2R =

，所以R ．

【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题．

（10）【2016年上海，理10，4分】设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组1

1

ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是 ．

【答案】()2,+∞

【解析】解法1：将方程组中的（1）式化简得1y ax =-，代入（2）式整理得(1)1ab x b -=-，方程组无解应该

满足10ab -=且10b -≠，所以1ab =且1b ≠

，所以由基本不等式得2a b +>．

解法2：∵关于x ，y 的方程1

1ax y x by +=⎧⎨+=⎩

组无解，∴直线1ax y +=与1x by +=平行，∵0a >，0b >，

∴

1111a b =≠，即1a ≠，1b ≠，且1ab =，则1b a

=，则1a b a a +=+，则设()()1

01f a a a a a =+>≠且，

则函数的导数()222111a f a a a -'=-=，当01a <<时，()221

0a f a a

-'=<，此时函数为减函数，此时

()()12f a f >=，当1a >时，()2

21

0a f a a

-'=>，此时函数为增函数，()()12f a f >=，综上()2f a >，

即a b +的取值范围是()2,+∞． 【点评】本题主要考查直线平行的应用以及构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求

解是解决本题的关键．

（11）【2016年上海，理11，4分】无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和．若对任意n N *∈，

{}2,3n S ∈，则k 的最大值为 ．

【答案】4

【解析】解法1：要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅，所以最多由4个不同的数

组成．

解法2：对任意*n N ∈，{}23n S ∈，

，可得当1n =时，112a S ==或3；若2n =，由{}223S ∈，，可得数 列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，1-；若3n =，由{}323S ∈，

，可得数列的前三项为2，0， 0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，1-；或3，0，0；或3，0，1-；或3，1，0；或3，1，1-；

若4n =，由{}423S ∈，，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，