理论力学第二章 质点组力学-2)

m222
0
0
m1gl
cos
(4)
联立方程(1)(2)(3)(4)解得
1x
2m22 gl sin
m1 m2 m1tg 2 m2 sec2
1y
2 m1 m2 gl sin
m1 m2 sin2
2
u
2m12 gl sin
m1 m2 m1tg 2 m2 sec2
ax
m m
ax
g
g
二人均以匀加速向上爬
t
2
t2
2s ax 2s ax
t t
t
ax
2ms ms m m g
m m sg ms ms
注：也可用对通 过滑轮中心水平 轴的动量矩定理
质量不等的两人能同时到达顶端的前提条件
ax 0, ax 0
即
ms ms, 且 m m 或ms ms,且 m m
i 1
i 1
i 1
i 1
3.在质心系中分析以上四项
s´系的原点固定在质点组的质心上，则：
第一项：
rvo rvc ,vo vc , rvc 0
n (rvo m ivo ) n (rvc m ivc ) rvc n m ivc 对o点的动量矩
求和后，
i 1, n
叙述:质点组动能的微分等于质点组所受的外力与内 力的元功之和。
特点：①内力所作的功不能互相抵消。
②质点组不受外力或合外力为零，动能不一定守恒。
三、质点组对质心的动能定理 质点组内力做功
引入质心参照系，质点组中第i个质点的动能
d
(1 2
mii2
)
v F (e)
i
drvi
v F (i)
§2.3 动量矩定理与动量矩守恒律
一、质点组的动量矩定理 1.对固定点的动量矩
2.相对运动的动量矩描述 S系（固定系） S´系（平动系）
o´ i
´i
o
v
J
n
rvi m ivi
n
[(rvo rvi) (m i (vo vi)]
i 1
i 1
n (rvo m ivo ) n (rvo m ivi) n (rvi m ivo ) n (rvi m ivi)
m&rv&p
k 2m r2
rv r
(1)
k 2 GM
太阳的动力学方程为：
M&rv&s
k2m r2
rv r
(2)
(1) M (2) m, 得
Mm(&rv&p
&rv&s )
k2m r2
(m
M
)
rv r
Mm mM
&rv&
k 2m r2
rv r
(3)
即：
（3）的形式和太阳固定不动时行星的动力学方程完全一样。
y&c
x&c
c0
0
gt
其中：
c0
a0
a
0
ab
a
a
b
0
xc
a
质心为竖直上抛运动
yc
a
a
b 0t
1 2
gt 2
5.求m1，m2对质心的运动
a
b m2g
分析特点：
m1g
xc
m10 m2 (a b) m1 m2
a
m1a
m2b
0
Mcz m1ga cos m2gb cos (m1a m2b)g cos 0
1 2
mii2
n i 1
[
1 2
mi
(vo
vi) (vo
vi)]
n i 1
1 2
mio2
n i 1
1 2
mivo
vi
n i 1
1 2
mivi
vo
n i 1
1 2
mivi
vi
1 2
M
2 o
vo
n i 1
mivi
T
3. 柯尼希定理
引入质心参照系，分析上式
T
1 2
Mc2
vc
n i 1
mivi T
第一项：
1 2
Mc2
质心相对固定参照系的动能
第二项：
vc
n i 1
mivi
vc
d dt
n i 1
mi rvi
Mvc
d dt
rvc
0
第三项：
T
n i 1
1 2
mii2
质点组相对质心的动能
T
1 2
Mc2
T
柯尼希定理
叙述：质点组的动能等于质心的动能与各质点对质 心的动能之和。 相对固定参照系
在质心系(惯性系) c xyz中，行星的动力学方程为
m&rv&1
k2 r1
m r2
2
rv1 r1
k2 M
mM 2
m2
1 r12
rv1 r1
行星和太阳绕(S,P) 系统的质心作圆锥
上式用到
rvc
0
mr1
Mr2
r1
r2
M M
m
r1
曲线运动，
三.直接确定行星相对太阳的运动,并考虑太阳的运动
在惯性系o-xyz中，行星的动力学方程为：
g, m2
g,
N
内力：N1，N1
m2
x
（4）
F (e) x
0,
px
c
设m1的速度为v1 ，m2的速度为v2 ，则
m11x m22 0
(1)
其中，1x 2 u cos (2)
1y u sin
(3)
(5)机械能守恒 选小球滑下 l 时所在处为零势能位置
1 2
m1 (12x
2 1y
)
1 2
即：
&rv&
v F,
v 其中F是m2对m1的作用力,
rv是m1相对m2的位矢.
如：p96页例题，求m1相对m2的速度。( 利用机械能守恒）
km1m2 a
0
km1m2 a2
1 2
122
12
2k(m1 m2 ) a
四.对开普勒第三定律的修正
由（3）式：Mm mM
&rv&
(4)太阳为非惯性系，在对行星应用牛顿第二定律时须考虑 惯性力，应该可以得到方程(4)；方程(4)也说明了另一 种修正的方式，即只要把行星的质量用约化质量代替， 在质点所受的力上就无需修正，这种方式带来很大的方便。
(5) 应用:如当求一个质点m1相对另一个质点m2的运动时，
可认为m2不动，但动力学方程中必须把m1换成折合质量。
4、质点组对固定点o的动量矩定理 y
单个质点：
i
对每质点求和：
i 1, n
O
0
Fvii Fvie
x
则：
合外力 对o点 的力矩
动系相对静系的平动加速度
d
dt
i
rvi mivi
i
rvi Fvie av0 mrvc
在动系 S中 质心的位置 惯性力矩
o´ i
´i
o
对质心的动量矩定理：' 以质心为原点建立坐标系，则 rvc 0
点静止且距离为 。a求两质点相距为 a 时/ 2两质点的速度。
解：质点组没有受外力作用，两质点相互作用的 内力为保守力，质点组动量守恒、机械能守恒。
m11 m22 0
（1）
选 m1 的动量方向为正方向
0 km1m2 a
1 2
m112
1 2
m222
k m1m2 a
2
联立方程（1）、（2）解得
（2）
n
(rvi m ivc )
n
m i rvivc
i 1
i 1
i 1
第四项：
n
mi
n
i 1 n
m irvivc
Mrvc vc
0
i 1
mi
n
(rvi
m
ivi)
v J
i 1
i 1
质点组对质心的动量矩
总结：
v J
rvc
Mvc
v J
惯性系某一固定点
质点组对一固定点的动量矩等于质心对固定点的动量 矩与质点组对质心的动量矩之矢量和。
令： Mm 叫折合质量，则
mM
&rv&
k 2m r2
rv r
(4)
表明：考虑太阳的运动后，行星对太阳做圆锥曲线
运动，但质量不为m，而是折合质量 。
说明：(1)若M>>m，由上式引起的误差极小，仍可以 将太阳视为静止，可视为单体问题处理;
(2)如果M>>m不成立，两质量差别不大， 则 (3)若必考须虑视其为他两行体星问的题吸处引理，; 则为多体问题。
v0
a
b
解：
m1
c
m2
可先确定质心的运动规律，再确定m1,m2对质
心的运动规律。
y
1.对象：质点组（m1,m2)
2.参照系：地面；坐标系：o-xy m1
x
3.受力分析
m1g m2 g
m1gj m2 gj
外力
4.质心运动定理
mac
F
分量式：
（不考虑内力）
myc
mxc (m1
0
m2
)
g
解得：
n
i 1
(rvo m ivi)
n i 1
(rvc m ivi)
rvc
n i 1
m ivi
rvc
n i 1
mi
drvi dt
rvc
d dt
n i 1
m irvi
rvc
n i 1
mi
d dt
n
i 1 n
m irvi mi
rvc
d dt
Mrvc
0
i 1
n
第三项：
(rvi m ivo )
动，试求：质点从静止开始下滑距l 离 时的速度？
分析: ①
F (e) x
0,
px
c
②重力为保守力，地面支持力不做功，
m1
m1,m2之间的相互作用内力做功之和为
零，质点组机械能守恒。
θ
m2
解:(1)研究对象：质点组（m1,m2)
(2)参照系：水平面；
y
建立oxy坐标系
m1
uv
θ
(3)受力分析
o
外力：m1
v
J
n
rvi m ivi
n
[(rvo rvi) (m i (vo vi)]
i 1
i 1
n (rvo m ivo ) n (rvo m ivi) n (rvi m ivo ) n (rvi m ivi)
i 1
i 1
i 1
i 1
第二项：
d rvi dt
drvi dt
v
rvi
则：
Jcz 常量
m2v2
即任意时刻动量矩等于 初始时刻动量矩。
a
b
设t时刻杆的角速度为ω
m1v1
Jcz (0) Jcz (t)
12
a b
Jcz (0) a m1a0 b m2b0 (m1a2 m2b2 )0
Jcz (t) a m1a b m2b (m1a2 m2b2 )
2m1 m2 gl sin
m1 sin2 m2
§2.5 两体问题
一.什么是两体问题
(1)问题的提出（地球绕太阳运动，卫星绕地球 运动，双星运动，电子绕核运动）
(2)两体问题的定义 任何两个相互作用的质点（无外力作用）在 惯性系中的运动。
二.先确定质心的运动，再确定行星、太阳对质心的运动
日心系不是惯性系 选择惯性系o-xyz
m m sg ax ms ms
ax
m m
ax
g
g
两人能否同时到达顶端与他们共同努力的程度有关，但
谁较努力些则无关紧要。
注：若两人质量相等，且 s s，至少有一个人
努力就可以同时到达顶端，爬绳所需时间则与两 人的努力程度有关。
选【例5】质量分别为m1,m2的两个质点，用一长为 a+b的无重刚性杆连接，c为质心（如图所示）。最 初处于水平位置，突然给m2以v0的速度，试求两质 点此后的运动规律？
z
o
s(M)
rs
c rc
r
rp
P(m) y
x
1. 确定系统(S, P)质心的运动
在惯性系o-xyz中，由质心运动定理
M
m
d 2rvc dt 2
Fve
0
s(M) z
z
rv2
x
c
rv1
o
y
P(m) y
质心作惯性运动
x
且系统的动量守恒，即 pv M mvc cv
2. 确定行星和太阳相对质心的运动
d
dt
i
rvi mivi
i
rvi Fvie
'
形式与固定参考系一样
【例4】
x
选逆时针为正方向
o
绳对质点组的力为内力
解法二：隔离二人并分别用牛顿第二定律
选地面为参照系
对地面的加速度
隔离质量为m的人， T mg max (1)
隔离质量为 m的 人， T mg max (2)
由方程(1)和(2)得
对质心系的元功之和。
说明（1）质心系一般为非惯性系，但在质心系中质点 组的动能定理仍保持与惯性系中相同的形式。 （2）惯性力对质点组做功为零。
四、机械能守恒定律
内力与外力均为保守力或只有保守力做功，则质 点组的机械能守恒
T V (e) V (i) E T V E
V 内力与外力势能之和。
选【例7】 质量为m1和m2的两质点以万有引力吸引，开始时两质
【例6】一半径为R，质量为m的均质圆盘，直立在水
平面上向前滚动而不滑动，若圆心的速度为 v，0 求圆
盘的动能。
解：由柯尼希定理
T
1 2
mc2
T
1 2
m02
T
圆盘相对于其质心轴作定轴转动
c
v0
P
T
1 2
I2
1 2
1 2
mR2
0
R
2
1 4
m02
T
3 4
m02
圆盘作纯滚动的条件：0 R
二、质点组的动能定理(在惯性系S中) 由第i个质点的动能定理：
0
0
ab
质点m1，m2相对质心作匀角速转 动
§2.4 动能定理与机械能守恒定律
一、质点组的动能
1.质点组中第i个质点的动能。
Ti
1 2
mii2
质点组的动能
T
n i 1
1 2
mii2
2.动能的相对运动描述
S系（固定系） S´系（平动系）
o´ i
´i
o
vi vo vi
vi vo vi
T
n i 1
V
r
r
km1m2 r2
dr
km1m2 r
1 m2
2k
am1 m2 ,