一级动力学反应模型

4.1.2 碳-14测年法
碳-14 与氧结合成二氧化碳，散布在大气之中， 生物体经由呼吸或光合作用，随时补充衰变掉的碳 -14，且与大气中的碳-14 维持恒定. 但是一旦生物体 死亡，体内的碳-14 无法补充，每隔 5730 年就会减少 一半，所以只要能测出死亡的生物体内（例如骨头、 木炭、贝壳、谷物）残存的碳-14 浓度，就可以推算 出生物体于何时停止补充碳-14，也就是生物体已死亡 多久的时间. 碳-14 定年法只适用于测定距今 70000 年内的古物所属的年代.
在诸多考证年代的的方法之中，以“碳-14 定年 法”最为普遍. 它的原理是根据生物体死亡之后，体 内碳-14 衰减的速率来估计年代.
美国化学家威拉得·法兰克·利比（Willard Frank Libby）因在 20 世纪 40 年代发明碳-14 定年法而于 1960 年获得诺贝尔化学奖.
4.1.2 碳-14测年法
活的年代为 t0 年，则根据测量结果，有
x(t) 0.879x(t0 )
(4.1.5)
由(4.1.4)式和(4.1.5)式，有
e0.000121(tt0 ) 0.879
所以 t t0 1065.9 ，即古莲籽生活的年代大约在发掘
时间之前 1066 年.
4.1.2 碳-14测年法
4.1.2 碳-14测年法
碳是一种很常见的非金属元素，以多种形式广泛 存在于大气和地壳之中，常见的碳单质有石墨和金刚 石，碳的一系列化合物——有机物是生命的根本.
自然界中存在三种碳的同位素：碳-12（98.9%）、 碳-13 及碳-14（极少）. 碳-12 和碳-13 属稳定型，碳 -14 具有放射性. 碳-14 是由宇宙射线撞击空气中的氮 原子而产生，衰变方式为 β 衰变，碳-14 原子转变为 氮原子. 碳-14 的半衰期长达 5730 年，考古学家就是 根据碳-14学反应模 型
4.1.1 一级动力学 反应模型及其性质
一级动力学反应是指反应速率与系统中反应物
含量的一次方成正比的反应，其数学模型为微分方程
dx dt kx
(4.1.1)
其中 t 为时间，x=x(t)为 t 时刻系统中反应物的含量， 一阶导数 dx dt 是反应速率，比例系数 k 是反应速率
x0 2 x0ek
所以
k ln 2
(4.1.3)
所以一级动力学反应的半衰期是一个与初始状态无
关的常数.
x=x0
一级动力学反应的指数衰减过程和半衰期
x
x=x0/2
t=0
t=
t
图4.1
4.1.2 碳-14测年法
当人们看见一件很古老的东西，最常见的疑问是 “这是多少年前的东西”？考古学家一直在努力发展 新技术来考证古物的年代.
4.1.2 碳-14测年法
例 4.1.2 巴比伦的木炭 而根据测量结果，有
解答（续）
dx
dt t 1950

4.09
dx dt
6.68
t t0
所以 x(1950) x(t0 ) 4.09 6.68 ，再根据(4.1.4)式，有
e0.000121(1950t0 ) 4.09 6.68
解得 t0 2104.3 (年)，即汉穆拉比王朝大约在公元前 21 世纪.
4.1.5 是真迹还是赝品？
4.1.5 是真迹还是赝品？
1. 历史背景
荷兰画家梅格伦（Han van Meegeren，1889— 1947）是 20 世纪最著名的艺术品伪造者之一.
在自己的创作遭到评论家的非议的情况下，为了 证明自己的才能和骗取金钱，他发展出十分高明的伪 造技术，伪造了一批 17 世纪荷兰著名画家的作品.
他在 1937 年伪造 17 世纪荷兰著名画家维米尔 （Jan Vermeer，1632—1675）的作品《以马午斯的 门徒》（The Disciples at Emmaus），并假冒真迹出售， 骗取了约 30 万美元（大约相当于现今的 400 万美元）.
4.1.5 是真迹还是赝品？
1. 历史背景
例 4.1.1 辽东半岛的古莲籽
在我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中发掘出
的古莲籽，至今大部分还能发芽开花. 现测得出土的
古莲籽中碳-14 的剩留量占原始量的 87.9%，试推算
古莲籽生活的年代.
4.1.2 碳-14测年法
例 4.1.1 辽东半岛的古莲籽
解答 记发掘出古莲籽的时间为 t 年，古莲籽生
足初始条件 x(t0 ) x0 的特解为
x(t)

x ektt0 0

(4.1.2)
(4.1.2)式表明：系统中反应物的含量按指数规律随时
间衰减.
4.1.1 一级动力学 反应模型及其性质
半衰期是指某种特定物质的含量经过某种反应
降低到初始值的一半所消耗的时间，记为 τ 或 t1 2 .
在(4.1.2)式中，令 t t0 且 x(t) x0 2 ，则
4.1.2 碳-14测年法
因为碳-14 的半衰期为 τ=5730 年，所以根据(4.1.3)
式可计算得到 k=0.000121，由此可知碳-14 的衰变服
从公式
x(t)

x e0.000121tt0 0
(4.1.4)
x=x(t)是古物中的碳-14 在时刻 t 的剩余量，x0 x(t0 ) .
常数，k>0，负号表示反应物的含量在衰减. 一 级 动 力 学 反 应 的 数 学 模 型 (4.1.1) 式 有 很 多 应
用，例如放射性衰变、加热或冷却、人体内药物的吸
收与排除、污染物降解等.
4.1.1 一级动力学 反应模型及其性质
在初始时刻 t0 ，设反应物的含量为 x0 . (4.1.1)式满
第二次世界大战期间，梅格伦的另一幅假冒维米 尔真迹的赝品经过辗转被德国纳粹元帅戈林收藏，德 国战败后，经过盟军的追查，梅格伦于 1945 年 5 月 在荷兰因涉嫌诈骗罪和通敌罪被逮捕入狱，他为了洗 脱通敌罪名，很快就供认那幅被戈林收藏的画其实是 他伪造的赝品，并在狱中绘制了他伪造的最后一幅赝 品，向由专家组成的陪审团展示他的伪造技术，后于 1946 年 4 月被释放.
同位素是具有相同原子序数的同一化学元素的 两种或多种原子之一，其原子具有相同数目的电子和 质子，但却有不同数目的中子.
放射性是指元素从不稳定的原子核自发的放出 射线而衰变形成稳定的元素. 有放射性的同位素被称 为放射性同位素.
放射性同位素的衰变属于一级动力学反应，即衰 变速率与放射性同位素的含量成正比. 所以放射性同 位素都具有非常稳定的半衰期.