一级动力学反应模型

4.1.2 碳-14测年法
因为碳-14 的半衰期为 τ=5730 年，所以根据(4.1.3)
式可计算得到 k=0.000121，由此可知碳-14 的衰变服
从公式
x(t)

x e0.000121tt0 0
(4.1.4)
x=x(t)是古物中的碳-14 在时刻 t 的剩余量，x0 x(t0 ) .
在诸多考证年代的的方法之中，以“碳-14 定年 法”最为普遍. 它的原理是根据生物体死亡之后，体 内碳-14 衰减的速率来估计年代.
美国化学家威拉得·法兰克·利比（Willard Frank Libby）因在 20 世纪 40 年代发明碳-14 定年法而于 1960 年获得诺贝尔化学奖.
4.1.2 碳-14测年法
解得 t0 2104.3 (年)，即汉穆拉比王朝大约在公元前 21 世纪.
4.1.5 是真迹还是赝品？
4.1.5 是真迹还是赝品？
1. 历史背景
荷兰画家梅格伦（Han van Meegeren，1889— 1947）是 20 世纪最著名的艺术品伪造者之一.
在自己的创作遭到评论家的非议的情况下，为了 证明自己的才能和骗取金钱，他发展出十分高明的伪 造技术，伪造了一批 17 世纪荷兰著名画家的作品.
常数，k>0，负号表示反应物的含量在衰减. 一 级 动 力 学 反 应 的 数 学 模 型 (4.1.1) 式 有 很 多 应
用，例如放射性衰变、加热或冷却、人体内药物的吸
收与排除、污染物降解等.
4.1.1 一级动力学 反应模型及其性质
在初始时刻 t0 ，设反应物的含量为 x0 . (4.1.1)式满
第4章 常微分方程模型
4.1节 一级动力学反应模 型
4.1.1 一级动力学 反应模型及其性质
一级动力学反应是指反应速率与系统中反应物
含量的一次方成正比的反应，其数学模型为微分方程
dx dt kx
(4.1.1)
其中 t 为时间，x=x(t)为 t 时刻系统中反应物的含量， 一阶导数 dx dt 是反应速率，比例系数 k 是反应速率
活的年代为 t0 年，则根据测量结果，有
x(t) 0.879x(t0 )
(4.1.5)
由(4.1.4)式和(4.1.5)式，有
e0.000121(tt0 ) 0.879
所以 t t0 1065.9 ，即古莲籽生活的年代大约在发掘
时间之前 1066 年.
4.1.2 碳-14测年法
例 4.1.源自文库 辽东半岛的古莲籽
在我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中发掘出
的古莲籽，至今大部分还能发芽开花. 现测得出土的
古莲籽中碳-14 的剩留量占原始量的 87.9%，试推算
古莲籽生活的年代.
4.1.2 碳-14测年法
例 4.1.1 辽东半岛的古莲籽
解答 记发掘出古莲籽的时间为 t 年，古莲籽生
4.1.2 碳-14测年法
例 4.1.2 巴比伦的木炭 而根据测量结果，有
解答（续）
dx
dt t 1950

4.09
dx dt
6.68
t t0
所以 x(1950) x(t0 ) 4.09 6.68 ，再根据(4.1.4)式，有
e0.000121(1950t0 ) 4.09 6.68
足初始条件 x(t0 ) x0 的特解为
x(t)

x ektt0 0

(4.1.2)
(4.1.2)式表明：系统中反应物的含量按指数规律随时
间衰减.
4.1.1 一级动力学 反应模型及其性质
半衰期是指某种特定物质的含量经过某种反应
降低到初始值的一半所消耗的时间，记为 τ 或 t1 2 .
在(4.1.2)式中，令 t t0 且 x(t) x0 2 ，则
他在 1937 年伪造 17 世纪荷兰著名画家维米尔 （Jan Vermeer，1632—1675）的作品《以马午斯的 门徒》（The Disciples at Emmaus），并假冒真迹出售， 骗取了约 30 万美元（大约相当于现今的 400 万美元）.
4.1.5 是真迹还是赝品？
1. 历史背景
4.1.2 碳-14测年法
碳-14 与氧结合成二氧化碳，散布在大气之中， 生物体经由呼吸或光合作用，随时补充衰变掉的碳 -14，且与大气中的碳-14 维持恒定. 但是一旦生物体 死亡，体内的碳-14 无法补充，每隔 5730 年就会减少 一半，所以只要能测出死亡的生物体内（例如骨头、 木炭、贝壳、谷物）残存的碳-14 浓度，就可以推算 出生物体于何时停止补充碳-14，也就是生物体已死亡 多久的时间. 碳-14 定年法只适用于测定距今 70000 年内的古物所属的年代.
x0 2 x0ek
所以
k ln 2
(4.1.3)
所以一级动力学反应的半衰期是一个与初始状态无
关的常数.
x=x0
一级动力学反应的指数衰减过程和半衰期
x
x=x0/2
t=0
t=
t
图4.1
4.1.2 碳-14测年法
当人们看见一件很古老的东西，最常见的疑问是 “这是多少年前的东西”？考古学家一直在努力发展 新技术来考证古物的年代.
4.1.2 碳-14测年法
碳是一种很常见的非金属元素，以多种形式广泛 存在于大气和地壳之中，常见的碳单质有石墨和金刚 石，碳的一系列化合物——有机物是生命的根本.
自然界中存在三种碳的同位素：碳-12（98.9%）、 碳-13 及碳-14（极少）. 碳-12 和碳-13 属稳定型，碳 -14 具有放射性. 碳-14 是由宇宙射线撞击空气中的氮 原子而产生，衰变方式为 β 衰变，碳-14 原子转变为 氮原子. 碳-14 的半衰期长达 5730 年，考古学家就是 根据碳-14 的半衰期计算年代.
第二次世界大战期间，梅格伦的另一幅假冒维米 尔真迹的赝品经过辗转被德国纳粹元帅戈林收藏，德 国战败后，经过盟军的追查，梅格伦于 1945 年 5 月 在荷兰因涉嫌诈骗罪和通敌罪被逮捕入狱，他为了洗 脱通敌罪名，很快就供认那幅被戈林收藏的画其实是 他伪造的赝品，并在狱中绘制了他伪造的最后一幅赝 品，向由专家组成的陪审团展示他的伪造技术，后于 1946 年 4 月被释放.
同位素是具有相同原子序数的同一化学元素的 两种或多种原子之一，其原子具有相同数目的电子和 质子，但却有不同数目的中子.
放射性是指元素从不稳定的原子核自发的放出 射线而衰变形成稳定的元素. 有放射性的同位素被称 为放射性同位素.
放射性同位素的衰变属于一级动力学反应，即衰 变速率与放射性同位素的含量成正比. 所以放射性同 位素都具有非常稳定的半衰期.