高等数学PPT课件 3趋势面分析

它实质上是通过回归分析原理，运用最小二 乘法拟合一个二维非线性函数，模拟地理要素在 空间上的分布规律，展示地理要素在地域空间上 的变化趋势。
•
趋势面是一种抽象的数学曲面，它抽象
并过滤掉了一些局域随机因素的影响，使地
理要素的空间分布规律明显化。
• 因此趋势面分析的一个基本要求，就是所 选择的趋势面模型应该是剩余值最小，而趋
势值最大，这样拟合度精度才能达到足够的
准确性。空间趋势面分析，正是从地理要素
分布的实际数据中分解出趋势值和剩余值，
从而揭示地理要素空间分布的趋势与规律。
（一）建立趋势面模型
设某地理要素的实际观测数据为 zi(xi , yi )(i 1,2, ,n)， 趋势值拟合值为 zˆi(xi , yi ) ，则有
①反映区域性变化的：数据中反映总体的规律 性变化的部分由地质区域构造、区域岩相等大区域 因素所决定
②反映局部性变化的：反映局部范围的变化特 征
③反映随机性变化的：它是由各种随机因素造 成的偏差
所谓趋势面分析就是要对数据中所包含的三部分 信息进行分析，排除随机干扰部分，找出区域性变 化趋势，突出局部异常
趋势面分析
• 所以趋势面分析即把观测值分成两部分： 一部分是趋势值，构成所谓趋势面； 另一部分是剩余值，是由后两种因素构成的。 实测曲面 ＝ 趋势面＋剩余曲面
• 对某种点上的观测值来说，相应地有： 观测值 ＝ 趋势值＋剩余值
一、趋势面分析的一般原理
趋势面分析，是利用数学曲面模拟地理系统 要素在空间上的分布及变化趋势的一种数学方法。
zi (xi , yi ) zˆi (xi , yi ) i
式中：εi即为剩余值（残差值）。
显然，当（xi，yi）在空间上变动时，
上式就刻画了地理要素的实际分布曲面、 趋势面和剩余面之间的互动关系。
趋势面分析的核心：从实际观测值出 发推算趋势面，一般采用回归分析方法， 使得残差平方和趋于最小，即：
成各种复杂的波形，如下图6-7所示。
图中各阶调和的振幅均为1，实际上，振 幅可以不等，因此，如果利用足够多的具有 各种振幅的调和进行叠加，可以形成各种比 较复杂的波形。
正弦波的叠加
把不同振幅的一维调和进行叠加， 可以形成各种比较复杂的曲线。
把许多简单的二维调和叠加起来， 就可以构造出形态复杂的曲面，如下图 所示
（二） 估计趋势面模型的参数
实质：根据观测值zi，xi，yi（i=1,2,…,n） 确定多项式的系数a0，a1，…，ap，使残 差平方和最小。
过程： ① 将多项式回归（非线性模型）模型转 化为多元线性回归模型。
令
x1 x, x2 y, x3 x2, x4 xy, x5 y2,
则
zˆ a0 a1x1 a2 x2 ap xp
1、趋势面拟合适度的R2检验
趋势面与实际面的拟合度系数χ2是测定回 归模型拟合优度的重要指标。
一般用变量z的总离差平方和中回归平方
和所占的比重表示回归模型的拟合优度。
总离差平方和等于剩余平方和与回归平方 和之和。即
n
n
SST (zi zˆi )2 (zˆi z )2 SSD SSR
1)
SS
(K D
1)
SS
(K R
)
SS
(K D
)
自由度 p
n–p–1 q
n–q–1
均方差
F检验
MSR(K 1)
SS
(K R
!)
/
p
MS
(K D
1)
SS
(K D
!)
/(n
p
1)
MS
(K R
)
SS
(K R
)
/q
MS
(K D
)
SSD(K ) /(n q 1)
MS
(K R
1)
/
MS
(K D
1)
MS
(K R
xi2 yi xi yi 2
xi3 yi xi2 yi 2 xi yi 3
yi 2 xi yi 2 yi 3 xi2 yi 2
b0
b1
bb23
zi
zi xi
zi yi zi xi2
xi
yi
3
b4
yi 4
b5
zixi
yi
二、调和趋势面分析
许多地质过程和地质现象具有不严格 的周期性特征，如某地层界面的波状起伏、 构造旋回、沉积旋回和地球的磁场变化等， 都表现出周期性的重复现象。对于这种具 有周期性的地质过程和现象进行调和趋势 面分析，可以把地质变量的区域性趋势部 分和剩余部分（周期性部分与随机干扰部 分的和）分开，进而研究地质变量的波动 特征。
i 1
i 1
n
SSD (zi zˆi )2 为剩余平方和，它表示随 i 1
机因素对的离差的影响，
n
SSR (zˆi z )2 为回归平方和，它表示各 i 1
自变量对因变量的离差的总影响。
SSR 越大（或 SSD 越小）就表示因变量与自变量
的关系越密切，回归的规律性越强、效果越好。
记
R2 SSR 1 SSD
根据表6-2数据，分别进行三次、六次、八次 多项式趋势面分析和一阶、二阶、三阶调和趋势面 分析，它们的拟合度等参数见表6-3。
由上图可见，该标准层具有明显北东—南西延伸的隆 起带，其西北侧层面平坦，东南侧层面上具有局部突起和 洼陷。
在图6-10中，三次多项式趋势面(a)显示出一个 大体上不对称的隆起，但相应的一阶调和趋势面(b) 将隆起带勾画得略为清楚一些，这和它们拟合度是 相一致的。六次多项式趋势面(c)的拟合度为83.8%， 隆起带的延伸方向更加清楚，并显示出了隆起带上 的局部高点，但二阶调和趋势面(d)更好地表现出了 层面的波状起伏。三次多项式趋势面相比，六次多 项式趋势面没有明显变化，但三阶调和趋势面却反 映出了地层面的基本形态。
i 1
i 1
i 1
n
n
a0 i1 xi1 a1 i1 xi1xi1
n
n
ap xip xi1 xi1zi
i 1
i 1
a0
n i 1
xip
a1
n i 1
xi1xip
n
n
ap xip xip xip zi
i 1
i 1
③对于二维一次趋势面，上述方程为
z a0 a1x a2 y
趋势面分析
趋势面分析
所谓趋势就是事物发展的总的趋向， 它不受局部因素的影响而由总的规律所支 配，如某一构造层面的区域性变化趋势， 某一地化指标分布的总体规律等。
趋势面分析是研究地学系统要素（变 量）空间变化规律的有力工具，在地学系 统的研究和分析中已经得到广泛的应用。
趋势面分析
通常许多地学数据，如某一构造层顶面标高的 变化数据包括三部分：
其正规方程组为
1
xi
yi
xi 2
xi yi
yi 2
xi xi 2
xi yi xi 3
xi2 yi xi yi 2
yi
xi yi yi 2
xi2 yi xi yi 2 yi 3
xi 2 xi 3
xi2 yi xi 4
xi3 yi xi2 yi 2
xi yi
多项式趋势面分析
多项式趋势面的形式： ① 一次趋势面模型：
z a0 a1x a2 y
② 二次趋势面模型：
z a0 a1x a2 y a3x2 a4xy a5 y2
③ 三次趋势面模型：
z a0 a1x a2 y a3x2 a4xy a5 y2
a6 x3 a7 x2 y a8xy2 a9 y3
由实例比较可知，两种数学模型的拟合效果有差 异。实际工作中如何选择，取决于研究的目的和地质 变量的变化特征。
由表6-3可知，高次多项式比项数相近的二维 Fourier级数更能反映曲面的复杂性，但在反映地质 变量周期性变化特征的能力方面，它又不及Fourier 级数。
SST
SST
R2 越大，趋势面的拟合度就越高。
2、趋势面拟合适度的显著性F检验
▪ 趋势面适度的F检验，是对趋势面回归模型整体
的显著性检验。
▪ 方法：是利用变量z的总离差平方和中剩余平方
和与回归平方和的比值，确定变量z与自变量x、 y之间的回归关系是否显著。即
F SSR / p SSD / n p 1
)
/
MS
(K D
)
SSR(I ) SSR(K 1) SSRK p–q
MSR(I )
SS
(I R
)
/(
p
q)
MS
(I R
)
/
MS
(K D
1)
SST
需要注意的是，在实际应用中，往往 用次数低的趋势面逼近变化比较小的地理 要素数据，用次数高的趋势面逼近起伏变 化比较复杂的地理要素数据。次数低的趋 势面使用起来比较方便，但具体到某点拟 合较差；次数较高的趋势面只在观测点附 近效果较好，而在外推和内插时则效果较 差。
某地区的地质构造具有明显的波状起伏特点。 由地震解释资料得到某标准层90个观测点的横坐 标x、纵坐标y以及层面高程z，见表6-2。其中x、 y是以图幅左下角为坐标原点的相对坐标。
采用多项式趋势面分析和调和趋势面分析两 种方法进行拟合，目的是把项数相近的两类曲面 进行比较。
三个调和趋势面方程如下：
两种模型趋势面分析结果比较
调和趋势面
2、调和趋势面方程阶数与待定系数个数之间 的关系
由公式(6--15)可知调和趋势面方程的值是由 Fourier级数两次求和得到的，即趋势值z与x方向 的调和阶数t及y方向的调和阶数k都有关，而求和 时的调和阶数都是从0开始的，当t=0，k=0时，因 sin0 = 0，所以