处理有关恒成立问题基本方法

处理有关“恒成立”的思路方法

乐山市井研县马踏中学廖德俊与“恒成立”有关的问题一直是中学数学的重要内容，它是函数，数列，不等式，三角等内容交汇处的一个非常活跃的知识点，特别是导数的引入，成为我们更广泛更深入的研究函数，不等式的有利工具，更为我们研究恒成立问题提供了保障。对恒成立问题的考察不仅涉及到函数，不等式等有关的传统知识和方法，而且考察极限，导数等新增内容的掌握和灵活运用。它常与数学思想方法紧密结合，体现了能力立意的原则。恒成立问题涉及到一次函数，二次函数的性质，图象渗透和换元，化归，数形结合，函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题能力，培养学生思维的灵活性，创造性，所以是历年高考的热点。

一．恒成立问题的基本类型

按区间分类可分为：①在给定区间某关系的恒成立问题；②在全体实数集上某关系的恒成立问题。

二．处理恒成立问题的基本思路

处理与恒成立有关的问题大致可分以下两种方法

①变量分离思路处理；

②利用函数的性质，图象思路处理。

若不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化为函数的最值问题求解。

在不等式的恒成立问题中，以下充要条件应细心思考，甄别差异，性质使用。

≥∈--∈∴≥=--

=+∴≥-21

例2：若不等式x2+ax+10对一切x (0,]成立,则a 的取值范围为（ ）

2

5

A. 0

B. -2

C. -

D.-3

2

111

解析：由于x (0,],a 21115

()在(0,]上单调递增，在x=取得最小值

2225

,故选2

方法2：利用函数的性质，图象 其主要体现在：

1，利用一次函数的图象性质 x x x x f x x x a C

≠≥≤≥≥∈⇔≥≤≤∈⇔≤若原题可化

为一次函数类型，则由数形结合给定一次函数f(x)=ax+b (a 0).若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)0(或f(x)0)，则 根据函数的图象可得：

f(m)0

f(x)0，x [m,n]恒成立{

f(n)0f(m)0

f(x)0，x [m,n]恒成立{

f(n)0

2，利用二次函数的图象性质：

>≠⇔∆<≤∈220

若 f(x)=ax +bx+c (a 0)大于0恒成立{

若二次函数在给定区间上恒成立则可利用根的分布和韦达 定理求解。

例1： 函数f(x)是奇函数，且在[-1,1]单调递增，又f(-1)=-1，若 f(x)t -2at+1对所有的a [-1,1]都成立，求t 的取值范围 解析： 不等式中有三个变元，通过逐步消元a ≤∈⇔≥∈≥∈⇔≥22max

22法处理。首先选 定主元x ，()在[-1,1]递增

f(x)t -2at+1

a [-1,1]恒成立t -2at+1（x ）[-1,1]

即t -2at+11，a [-1,1]上恒成立t -2at 0

f x f x

≥⇔≥∈∈≤⇔≤∈≥⇔≥∈max min min 1.不等式m f(x)在区间D 上恒成立m f(x),x D 或f(x)的上确界（若f(x)在x D 的值域为[a,b]，则a 称 为f(x)的上确界，b 称为f(x)的下确界）

2.不等式m f(x)在区间D 上恒成立m f(x),x D 或f(x)的下确界

注释： 1.不等式m f(x)在区间D 上有解m f(x),x D 或f(x)的下确界

≤⇔≤∈≥≥max 2.不等式m f(x)在区间D 上有解m f(x),x D 或f(x)的上确界

那么，如何求函数g(x)在区间D 上的最大值（上确界）或最小值（下确界）呢？通常可以采取利用函数的单调性，图象，二次函数在区间上的最值，判别式法，三角函数的有解性，均值定理，函数求导例1：若函数f(x)=(x+1)ln(x+1)，对所有的x 0都有f(x)成立， 求实数a 的取值ax ≥≥∈≤

∞2

范围

解析：由f(x)=(x+1)ln(x+1)，对所有的x 0恒成立可得： （1） 当x=0时,a R

(x+1)ln(x+1)

(x+1)ln(x+1)

（2） 当x>0时,a ,设g(x) =

则问题转化为求该函数在开区间（0，+）的最小值（下确界），又

x-ln(x+1)

g?(x) = ，要想求出g?(x) = 0困难重重，可换元令h(x)=x-ln(x+1),ax x x

x

>>+∞>>∞=1

h'(x)=1-,0,故h'(x)0，则函数h(x)1

在（0，+）为增函数，即h(x)h(0)=0，从而g'(x)0，则函数g(x)在（0，+）也为增函数，故g(x)无最小值.此时，由于g(0)无意义，g(x)的下确界一时也难确定，但运用极限的知识可得g(x)>limg(x),然而求此极

(x+1)ln(x+1)

限又超出了所学范围，事实上采用洛比达法则可得limg(x) =

x x x

+=>>≤∞lim[ln(x+1)1]1,故0时,()1,因而1。综合（1）（2）知a 的取值范围为（-，1]

x g x a

{}

∈≥≥≥⇔⇔≥≥⇒∈-∞-+∞222

a [-1,1]恒成立，即g(a)=-2at+t 0,[-1,1]恒成立g(-1)0-2t+t 0

{{g(1)0-2t+t 0 (,2]

0[2,)

t

-+-+

+≥∈-+-+≥+-=-=⇒+≠-+-+2

2

2

2

2。2

22

例2：若函数R,

求实数a 的取值范围.

2

解析：该题就转化为被开方数(1)(1)1

0在R 上恒成立，注意对二次系数的讨论。解：依题意，当x R 时,

2

(1)(1)0恒成立，

1101 当10时，即当{时a=1,此时

102(1)(1)a x a x a a x a x a a a a a x a x ≥∴+->-≠∆≤>⇒⇒<≤-+>∈2。2

220a=1成立

1102当10时，即当{

1

{19

1090综上可得,()的定义域为时,[1,9] 方法三:直接根据函数图象判断

若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等式或不等式两边函数的图象,则可以通过画图直接判断得出结果

a a a a a a a f x R a