哥德尔定理(1)

什么是公理化
科学理论的“内在循环” 公理化方法的两个要点 公理的古典含义和现代含义
什么是形式化
非形式的、形式的和形式化的 形式化方法和形式系统 形式化方法的两个要点
语法和语义
对象理wenku.baidu.com和元理论
形式化和公理化 形式化的意义
形式系统的语法
符号库
形式语言 形成规则 形式系统 公理
演绎结构
推导规则
“可证”—— 核心语法概念
哥德尔不完全性定理包括两个重要结论：
第一个结论（哥德尔第二不完全性定理）：算术形 式系统（以及一切不弱于算术系统的形式系统）如果是 一致的，则这种一致性在系统内是不可证的。
一个形式系统的能力，包括它的形式语言的刻划能 力和演绎结构的推导能力。所谓不弱于算术系统，就是 指这种刻划和推导能力不弱于算术系统。上述结论告诉 我们：这样的系统的一致性，即不矛盾性的证明，不可 能在本系统内作出，要完成这样的证明，必须使用（至 少在某些方面）比本系统更强、更复杂些的工具才有可 能。
哥德尔定理揭示了形式化方法的 局限？
在数理逻辑这段令人眼花缭乱的 发展历史和科学成果中，我认为，至 少以下几点应该引起我国的人文科学 工作者，包括马克思主义哲学工作者 的注意和思考。
第一，一个科学理论，在研究特定 的对象世界的同时，应该把审视和研 究自身作为本理论的一个组成部分。
2000年的研究生入学政治考试中有一道试题：用对立统一 规律分析改革开放的巨大成就和负面影响的关系。答案要点： （1）两点论：改革开放取得巨大成就的同时出现某些负面影 响是必然的；（2）重点论：巨大成就是矛盾的主要方面，决 定改革开放的性质；（3）转化论：不能忽视负面影响，在一 定的条件下负面影响有可能转化为矛盾的主要方面，而改变改 革开放的性质。不难发现，上述这些理论要点，当年就是用来 证明“文化大革命成绩最大最大最大，损失最小最小最小”的， 就是用来分析“大跃进”的“九个指头”和“一个指头”的关 系的。现在几乎一字不动地用来论证改革开放。如果上述这样 的哲学分析都是成立的，则允许作此种分析的哲学理论的一致 性就应受到严重质疑。
命题A这样的命题，称为不可判定性命题。 不可判定性命题一旦构造出来，哥德尔定理的 证明也就接近完成了。 哥德尔定理证明的实质内容，就是不可判定 性命题的构造，即在算术形式系统内，用对象语 言构造一个元数学内容的命题，它断定自身在系 统中不可证。
数学不但是不完全（incomplete） 的，而且是不可完全（ incompletable ） 的。 是数学形式系统不可完全，还是 数学不可完全？
形式系统的语义
形式系统的语义理论的目标 “真”—— 核心语义概念 同一形式系统的不同语义解释
形式系统的元理论
可靠性
一致性 完全性 可判定性 独立性
形式化的重要概念
对象语言和元语言 对象理论和元理论 语法和语义 系统内的证明和关于系统的证明 内定理和元定理
构造形式系统的意义，或者说形式化 方法的意义在于： 第一，使系统内的推导和论证的严格 性达到了极致； 第二，使区分对象理论和元理论，建 立严格的元理论成为可能。
一个人，如果说的都是真话， 那么，必定并非所有的真话他都能 说（即总有真话他不能说）。
哥德尔第二不完全性定理 一个不弱于初等数论的形式系统如果是一 致的，则这种一致性在该系统内不可证明。
其直观意思大致可以这样描述：
一个理论，如果不自相矛盾，那么这种 不自相矛盾的性质在该理论中不可证。
一个人，如果始终如一，从不自相
哥德尔定理是一种特殊的数学命题，称为 元数学命题。 什么是元数学？ 什么是元逻辑？ 或者一般地，什么是元理论？ 科学的严格的元理论，何以成为可能？
元理论
对象理论
对象
这应当是科学理论的理想结构模式 （逻辑）元理论的目标：分析和论证对象理论的 元逻辑性质，最重要的是可靠性、一致性和完全 性，以及独立性和可判定性等。 元理论必须比对象理论丰富。一般地，一个对象 理论不能同时成为自己的元理论。 科学元理论的前提：对象理论的足够严格。
关于逻辑转向
数理逻辑的三大流派： 罗素的逻辑主义； 希尔伯特的形式主义； 布拉维尔的直觉主义。
希尔伯特纲领
目标 三种数学 有穷方法
用数理逻辑的工具重新表达和构造数 学系统，并证明它们的一致性，以及另外 一些重要的元性质，这就是形式化的数理 逻辑给自己提出的任务。 这是一个巨大的挑战和艰辛的探索。 在这一过程中，数理逻辑自身得到了长足 的发展而臻于成熟。哥德尔不完全性定理 正是在这种探索过程中所取得的最杰出的 成果。
数理逻辑为数学和逻辑建立
了严格的元理论，其前提是，它
为逻辑和数学建立了最为严格的
对象理论。
在抽象性和严格性上达到极致
的理论形态：形式系统
非公理系统 科学 知识 科学 理论 实质公理系统
公理系统
形式公理系统 （形式系统）
科学知识和科学理论的区别是什么？ 非公理系统和公理系统的区别是什么？ 实质公理系统和形式系统的区别是什么？ 构造形式系统的目的和意义何在？
对素朴集合论的修补：公理集合论和罗素的 分支类型论。筑起围墙挡住了已发现的大灰狼，并 不意味着能保证围墙内不再会出现大灰狼！
第一次数学危机。 毕达哥拉斯悖论：“不可公度线段存在 性的证明”。 第二次数学危机。 贝克莱悖论：“无穷小量既是0又不是 0”。 第三次数学危机。 罗素悖论：“集合论悖论”
逻辑的数学转向：数学基础的研究
这样，作为人类智慧杰作的欧氏几何，似乎是天 经地义的自然数算术，其作为科学理论的合法性，立 刻变得十分可疑。数学家突然认识到：第一，欧氏几 何和自然数算术的一致性尚未得到证明；第二，这种 一致性必须加以证明，否则，人们就没有理由相信几 何与算术的定理为真理，因为，如果这样的系统是不 一致的，那么，这些定理的反命题同样是可证的。
数理逻辑的这种“责任心”不 是
自发地产生的，而是科学发展的
实践“迫使”它具备的。
问题最早源于2000多年前的欧氏几何… 令人不放心的欧氏几何第五条公理。 取消公理五的公理资格，证明它！ 世纪努力的失败：直接证明走不通。 18世纪：反证！ 无意中构造了一个非欧几何：构造它的目的是为 了从中推出矛盾，即通过证明非欧几何的不一致， 在欧氏几何中完成对第五公理的证明。 非欧几何：怪诞 矛盾 思维急转弯：非欧几何是否可能不矛盾？
矛盾，那么，他必定无法说明，自己为
什么会具备这种品质。
曾有人问哥德尔，是否可以将不完全性定 理推广到数学以外，哥德尔尝试给出了一个自 己认为合理的表述：
一个处处按统一法则行事的社会，就其行 为而言，或者是不一致的，或者是不完全的， 即无力解决某些可能是极端重要的问题。当社 会面临困难处境时，这两者都会危及社会的生 存。
在几乎所有的科学理论中，只有形式化的数 理逻辑把自己的理论明确区分为两个部分：对象 理论和元理论。 一个系统的元理论要解决的两个最基本的问 题是：第一，这个系统是否一致？即是否不矛盾， 是否能确保两个互相矛盾的命题在系统中不都可 证？第二，这个系统是否完全？即相关的真理 （真命题）在系统中是否都可证？
不要误解哥德尔第二不完全性定理
形式系统的一致性不可知？不可证？
如果一个系统在自身内部证明了自己的 一致性又怎么样？ 一个系统在自身内部证明了自己的一 致性≠这个系统的一致性得到了证明。因为 一个不一致的系统可以证明任何结论，包括 自己的一致性。 命题演算在系统内证明了不矛盾律 （A ∧ A） 不等于证明了自身的不矛盾性（一致性）。
形式系统的极端抽象性
形式系统的语法理论只涉及符号与符 号之间的关系，不涉及符号的意义。
形式系统的极端严格性
能行方法
形式系统的极端严格性：任给一个符号， 可以能行地判定是否为系统中的符号；任给一 个符号串，可以能行地判定是否为系统中的公 式；任给一个系统中公式，可以能行地判定是 否为系统中的公理；任给一个系统中公式序列， 可以能行地判定是为系统中的一个证明。
第二个结论（哥德尔第一不完全性定 理）：算术形式系统（以及一切不弱于算术 系统的形式系统）如果是一致的，则是不完 全的，即存在着一个系统内的真命题，在系 统内不可证。
哥德尔第一不完全性定理的证明是极 其漂亮的。 哥德尔定理的魅力，不仅在于它的内 容，而且在于它的证明思路和方法。
哥德尔在形式算术系统中构造了这样一个 命题A，它的含义恰恰是：“命题A在系统中不可 证”。 第一，A不可能假。 如果命题A假，即“命 题A在系统中不可证”假，即事实上命题A在系统 中可证。由可靠性，A是真命题。矛盾！所以命 题A必定真。 第二，真命题A断定的正是自身在系统中不 可证。 所以命题A就是一个在系统中不可证的真命 题！即如果系统是一致的，则是不完全的。
这时，一个出乎数学家们意料的结论 被证明了：欧氏几何和自然数算术与非欧 几何在一致性上是等价的！ 就是说，如果欧氏几何或自然数算术 是不矛盾的，则非欧几何也是不矛盾的； 也就是说，如果“怪诞的”非欧几何是自 相矛盾的，则欧氏几何和自然数算术也是 自相矛盾的！而人们构造非欧几何的目的， 正是试图证明它的自相矛盾！
一致性有关一个理论能否成立，显然，一 个不一致，即自相矛盾的理论，不可能是科学理 论；而完全性有关一个理论证明相关真理的能力 及其限度。
也就是说，数理逻辑作为科学理论，具有 一个极其鲜明的特点：它在构造自己以说明思维 或数学的规律的时候，首先极其负责地审视自己： 自己是否一致？如果是的话，如何证明？自己是 否有足够的能力把握思维和数学领域中的所有真 理？如果是的话，如何证明？如果不是的话，这 种能力的限度在哪里？如何证明？
这是科学发展史上一个多么应当引起重视的亮点！ 一个科学理论，在研究相关领域客观规律的同时，严 格的自我审视原来竟是如此至关重要！
正当数学家们把证明数学系统一 致性的希望寄托在集合论身上……
1901年，整整一个世纪前，罗素发现了 “集合论”悖论！
概括原则和外延原则 依据概括原则，罗素定义了这样一个集合S： S以所有不以自己为元素的集合作为自己的元素。问： S是否以自己为元素？ 罗素悖论的俗本：理发师悖论
在哥德尔所发现的被称为“20世纪最 有意义的数学真理”当中，最杰出，最具 有代表性、最有震撼力的是哥德尔不完全 性定理。
哥德尔第一不完全性定理 一个不弱于初等数论的形式系统如果是一 致的，则是不完全的。
其直观意思大致可以这样描述：
一个理论，如果具备足够的表达能力和推 理能力，那么，只要它不会证明自相矛盾的结 论，就必然存在某种真理，它不可能证明。
注意：命题A这样的命题具有两个特点： 第一，命题A断定自身的不可证性。这种断定 是基于形式定义之上的，是严格的，无歧义的。 第二，命题A就其意义来说是元数学命题，但 它完全是用对象语言表达的，即完全是算术形式 系统内的算术公式。 也就是说，哥德尔做了一件看来有悖于形式 化的基本定义的事：他用对象语言构造了一个元 理论的命题。
哥德尔不完全性定理
中国人民大学 哲学系 陈慕泽
第一讲 哥德尔不完全性定理的背景、内容和影响
第二讲
哥德尔第一不完全性定理和第二不完全
性定理的证明
哥德尔不完全性定理的 背景、内容和影响
哥德尔其人 哥德尔不完全性定理的背景 哥德尔不完全性定理内容及其证明的直观描述 哥德尔不完全性定理的挑战性影响
哥德尔是20世纪最伟大的数学家和逻辑 学家之一。 在逻辑学中的地位，一般都将他与亚里 士多德和莱布尼兹相比；在数学中的地位， 爱因斯坦把哥德尔的贡献与他本人对物理学 的贡献视为同类。1952年6月美国哈佛大学授 予哥德尔荣誉理学学位时，称他为“20世纪 最有意义的数学真理的发现者”。
哥德尔第二不完全性定理宣告了希尔伯 特纲领的破产？
算术系统的一致性的证明到底解决了没有？
甘岑、阿克曼分别用超穷方法证明了算术系统的一 致性。哥德尔在使用有限型泛函法所构造的系统（称为 Y系统）中，也证明了算术系统的一致性。
现在的问题是：例如，Y系统如何证明自己的一致 性？如果它不能形式化，则甚至不具备讨论它的一致性 的基础；如果它能形式化，则由于它比算术系统更强， 因此由哥德尔定理，它的一致性同样在自身内部是不可 证的，要证明Y系统的一致性，需要更强的工具。这是 否说明，算术系统一致性的证明，注定是相对的。