数字散斑相关测量中亚像素位移测量方法的比较

令
6
v=
6 b 6 ca (6 ab ) - 6 a 6 b 6 ab 6 ca - 6 a 6 cb (6 ab ) - 6 a 6 b
i 2 i i i 2 2 i 2 i i i i i 2 i 2 i i 2 i 2 i
a i bi 6 c i bi -
i
( 5)
i i
( 6)
U + u , V + v 即是所求的位移 . 图 5 给出第 2. 3 小节所述之高斯插值法 与本小节所述之梯度法的误差曲线比较 . 可以看到, 当位移小于 0. 04 像素时, 梯度 法的误差比较小 , 当位移在 0. 01 像素时, 梯度 法的相对误差在 6% 左右 , 这是可以接受的. 而当位移大于 0. 04 像素时 , 插值法的误差小于梯度法. 2. 5 基于梯度的计算方法二 2. 4 小节所述之梯度法, 直接从变形前与变形后的灰度图展开推导 . 本小节所述之梯度法 先选取一个相关系数计算公式, 然后再进一步推导. 这种新的方法的基本原理如下 : 首先选取相关公式 , 本文选取了另一种相关公式 , 它是式 ( 1) 的平方 , 即式 ( 7) .
[ 1]
6 6
C ( u, v ) =
m
m
[ f ( x i , y j ) - f-] [ g ( x i + u, y j + v ) - g] ( 1)
i= 1 j = 1 2 [ f ( x i, y j ) - f]
6 6
m
m
i= 1 j = 1
6 6
Hale Waihona Puke mm2 [ g( x i + u, y j + v) - g]
图 1 三点插值、 五点插值和 七点插值的相 对误差曲线
第 3 期 孟利波等 : 数字散斑相关测量中亚像素位移测量方法的比较 345
( n + 1) 个数据点进行 n 次多项式拟合, 与对 ( n + 1) 个数据点进行多项式插值是等价的, 所以, 本文认为 : 在相同条件下( 数据点数相同或者所求的多项式次数相同, 对数据的预处理相同 ) , 插值可以取代拟合 .
X 收稿日期 : 2002-07-10; 修订日期 : 2003-07-24
作者简介 : 孟利波( 1977- ) , 男 , 重庆市人 , 清华大学工程力学系博士生 , 主要从事数字散斑测量技术研究 .
实 验 力 学 ( 2003 年 ) 第 18 卷 344
2. 3 高斯插值 从相关系数分布曲线来看, 其分布规律接近于高斯分布, 所以可以考虑先对 C 取自然对 数 , 然后再插值 . 在本小节中采用的插值函数以及数据点的选取方法与 2. 1 小节完全相同. 如 果没有特别说明, 本文中提到的对数皆指自然对数. 五点插值和七点插值的误差曲线如图 2. C 取对数后的三点插值、 从图中可以看到, 当位移小于 0. 03 像素 时 , 插值计算方法仍然是不可取的, 而当位移 大于 0. 04 像素时, 五点插值的精度与七点插 值的 精度极为 接近, 这 时, 从计 算速度上 考 虑 , 应选用五点插值. 下面将对相关系数取对数前与取对数后 进行插值的两种方法进行比较. 由于三点插 值不可靠性 , 在本节中, 只对五点插值和七点 插值进行了比较. 如图 3 、 图 4 所示 . 可以看到, 高斯插值与直接对相关系数 的插值相比 , 计算的相对误差已经有所降低 . 在位移为 0. 08 像素时, 取对数后的五点插值 相对误差已经降到了 0. 5% . 2. 4 基于梯度的计算方法一 基于梯度的计算方法, 原理如下 : 用 I 1 表示变形前的图像 , I 2 表示变形后的图像, U 、 V 表示已经找到的整像素位移 , u 、 v表 示在整像素位移基础上的亚像素位移 . 则可以得到如下式子: I 2( x + U , y + V ) = I 1( x - u , y - v ) = I 1 ( x , y ) 5I 1 5 I1 uv 5x 5y ( 2) ( 3)
表 1 2 次多项式拟合的计算结果 ( 单位 : 像素 ) 3点 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 0. 070 0. 072 0. 076 0. 079 0. 076 5点 0. 054 0. 056 0. 072 0. 078 0. 072 7点 0. 034 0. 037 0. 071 0. 069 0. 066 9点 0. 013 0. 022 0. 072 0. 056 0. 058 11 点 - 0. 007 0. 015 0. 073 0. 046 0. 050 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 表 2 4 次多项式拟合的计算结果 ( 单位 : 像素 ) 5点 0. 076 0. 078 0. 078 0. 081 0. 079 7点 0. 069 0. 070 0. 074 0. 084 0. 077 9点 0. 057 0. 055 0. 073 0. 082 0. 074 11 点 0. 044 0. 040 0. 074 0. 075 0. 071
实 验 力 学 ( 2003 年 ) 第 18 卷 346
图 3 相关系数取对数前与取对数后 五点插值的相对误差曲线
图 4 相关系数取对数前与取对数后 七点值的相对 误差曲线
由 ( 2) 式和( 3) 式可得: 5I 1 5 I2 5I 1 5I 2 + u+ + v = 2( I 1 - I 2 ) ( 4) 5x 5 x 5 y 5y 5I 1 5 I2 5 I1 5I 2 a= + , b= + , c = 2( I 1 - I 2 ) 5x 5 x 5y 5 y 则 au+ bv = c. 对于 m ×m 的子图像, 有 m ×m 个 数据点 ( ai , b i , c i ) , i = 1, 2, … , n × n, 可以用 最小二乘法求解 u , v , 得如下结果: u=
图 5 相关系数 取对数后的五点插值 与梯度法的计算相对误差曲线
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C( u, v ) =
6 6 6 6
m i= 1 j = 1
m
m
[ f ( x i , y j ) - f-] [ g ( x i + U + u , y j + V + v ) - g]
第 18 卷 第 3 期 2003 年 9 月
实 验 力 学
JOU R NA L O F EXP ERIM EN T AL M ECHA N ICS
V o l. 18 No . 3 Sep. 2003
文章编号 : 1001-4888( 2003) 03-0343-06
数字散斑相关测量中亚像素位移 测量方法的比较
1 引言 数字散斑相关方法 ( DSCM ) 是在 80 年代初由 Yamaguchi I 、 W. H. P eters 和 W. F . Ranson 等人同时提出, 用于测量物体面内位移的非接触式光学测量方法 . 区别于传统的干涉测量方 法 , DSCM 直接从物体表面随机分布的人工或自然散斑场中提取变形信息 . 数字散斑相关方 法具有全场测量、 非接触等优点 , 且其光路简单 , 要求的测量环境低 , 因而在实际测量中有着广 泛的应用. DSCM 的基本原理如下: 物体变形前后, 其表面上几何点的移动产生了位移 , 通过相关算 法 , 确定物体变形前后对应的几何点 , 即可以得到位移 . 常用的相关公式如式( 1) 所示 :
X
孟利波, 马少鹏, 金观昌
( 清华大学 工程力学系 , 北京 100084)
摘要: 本文介绍了数字散斑相关测量中确定亚像素位移的几种方法, 包括对相关 系数的插值、 拟合以及基于图像梯度的两种方法 . 文中详细比较了这几种方法, 并以计 算结果的相对误差为依据, 给出了这几种方法在应用中的参考选择标准 . 关键词: 数字散斑相关; 插值法; 梯度法 中图分类号: O348. 12 文献标识码 : A
i= 1 j = 1
公式 ( 1) 表示在变形前后的图像上 , 各取大小为 m × m 的子区域 , 计算相关系数 C , 改变 u、 v 的值 , 即在变形后的图像上移动子区域 , 可以得到不同的 C 值. 使得 C 取最大值的 u 和 v , 即是子区域中心的位移 . 通过上述方法, 可以确定物体表面的整像素位移值.
在实际应用中 , 由于 CCD 摄像机像素有限 , 确定整像素位移的意义不大 , 通常希望能够获 得 0. 01 像素的测量精度. 因此, 需要进一步确定亚像素位移. 目前在确定亚像素位移方面已经 有了不少方法 , 如插值、 拟合 [ 2, 3] 以及梯度法 [ 4, 5] 等 , 但是对于这些方法的优缺点 , 没有一个系统 的比较 , 本文介绍了几种确定亚像素位移的方法 , 通过大量计算实例, 比较了它们的计算相对 误差随位移的变化 , 为在研究与实测中方法的取舍提供了一个判断依据 . 2 几种确定亚像素位移的方法 2. 1 关于相关系数 C 的插值 为了分析上的方便 , 在本文中介绍的插值法以及拟合法都限于一维的情况. 在变形前的图像上取一点 O , 并且找到了 O 点在变形后图像上对应的整像素位移点 O ′ , 在 O′ 点的左右各取若干个对称点, 包括 O′ 点, 计算在这些点上的相关系数, 并对这一系列相关 系数进行多项式插值, 得到以 u 为自变量 ( 若是二维情况, 应是以 u、 v 为自变量) 的连续函数, 然后寻找使得 C ( u ) 取最大值时的 u 值 , 这即是所求的亚像素位移. 在本文中采用的多项式插值 , 分别为三点插值、 五点插值和七点插值 . 图 1 给出了三点插值、 五点插值和七点插 值的相对误差曲线 . 本文采用的散斑图皆是由 计算机模拟产生的模拟散斑图 . 使用模拟散斑 图的主要原因是便于控制位移以及散斑的特 征 . 本文所采用的散斑图特征如下: 图像大小 : 128×128 像素 散斑尺寸 : 3 像素 散斑总数 : 1500 子区域尺寸: 41 ×41 像素 每组散斑图的位移皆是沿 u 方向的. 由于 0. 1像素的精度是比较容易达到的 , 因此本文 将讨论的位移范围限于 0. 1 像素以下 . 从图中可以看到, 三点插值的相对误差比 较大, 如果位移精度要求在 0. 1 像素以下 , 这 种方法基本上是不可取的. 当位移小于 0. 03 像素时 , 五点插值和七点插值计算的相对误差也 相当大 , 当位移大于 0. 03 像素时 , 位移误差是可以接受的 , 特别是七点插值, 误差小于 5% . 2. 2 关于相关系数 C 的一维拟合 对于 n 个点, 如果拟合产生 ( n - 1) 次多项式 , 则从理论分析可知, 其结果与这 n 个点的多 项式插值是相同的 . 下面进一步讨论 , 在拟合多项式的次数相同的情况下 , 选取数据点的分布 对精度的影响 . 在下面的分析中 , 选取数据点的方法与上一小节的方法相同. 首先使用模拟的方法, 生成 5 组位移是 0. 08 像素的图像 , 每组两副图. 拟合计算的结果如 表 1、 表 2 所示 . 从表 1、 表 2 的数据可以看到, 当拟合多项式的次数是 n, 数据点数是( n + 1) 时的结果最接 近 标准位 移 0. 08 像素 , 并且比较稳 定; 当数据点 数大于 ( n + 1) 时 , 结果不甚 理想. 由 于对
图 2 相关系数取对数后的 插值计算相对误差曲线图
5 I2 5I 2 I 1 ( x , y ) = I 2 ( x + U + u, y + V + v) = I 2 ( x + U , y + V ) + 5 x u + 5y v ( 2) 式中的 I 1 即是 I 1 ( x , y ) , ( 3) 式中的 I 2 即是 I 2( x + I U , , y + IV ) .