高等数学讲义—5第五章定积分及其应用高数讲义

3．定积分的几何意义
b
在区间[a,b] 上函数 f (x) 0 时，定积分 f (x)dx 在几何上表示由曲线 a
y f (x) 、两条直线 x a 、 x b 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积．
在区间[a,b] 上 f (x) 0 时，由曲线 y f (x) 、两条直线 x a 、 x b 与
限， b 叫做积分上限，[a, b] 叫做积分区间．
说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说
b
b
b
f (x)dx f (t)dt f (u)du ．
a
a
a
2．定积分存在的充分条件（可积的条件）
（1）设 f (x) 在区间[a,b] 上连续，则 f (x) 在[a,b] 上可积．
【考试内容】
一、定积分的相关概念
1．定积分的定义
设函数 f (x) 在[a,b] 上有界，在[a,b] 中任意插入若干个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b ，
把区间[a,b] 分成 n 个小区间[x0 , x1]，[x1, x2 ]，，[xn1, xn ] ，
各个小区间的长度依次为 x1 x1 x0 ，
x
[a, x]上仍旧连续，因此定积分 f (x)dx 存在．这里， x 既表示定积分的上限，又表 a
示
积分变量．因为定积分与积分变量的记法无关，所以为了明确起见，可以把积分变量改用 其
x
他符号，例如用 t 表示，则上面的定积分可以写成 f (t)dt ．如果上限 x 在区间 a
[a, b] 上任意变动，则对于每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所以它在[a, b] 上
[xi1, xi ] 上点i 怎样选取，只要当 0 时，和 S 总趋于确定的极限 I ，那么称这个
b
极限 I 为函数 f (x) 在区间[a,b] 上的定积分（简称积分），记作 f (x)dx ，即 a
b a
f (x)dx I
lim 0
n i1
f (i )xi ，
其中 f (x) 叫做被积函数， f (x)dx 叫做被积表达式， x 叫做积分变量， a 叫做积分下
（2）设 f (x) 在区间[a,b] 上有界，且只有有限个间断点，则 f (x) 在区间[a,b] 上可
积．
说明：由以上两个充分条件可知，函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，则 f (x) 在[a,b] 上 一定可积；若 f (x) 在[a,b] 上可积，则 f (x) 在区间[a,b] 上不一定连续，故函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续是 f (x) 在[a,b] 上可积的充分非必要条件．
x2 x2 x1 ，， xn xn xn1 ．在每个小区间[xi1, xi ] 上任取一点i （
xi1 i xi ），作函数值 f (i ) 与小区间长度 xi 的乘积 f (i )xi
（
n
i 1, 2,, n ），并作出和 S f (i )xi ． i1
记 max{x1, x2 ,, xn}，如果不论对[a,b] 怎样划分，也不论在小区间
第五章 定积分
【考试要求】
1．理解定积分的概念与几何意义 , 掌握定积分的基本性质。 2．理解变限积分函数的概念，掌握变限积分函数求导的方法。 3．掌握牛顿 —莱布尼茨 (Newton—Leibniz)公式。 4．掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 5．理解无穷区间上有界函数的广义积分与有限区间上无界函数的瑕积分的概念， 掌握其计算方法。 6．会用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转一周所得的旋转 体的体积。
a
a
b
性质 7．如果在区间[a,b] 上 f (x) 0 ，则 f (x)dx 0 （ a b ）． a
推论（1）： 如果在区间[a,b] 上 f (x) g(x) ，则
b
b
f (x)dx g(x)dx （ a b ）．
a
a
ห้องสมุดไป่ตู้
b
b
推论（2）： f (x)dx f (x) dx （ a b ）．
b
x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，定积分 f (x)dx 在几何上表示上述曲边梯形 a
面积的负值．
在区间[a, b] 上 f (x) 既取得正值又取得负值时，函数 f (x) 的图形某些部分在 x 轴
b
的上方，而其他部分在 x 轴的下方，此时定积分 f (x)dx 表示 x 轴上方图形的面积减 a
b f (x)dx f ( )(b a) （ a b ）． a
说明：该公式称为积分中值公式， f ( ) 1
b
f (x)dx 称为函数 f (x) 在区间
ba a
[a,b] 上的平均值．
三、积分上限函数及其导数
1．积分上限函数的定义
设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，并且设 x 为[a,b] 上的一点，由于 f (x) 在区间
a
b
b
说明：该性质对于有限个函数都是成立的．
b
b
性质 4． kf (x)dx k f (x)dx （ k 是常数）．
a
a
b
c
b
性质 5． f (x)dx f (x)dx f (x)dx ．
a
a
c
说明：该性质称为定积分对于积分区间的可加性．
b
b
性质 6．如果在区间[a,b] 上 f (x) 1，则 1dx dx b a ．
去 x 轴下方面积所得之差．
二、定积分的性质
下列各性质中积分上下限的大小，如不特别指明，均不加限制；并假定各性质中所列 出的定积分都是存在的．
b
性质 1．当 a b 时， f (x)dx 0 ． a
b
a
性质 2．当 a b 时， f (x)dx f (x)dx ．
a
b
b
a
a
性质 3． [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx ．
a
a
性质 8．（估值不等式）设 M 及 m 分别是函数 f (x) 在区间[a, b] 上的最大值和最小值，
则
b
m(b a) f (x)dx M (b a) （ a b ）． a
性质 9．（定积分中值定理）如果函数 f (x) 在积分区间[a, b] 上连续，则在[a, b] 上至
少存在一点 ，使得下式成立：
定义了一
x
个函数，记作 (x) ： (x) f (t)dt （ a x b ），这个函数即为积分上限 a