光学(3)——几何光学(II)

光学(3)——几何光学(II)
陈章渊
北京大学电子学系
9/9/2011
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Baidu Nhomakorabea
Optics
费马原理和成像
费马原理：光线沿光程为平稳值的路径传播 光学系统成像
Q
P
光学系统
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2
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一些概念
如果球面波的一部分发散自一点，或球面波的一部分会聚到一点， 这样的点就称为光束的焦点。
物点在 O点左 边 物点在 右边 （虚物） 像点在 O点右 像点在 O点左 球心在 右
(1)
公式(1)中的各个量是有符号的
M Q s n O h r C s' d n'
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P
s>0
s<0
s'>0
s'<0
r>0
r<0
注：光线从左向右传播
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1 1 1 复合透镜的焦距 f f1 f 2
问题：m个密接薄透镜是否有１／f=(1/fi)?
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薄透镜组：作图法
L1 L2
当两个透镜间隔小于它们的焦距
Fo1
Fo2
O1
O2
Fi1
Fi2
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孔径光阑(A.S.)
视场光阑(F.S.)
用来限制被系统成像的物 体的尺寸或角宽度的元件 比如：照相机里胶片的边 缘
引自Hecht, Optics
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Optics
入射光瞳和出射光瞳
光瞳不过是孔径光阑的像 入射光瞳(Entrance Pupil)
Optics
常见的薄透镜
常用不同的透镜组合来消除色差、像差等
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密接薄透镜组
1 1 1 1 1 1 , s1 f1 s2 s2 f 2 s1
对两个透镜应用高斯公式
当两个薄透镜密接 于是
s2 s1
1 1 1 1 s1 f1 f 2 s2
薄透镜公式 Lensmaker’s Equation
焦距
1 1 1 1 (nl 1) f f r r 1 2
1 1 1 s1 s2 f
高斯透 镜公式
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Optics
薄凸透镜聚焦
摄于Smithsonian National Air and Space Museum(华盛顿)
P
ABCDEFGHIJK
所有几率幅度向量同相相加
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一个透镜通过使所有的组分几率幅度 具有相同的相位角来聚焦光线。
光阑(Stops)
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孔径光阑和视场光阑
决定了到达像的光的数量 的任何元件，无论它是透 镜的边缘或一个单独的光 阑 例如照相机里的可调叶片 光圈
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透镜
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单个球面折射旁轴成像(1)
经过球面上任意一个旁轴点M的物像光程为 L(QMP) n QM n MP
n ( s r r cos ) 2 r 2 sin 2 n [ x (r r cos )]2 r 2 sin 2 n r 2 ( s r ) 2 2r ( s r ) cos n r 2 ( x r ) 2 2r ( x r ) cos
一个发散光波的波前部分被一个 透镜聚焦，照片用全息技术制作。 照片中显示了一个10ps球形脉冲 穿过透镜前后的五次曝光，每次 间隔100ps。 ——引自Hecht, Optics
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焦点
1 1 1 1 (nl 1) f f r1 r2
光心 O f
Fi
Fo
' 像方焦面
物方焦面
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有限成像
符 号
由高斯透镜公式可知
so
实物 虚物
si
实像 虚像
f
会聚 透镜 发散 透镜
yo
正立 物 倒立 物
yi
正立 像 倒立 像
MT
正立 像 倒立 像
xo xi f
2
牛顿公式
焦点 共轭
如果对于来自点源Q的一个光线锥体来说，存在一个通过点P的对 应光线锥体，就称这个系统对这两个点来说是共轭的。 根据光路可逆原理，位于P处的点源，同样也会在Q处成像，因此 这两个点也可以被称为共轭点。
理想成像
锥体中的能量（且不说由反射、散射和吸收引起的一些损失）都 到达点P，点P就被看作是点源Q的理想成像。
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薄透镜公式
1 1 n0 n0 nl nl (nl n0 ) s1 s2 s2i d s2i r r 1 2
将两个界面的公式相加
当d0时(薄)，一般在空气里n01
1 1 1 1 nl 1 s1 s2 r r 1 2
Fi nl>0
Fo r1>0, r2=, f>0 r1<0, r2>0, f‘<0
Fi
Fo
r1>0, r2= , f'>0
r1<0, r2>0, f<0
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焦面
以窄圆锥方式入射的几束 这样的光线将会聚在一个 球截形σ上，该球截形也以 C为球心。
＋ －
Q' yo
∆AOFi与∆PP'Fi相似， ∆OQQ'与∆OPP'相似
yo y o so f , yi si f yi si
A
O Q Fo
Fi
P yi
横向放大率 yi si MT yo so
xo so
f
B f si xi P'
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量子电动力学(QED)
每条路径都有一个相应的几率幅度 （它有一个同传播时间成正比的相位 角）。 Q 当这些几率相加时，可以看出对光到 达P的总几率贡献最大的是紧邻具有 最小光程的那条光线路径的那些路径。 透镜被特别设计为使所有的光程都相 等，一个光子走完任何一条路径都要 花费同样的时间；所有的相量（假设 每一个相量大小都相同）都具有相同 的相位角。这样，它们对光子到达P 的可能性具有同等的贡献。将这些相 量首尾相接连起来将产生一个很大的 净幅度，将这个幅度平方可得到光通 过透镜到达P的几率。
M T M T 1M T 2
f 2 (d f1 ) b.f.l. d ( f1 f 2 )
so1 d 0
f1 f 2 f1 f 2
密接薄透镜
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讨论：费马原理、透镜、QED
A B C D E F G H I J K 可能路径 所有路径的光程相等
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物像等光程性
从物点Q到像点P的各光线的光程彼此相等
L(QM 1 N1 P ) L(QM 2 N 2 P ) L(QM i N i P )
0 M10 M20 M1 M2 Mi N1 光 学 N2 系 N i 统 ' N10 N20 严格等光程严格(理想)成像 近似等光程近似成像 非等光程不成像
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薄透镜
r2 r1 P Q C2 n0 s2i s1 d s1i V1 nl V2 n0 s2 C1
P'
n0 nl nl n0 s1 s2i r1 第一界面
s1i d s2i s1i d s2i
nl n0 n0 nl s1i s2 r2 第二界面
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根据费马原理，可以推论：
Q
P
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虚光程
虚物 L( PN1 P ) L( PN i P )
即
虚像
L(QM 1 N1 P ) L(QM i N i P )
即
L(QM 1 N1 ) L( N1 P) L(QM i N i ) L( N i P)
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薄透镜组：应用高斯公式(2)
f 2 d f 2 so1 f1 /( so1 f1 ) si 2 d f 2 so1 f1 ( so1 f1 )
由上述三式很容易求 出 横向放大率 后焦距(b.f.l.)：从光学 系统最后一个表面到 该系统第二个焦点的 距离 前焦距(f.f.l.)
理想光学系统、物空间、像空间 几何光学的成立条件
当λ→0 时，无衍射限制
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另一些概念
实物成实像 实物成虚像
Q P
实像与虚像、实物与虚物
Q 光学系统
P
光学系统
虚物成实像
Q P
虚物成虚像
P Q
光学系统
光学系统
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反射镜
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单个球面折射旁轴成像(3)
n n n n s s r n n n n f r
n n n n f r
球心在 左
像距s'=x, 常用表达式 像方(后)焦距f' 定义 物方(前)焦距f 定义
M1 N1 N2 Ni
L( PN1 ) L( N1 P) L( PN i ) L( N i P)
M1 N1 Ni
Q
M2 Mi
P
光学 系统
Q
Mi
P P'
光学系统
虚光程取负值
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理想成像
锥体中的能量（且不说由反射、散射和吸 收引起的一些损失）都到达点P，点P就被 看作是点源Q的理想成像。 三维情况：如果物空间的每条曲线都与它 的像在几何上相似，则称物空间和像空间 之间的成像是理想的。 绝对仪器：能将三维区域理想成像的光学 系统。
在旁轴近似下，单球面折 射可近似成像于P点
成像公式
利用折射定律可得到同样 的结果，这时成立的条件 是sin 成立的条件均为一阶近似， 这时与这些旁轴光线对
n n n n s x r

应的出射波前部分基本 上是球面，将在位于 x 处的中心点P处形成一个 “理想”成像。
1841年，高斯第一个系 统地解释了上述近似条件 下的成像，这一结果又称 作：一阶光学、旁轴光学 或高斯光学。
就是从物体上的一个轴点通 过那些设在光阑前的元件观 察时看到的孔径光阑的像。
出射光瞳(Exit Pupil)
就是从像上面的一个轴点通 过插在中间的透镜（如果有 的话）观察时看到的孔径光 阑的像。
引自Hecht, Optics
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薄透镜组：应用高斯公式
L1 L2
Fo1
Fo2 f1
O1
O2
Fi1 f2
Fi2
so1
d
si2 so2 si1
1 1 1 透镜L1: si1 so1 f1
so 2 d si1
1 1 1 透镜L 2 : si 2 so 2 f 2
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dL(QMP) 0 根据费马原理有 d
M Q s n d n' O h r C x P
n( s r ) n( x r ) QM MP
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单个球面折射旁轴成像(2)
旁轴近似 : , 1 cos 1 O( 2 ) 1 QM s, MP x
相对孔径和光圈数
透镜（或反射镜）从远距离光源 的某一小区域收集的能量数量将 直接与透镜的面积成正比，或更 一般地说，与入射光瞳的面积成 正比。 像平面上，通量密度按(D/f )2发生 变化。 焦距比或光圈数，经常记为f/#， 即 f
f/2
f/4
f #
D
其中f/#应该理解为单个符号。
举例：孔径为25mm、焦距为 50mm的透镜，其光圈数为2，通 常标为f/2。