二次型及其矩阵

的秩为二次型 f 的秩。
三、二次型经可逆变换后的矩阵：
定义4： 若线性变换 y1 c11x1 c12 x2 c1n xn , y c x c x c x , 2 21 1 22 2 2n n yn cn1x1 cn 2 x2 cnn xn .
X AX
a11 a12 a21 a22 A a n1 an 2
x1 x2 X x n
a1n a2n ann
二次型的矩阵 （显然这是实 对称阵）
T X AX , 则称对称矩阵 A 定义3：设二次型 f ( x1 , x2 , , xn )
称为n元二次型，简称为二次型。
定义2： 只含平方项的二次型，即形如
2 ann xn
2 2 2 f ( x1 , x2 , , xn ) d1 x1 d 2 x2 d n xn
称为二次型的标准形（或法式）。
二、二次型的矩阵表示法
设aij a ji，则
2 f ( x1, x2 , , xn ) a11x1 a12 x1 x2 a13x1 x3 a1n x1 xn
系数矩阵A的秩为2, c 8
例2.设二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为2。
1.求参数c; 2.写出二次型的矩阵。
1 0 2 A 0 1 2, 2 2 c
2 x1
x2 cx3 4 x1 x3 4 x2 x3
2
2
由f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x2 2 cx32 4 x1 x3 4 x2 x3的秩为2
2 a21x2 x1 a22 x2 a23x2 x3 a2n x2 xn 2 an1 xn x1 an 2 xn x2 an3 xn x3 ann xn
二次型的矩 阵表示式
a11x1 a12 x2 a1n xn a x a22 x2 a2n xn ( x1 , x2 , , xn ) 21 1 a x a x a x n2 2 nn n n1 1 a11 a12 a1n x1 a21 a22 a2n x 2 ( x1 , x2 , , xn ) x a a a T n2 nn n n1
的矩阵
Cn n
c11 c12 c21 c22 c n1 cn 2
c1n c2 n cnn
பைடு நூலகம்
可逆，则称线性变换为可逆 线性变换； 正交，则称线性变换为正交 变换。
定义5：设A，B为两个n阶矩阵，若有n阶可逆阵P， 使得PT AP B，则称矩阵A与B合同，记为 A ~ B.
T
T
例1: 写出二次型的矩阵, 并求其秩。
f ( x1 , x2 , x3 ) x 2 x2 5x3 2 x1 x2 4 x2 x3.
2 1 2 2
1 1 0 A 1 2 2 . 0 2 5
秩为3。
练习 二次型 f x1 , x2 , x3 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 2 ( x3 x1 ) 2 的秩 为_____.
合同矩阵具有自反性、对称性、传递性。
等价、相似、合同的关系：
A B A~ B
A B A~ B
但反之均不成立。 一般 而言，相似与合同 没有关系。 但，正交相似与合同一致。
定理：实对称矩阵一定与对角阵合同。
f ( x1 , x2 , , xn ) X T AX (CY )T A(CY ) Y T (C T AC)Y
一、二次型
定义1：含有n个变量x1 , x2 , , xn的二次齐次多项式
2 f ( x1, x2 , , xn ) a11x1 2a12 x1 x2 2a13x1 x3 2a1n x1 xn
2 a22 x2 2a23x2 x3 2a2n x2 xn
2 a33x3 2a3n x3 xn
B C AC B B,Y BY为二次型且A与B合同,
T
作可逆变 换X CY T
T
r( A) r( B).
由上讨论可得：
定理1 二次型f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX 经可逆线性变换
X CY 变成新变元的二次型 f Y BY , 它的矩 阵B C AC且r ( A) r ( B ).