圆柱和圆锥讲义

圆柱和圆锥

圆柱的认识

【知识点一】圆柱的初步认识

问题导入下面这些物体的形状有什么共同特点？如果把这些物体的形状画下来，会是什么样子呢？

2．认识圆柱

除去圆柱形物体本身独有的因素（加工材料、色彩、花纹等），根据它们外形的共同特点抽象出图形，如下图所示：

【知识点二】圆柱的组成及其特征

1．转动长方形形成圆柱

拿一张长方形的硬纸贴在木棒上，像下面这样快速转动，长方形转动一周后形成的图形是圆柱。

拓展提高

把圆柱平行于底面进行切割，切面是和底面大小相同的两个圆；把圆柱沿底面直径垂直于底面进行切割，切面是两个完全相同的长方形。

【知识点三】圆柱的侧面及其与底面之间的关系

1．演示一：展示圆柱的侧面

（1）演示过程：在圆柱形罐头盒侧面的商标纸上画一条高，沿着这条高把商标纸剪开后再展开，如下图所示：

（2）演示小结：圆柱的侧面沿高剪开，展开后是长方形。

2．演示二：比较圆柱侧面展开后得到的长方形与原圆柱的关系

（1）演示过程：把展开得到的长方形纸重新包上，与圆柱加以比较，探究长方形与圆柱的关系（如下图）。

圆柱的表面积

（1）把圆柱沿高展开。

【知识点五】 运用圆柱的表面积公式解决实际问题

1. 用铁皮制作1节圆柱形通风管，它的长是60 cm ，底面直径是10 cm 。至少需要多少平方厘米铁皮？

例2 工人师傅要在一个零件（如下图）的表面涂一层防锈材料。这个零件是由两个圆柱构成的，小圆柱的直径是4 cm ，高是2 cm ；大圆柱的直径是6 cm ，高是5 cm 。这个零件上涂防锈材料的面积是多少？

圆柱的体积

【知识点一】圆柱体积的意义和计算公式

1．圆体积的意义

一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积。

2．通过操作把圆柱转化成学过的立体图形

（1）操作过程：把圆柱的底面分成16个相等的扇形，按照等分线并沿着圆柱的高把圆柱切开，然后拼成学过的立体图形，如下图所示：

（2）操作小结：把圆柱16等分，能拼成一个近似的长方体。等分的份数越多，拼成的立体图形就越接近长方体。

（3）推导圆柱的体积公式。

长方体的体积＝底面积×高

⇓⇓⇓

圆柱的体积＝底面积×高

归纳总结

圆柱的体积＝底面积×高。如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱体积的字母公式为：V＝Sh。

【知识点二】圆柱的体积计算公式的应用

例1 一根圆柱形钢材，底面积是40 cm2，高是2.1 m，它的体积是多少？

例2 一个圆柱形罐头盒的底面半径是5 cm，高是18 cm。它的体积是多少？

圆锥的认识

知识讲解

【知识点一】圆锥的初步认识

问题导入下面这些物体的形状有什么共同特点？

2．认识圆锥的几何图形

除去圆锥形物体本身独有的因素（质地、色彩、花纹等），根据它们外形的共同特点抽象出立体几何图形，如下图所示：

3．列举生活中类似圆锥形的一些物体

像下图中的沙堆、削过的铅笔头等物体的形状都是圆锥形的。

【知识点二】圆锥各部分的名称和特征

1．圆锥的各部分名称及特征

圆锥是由一个底面和一个侧面两部分组成的。

2．转动直角三角形形成圆锥

把一张直角三角形的硬纸贴在木棒上，像下面这样快速转动，转动起来形成一个圆锥。

归纳总结

圆锥的底面是一个圆，圆锥只有一条高。

3．把圆锥进行切割：

4.思考一下将圆锥的侧面展开会得到什么？

圆锥的体积

【知识点一】圆锥体积的计算公式

1．通过实验，探究圆锥和圆柱体积之间的关系

（1）实验准备。

准备好等底、等高的圆柱、圆锥形容器及一些细沙和水。

（2）实验过程。

实验一

在空圆锥形容器里装满细沙，然后倒入空圆柱形容器里（左上图），经实验，倒3次正好将空圆柱装满。 实验二

在空圆柱形容器里装满水，然后往空圆锥形容器里倒（右上图），每次都倒满，正好倒了3次。 （3）实验小结。

通过实验可知：等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，也可以说圆柱的体积是圆柱体积的1

3 。

归纳总结

圆锥的体积计算公式：圆锥的体积＝底面积×高×1

3 。

字母的公式：V

圆锥

＝13 Sh 。

【知识点二】 圆锥体积计算公式的应用

例 1 一个圆锥形铁锤的底面积是24 cm 2，高是8 cm 。这个铁锤的体积是多少立方厘米？

例2 工地上有一些沙子，堆起来近似于一个圆锥， 这堆沙子大约多少立方米？（得数保留两位小数。）

例3 天坛祈年殿塔的顶端近似一个圆锥，它的底面周长是18.84 m ，高是6 m ，求塔顶端的体积。

例4 一个圆柱形鱼缸，底面直径是40 cm，高是25 cm，里面盛了一些水，把一个底面半径为10 cm的圆锥放入缸中（圆锥全部浸入水中），鱼缸内水面升高2 cm。这个圆锥的高是多少？

知识模块具体内容要点提示

圆柱的认识1．圆柱的特征。

圆柱是由两个底面和一个侧面三部分组成的。

它的底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲

面。圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个

长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱

的高。

2．圆柱的高：圆柱两个底面之间的距离叫做高。

圆柱有无数条高。

圆柱的侧面展开图可能

是长方形、正方形或平

行四边形，也可能是其

他形状的不规则图形，

但不可能得到梯形。

圆柱的表面积1．圆柱的侧面积。

圆柱的侧面积＝底面周长×高，用字母表示：S

侧＝Ch。

2．圆柱的表面积。

圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2。

在解决实际问题时，并

不是所有的圆柱形物体

都有两个底面，有的只

有一个底面，有的没有

底面，要具体问题具体

分析。

圆柱的体积圆柱的体积公式。

圆柱的体积＝底面积×高，用字母表示：V＝Sh。

圆柱的体积计算公式还

可以记作V＝πｒ2h

圆锥的认识1．圆锥的特征。

圆锥是由一个底面和一个侧面两部分组成的，

它的底面是一个圆，侧面是一个曲面。

2．圆锥的高。

从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。

圆锥只有一条高。

圆锥的体积1．圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积

的

1

3。

2．圆锥的字母公式：V圆锥＝

1

3V圆柱＝

1

3Sh。

把一个圆柱削成一个最

大的圆锥，这个圆锥与

圆柱等底等高。