新教材2020-2021学年北师大版高中数学第二册专题训练-第二章-平面向量及其应用-含解析-D

专题强化训练(二) 平面向量及其应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若向量a ，b ，c 满足a ∥b ，且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2

D ．0

D [∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0. 又∵a ∥b ，

∴可设b ＝λa ，则c ·(a ＋2b )＝c ·(1＋2λ)a ＝0.]

2. 在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形

D ．等边三角形 C [由2cos B sin A ＝sin C 得a 2＋c 2－b 2ac

×a ＝c ，∴a ＝b .]

3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，μ＝a ＋b ，υ＝a －b ，且μ∥υ，则x 的值为( ) A ．12 B ．－12 C ．16

D ．－16

A [∵μ＝(1＋x,3)，υ＝(1－x,1)，μ∥υ. ∴(1＋x )×1－3×(1－x )＝0，∴x ＝1

2

.]

4．已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角θ的取值范围是( )

A ．⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，π6 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤

π3，π

C ．⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π3，2π3

D ．⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π6，π

B [Δ＝|a |2－4a ·b ＝|a |2－4|a ||b |cos θ＝4|b |2－8|b |2·cos θ≥0. ∴cos θ≤1

2 ，θ∈[0，π]． ∴π

3≤θ≤π.]

5．如图，e 1，e 2为互相垂直的两个单位向量，则|a ＋b |＝( )

A ．20

B ．10

C ．2 5

D ．15

C [由题意，知a ＝－12e 1－72e 2，b ＝－32e 1－1

2e 2， 所以a ＋b ＝－2e 1－4e 2，所以|a ＋b |＝(－2e 1－4e 2)2

＝

4|e 1|2＋16e 1·e 2＋16|e 2|2＝20＝25，故选C ．]

二、填空题

6．已知e 1，e 2是夹角为2π

3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．

5

4 [由题意a ·

b ＝0，即有(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，

∴k e 21＋(1－2k )e 1·e 2－2e 2

2＝0.又∵|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝－12

，

∴k －2＋(1－2k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫

－12＝0， ∴k －2＝1－2k

2， ∴k ＝54.]

7．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.

2 [a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )． ∵(a ＋c )⊥b ，

∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0， ∴m ＝－12， ∴a ＝(1，－1)，|a |＝

12＋(－1)2＝ 2.]

8．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．

6－2

4 [由sin A ＋2sin B ＝2sin C 可得a ＋2b ＝2c ， ∴c ＝a ＋2b 2.

∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2

＋b 2

－⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋2b 222ab ＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝3a 8b ＋b 4a －

24

≥2

3a 8b ·b 4a －2

4＝6－24.] 三、解答题

9．平面内三点A 、B 、C 在一条直线上，OA →＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC →

＝(5，

－1)，且OA →⊥OB →

，求实数m 、n 的值．

[解] AC →＝OC →－OA →

＝(7，－1－m )， BC →＝OC →－OB →

＝(5－n ，－2)． ∵A 、B 、C 三点共线，∴AC →∥BC →

， ∴－14＋(m ＋1)(5－n )＝0.① 又OA →⊥OB →. ∴－2n ＋m ＝0.②

由①②解得m ＝6，n ＝3或m ＝3，n ＝3

2.

10．已知a ，b 是两个非零向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取最小值时． (1)求t 的值； (2)求证：b ⊥(a ＋t b )．

[解] (1)(a ＋t b )2＝|a |2＋|t b |2＋2a ·t b ，

|a ＋t b |最小，即|a |2＋|t b |2＋2a ·t b 最小，即t 2|b |2＋|a |2＋2t |a ||b |cos 〈a ，b 〉最小． 故当t ＝－|a |cos 〈a ，b 〉|b |

时，|a ＋t b |最小．

(2)证明：b ·(a ＋t b )＝a ·b ＋t |b |2

＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉－|a |cos 〈a ，b 〉

|b |

|b |2

＝|a ||b |cos

〈a ，b 〉－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，

故b ⊥(a ＋t b )．

11．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12

，则△ABC 为( )

A ．等边三角形

B ．直角三角形

C ．等腰非等边三角形

D ．三边均不相等的三角形

A [A

B →|AB →|和A

C →

|AC →|分别是与AB →，AC →同向的两个单位向量．

∴AB →|AB →|＋AC →|AC →|是∠BAC 角平分线的一个方向向量， 由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0知，该向量与边BC 垂直， ∴△ABC 是等腰三角形．