弱简并理想Bose气体和Fermi气体热力学.

4. Bose-Einstein 凝聚
T<Tc时，就有宏观量级的粒子在能级ε=0凝聚， 这一现象称为Bose-Einstein凝聚，简称Bose凝聚。
Bose凝聚体的E=0; P动量=0; S=0; P压强=0
5. Bose-Einstein 凝聚的条件： n3 2.612
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
平衡辐射可以分解为无穷多个单色平面波的叠加。
ck
对于电磁波，有
λν c
ω 2πν
k 2π/λ p k
cp
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
光子是Bose子，达到平衡后遵从Bose分布; 由于空窖不断地发射和吸收光子，光子气体中的
光子数是不守恒的----拉格朗日乘子只需引入β 。
4.维恩位移定律(1893)
T=Constant 时，辐射场内能U 随ω 分布的极大值
U
(,T
)d

V
2c3

kT
4
x3dx ex 1
d dx

e
x3 x
1


0
3x2 (ex 1) x3ex ex 1 2
0
3ex 3 xex 0
al

l
el 1
体积V内，动量大小在p到p＋dp之间，动量方向在θ － θ＋d θ， φ－φ＋dφ范围内，自由粒子可能的微观 态数为：
Vp2 sindpdd
h3
单位体积内，动量大小在p到p＋dp之间，动量方向在θ－ θ＋d θ， φ－φ＋dφ范围内，平衡辐射的光子数为：
2 p2 sindpdd
Chap.7 玻尔兹曼统计 粒子的配分函数Z1
基本热力学函数、内能、 物态方程、熵、自由能
系统的全部平衡性质
知识回顾 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
N e
el l
e Z1
l
U e
l
ll e l

N


ln
Z1
Z1
el l
0

x3

3
ln(1

e
x
)

0

1 3
0
x3dx ex 1
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体

0
x2
ln(1
ex
)dx


x3 3
ln(1
ex

) 0

1 3
0
x3dx ex 1
0
ln



V
光子气体的统计分布：
al

l
e l
1
al

l
el 1
al
l

1 el 1
‫٭‬附加结论：

kT
0
------光子气体的化学势为零.
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
1.光子气体的量子态数
2

Vdpx
dp h3
y
dpz
p


2k4
15c3
V 3
T4
（8.4.14式）
光子气体的辐射通量密度：
Ju

2k4
60 c 2 3
T4
也可通过计算平衡辐射中单位时间碰到单位面积器壁 上的光子所携带的能量，直截求得Ju（参作业8.11题）。
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
证明（8.11题）： 光子气体的统计分布为：
维恩(1896)公式
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
说明： 低频极限
e /kT 1
kT
能级间距 kT 经典理论适用
U
(,T
)d

V
2c3

2kTd
瑞利(1900)-金斯(1905)公式
U (,T )d

V
2c3
3e / kTd
Chap.8 玻色统计和费米统计
§8.1 热力学量的统计表达式
抛弃粒子轨道的概念
（1）微观粒子的能量和动量是不连续的 （2）微观全同粒子不可分辨 （3）微观粒子的行为要满足不确定关系 （4）费米子受泡利不相容原理的限制
知识回顾：玻色8和.2费米弱系简统并的巨理配想分B函o数s和e气热力体学和公F式ermi气体
l


V
2c3

2
0
ln(1
e
)d
x / kT
0
ln


V
2c3
1
3
0
x2
ln(1 ex )dx
采用分部积分
xy xdy ydx, x x3 , y ln(1 ex )
3
x2 ln(1 ex )dx
2.平均光子数
D()d

V
2c3

2d
al
l

1 el 1
V 2d 2c3 e / kT 1

3.辐射场的内能
不同温度下的内能
U (,T )d

V
2c3
3d
e / kT 1
随频率的分布 普朗克公式
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
2 ddAdt h3
p2
s in dpdd
ecp 1

c
cosdtdA
单位时间（dt=1）内碰到单位器壁面积（dA=1）上，动 量大小在p到p＋dp之间，动量方向在θ－ θ＋d θ， φ－φ ＋dφ范围内，平衡辐射的光子数为：
d
2 h3
p2
s in dpdd
ecp 1

c
cos
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
弱简并条件下的系统 内能的差异
U

3 2
Nk T 1

4
1 2g
n3


（1）第一项是根据Boltzmann分布得到的内能 （2）第二项是量子统计关联所导致的附加内能，
弱简并的情况下附加内能很小； Fermi气体附加内能为正 —等效的排斥作用 Bose 气体附加内能为负 ---等效的吸引作用
能量均分定理给出：内能的频率分布在低频 部分与实验相符；高频存在“紫外灾难”。
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
“紫外灾难”
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
III. 理论诠释：
平衡辐射：考虑一个封闭的空窖，窖壁原子不断地 向空窖发射并从空窖吸收电磁波，经过一定的时间 以后，空窖内的电磁辐射与窖壁达到平衡，称为 “平衡辐射”，二者具有共同的温度T.
Bose 系统
Fermi系统
l [1 e l ]l
l
l
l [1 el ]l
l
l
N ln

S k(ln ln ln )


k(ln N U )
S k ln
辐射场的内能－普朗克公式
U (,T )d

V
2c3
3d
e / kT 1
低频极限：
e /kT 1
kT
U
(,T
)d

V
2c3
2k Td
瑞利(1900)-金斯(1905)公式
高频极限： e /kT 1
U
(,T
)d

V
2c3
3e / kTd
热力学·统计物8理.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
回顾
Chap.7 玻尔兹曼统计 Chap.8 玻色统计和费米统计 §8.1 热力学量的统计表达式 §8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体 §8.3 Bose –Einstein 凝聚
新课 §8.4 光子气体
知识回顾 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
e 1
(e 1)
al 1
l
所谓“弱简并条件”即气体的
e 1
e

Z1 N

V N
(
2mk
h2
T
)3
/
2
很大
n3 1
n3 很小，但不可忽略！
知识回顾： §8.82弱.2简弱并简理想并玻理色想和费B米os气e体气体和Fermi气体
Bose气体 Fermi气体 Boltzmann气体
2k3
c3
V 3
T4
T 0; S 0
光子气体的熵随温度的趋于零而趋于零，符合 热力学第三定律要求（P128，4.8.1式）
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
平衡辐射的通量密度与内能密度的关系：
Ju

c 4
U V
（P66，2.6.7式）
U




ln
知识回顾：§8.38B.2ose弱–简Ein并stei理n 凝想聚Bose气体和Fermi气体
1.理想Bose气体的化学势 0
2.临界温度（凝聚温度）：
Tc

2
(2.612 )2/3
2 mk
n2/3
3. T<Tc时：
n0
(T
)

2
h3
(2m)3/ 2
1/ 2d
0
n
ekT 1
h3
ecp 1
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
d ГdAdt：dt时间内碰到dA面积上，动量大小在p到p＋ dp之间，动量方向在θ－ θ＋d θ， φ－φ＋dφ范围内的 光子数。
d ГdAdt=以dA为底，以 ccosdt 为高，动量在dpd θd φ
范围内的光子数：
p

1

V
ln

2k2
45c33
T4
p 1u 3
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
ln


2V
45c3
1
3
U




ln


2k4
15c3
V 3
T4
S

k
ln





ln

kln U

4 45
k
2

V
3dkxdk h3
y
dkz

Vdk
xdky
4 3
dk
z

Vk
2
s
in dddk 4 3
辐射场的振动自由度：
D()d

V
2c3
2d
ck
2 Vk2 sindddk

00
4 3
辐射场的量子态数：
D()d

V
2c3

2
d
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
x / kT 2.882
3 3ex x
ω m与温度T成正比---维恩位移定律(1893)
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
5.光子气体的热力学函数 巨配分函数的对数
D()d

V
2c3
2d
ln l ln(1 e l )
e / kT 1
x / kT
U

V
2c3

kT
4



0
x3dx ex 1

0
x3dx ex 1

6

4
90
(C.14)
U

2k4
15c33
VT 4
u aT 4 P66(2.6.3)
斯特藩-玻耳兹曼定律( Ju T 4 )
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
维恩(1896)公式
高频极限 e / kT 1 需要量子理论
能级间距 kT 的高频自由度被 冻结在基态
§8.4 光子气体 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
空窖辐射的内能
U

V
2c3
0
3d
e / kT 1
U (,T )d

V
2c3
3d
2c
3
1
3
0
x2
ln(1 ex )dx
0
x3dx ex 1

6

4
90
(C.14)
2V 1
ln 45c3 3

0
x2
ln(1

ex
)dx


1 3
0
x3dx ex 1
U ln 2k 4 V T 4

15c3 3
U ln

Y 1 ln P 1 ln
y
V
J U TS N
kT ln
知识回顾： §8.82弱.2简弱并简理想并玻理色想和费B米os气e体气体和Fermi气体
Chap.8 玻色统计和费米统计
Chap.7中的经典极限条件（非简并条件）：
l
p

N

V
ln
பைடு நூலகம்
Z1
S

Nk (ln
Z1




ln
Z1)
S k ln
S

Nk (ln
Z1




ln
Z1)

k
ln
N!
F NkT ln Z1
满足经典极限条件 的玻色和费米系统
F NkT ln Z1 kT ln N!
知识回顾 8.2 弱简并理想Bose气体和Fermi气体
I. 引入：我们讨论了弱简并的Bose (Fermi)气体，和 n3 2.612 的理想玻色气体的凝聚现象。 具有确定的粒子数 作为玻色统计的重要应用，下面根据Bose分布讨
论平衡辐射问题。在平衡辐射中，光子数不守恒。
II. 知识回顾： 热力学的结论：平衡辐射的内能密度和内能密度的 频率分布只与温度有关；u=aT 4 。